九年级数学下册 第28章圆28.2与圆有关的位置关系 3 切线（第2课时）课件 华东师大版

1、3.切线 （第2课时） 通过探究通过探究, ,使学生发现、掌握切线长定理，并初步学使学生发现、掌握切线长定理，并初步学 会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中 剪出最大圆的实验过程中发现三角形内切圆的画法，能剪出最大圆的实验过程中发现三角形内切圆的画法，能 用内心的性质解决问题用内心的性质解决问题. . 1.1.切线具有什么特征切线具有什么特征? ? 图 23.2.8 答答: : 【特征特征1 1】切线与圆只有一个公共点切线与圆只有一个公共点; ; 【特征特征2 2】圆心到切线的距离等于圆的半径圆心到切线的距离等于圆的半径; ; 【特征

2、特征3 3】圆的切线一定垂直于经过切点的半径圆的切线一定垂直于经过切点的半径 P P M MN N P PQ Q 2.2.任意画一个任意画一个O O，在，在O O上任取两点上任取两点A A、B B，以，以A A，B B为切点分别为切点分别 作作O O的两条切线，画出的两条切线的位置关系怎样？的两条切线，画出的两条切线的位置关系怎样？ A A B B O O . . . . . . A A B B. . . . O O . . 3.3.圆的切线是线段、射线、还是直线？圆的切线是线段、射线、还是直线？ 是直线是直线 O . A B P 思考：思考：已知已知O O 的切线的切线PAPA，A A为为

3、切点，连结切点，连结OPOP， 把圆沿着把圆沿着OPOP对折对折, , 你能发现什么你能发现什么? ? 1 1 2 2 如图，纸上有一如图，纸上有一O O ，PAPA为为O O的一条切线，沿着直线的一条切线，沿着直线POPO 对折，设圆上与点对折，设圆上与点A A重合的点为重合的点为B.B. 1.OB1.OB是是O O的一条半径吗？的一条半径吗？ 2.PB2.PB是是O O的切线吗？的切线吗？ 5.5.利用图形轴对称性解释利用图形轴对称性解释. . 3.PA3.PA、PBPB有何关系？有何关系？ 4.4.APOAPO和和BPOBPO有何关系？有何关系？ P A O B 【探究一探究一】 (1)

4、(1)设与点设与点A A重合的点为点重合的点为点B,B,这里这里OBOB是是O O的一条的一条_, _, PBPB是是O O的一条的一条_._. (2)(2)图中图中PAPA与与PBPB、APOAPO与与BPOBPO的关系是的关系是( (猜想猜想): ): _._. 半径半径 切线切线 PA=PBPA=PB，APO=BPO APO=BPO 1.1.如图，过圆外一点如图，过圆外一点P P有两条直线有两条直线PAPA、PBPB与与O O相切相切. .把圆把圆 的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. . A A B B P P

5、O O . 切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系： （1 1）切线是一条与圆相切的直线）切线是一条与圆相切的直线. . （2 2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长. . 2.2.从从O O外的一点引两条切线外的一点引两条切线PA,PBPA,PB，切点分别是，切点分别是A,BA,B，连结，连结 OA,OB,OPOA,OB,OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论. . A A P P O O . B B PA = PBPA = PB，OPA=OPBOPA=OPB 证明：证明：PAPA、PB

6、PB与与O O相切，点相切，点A A、B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即 OAP=OBP=90OAP=OBP=90 OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP Rt RtAOPRtAOPRtBOP(H.L.)BOP(H.L.) PA = PB PA = PB ，OPA=OPBOPA=OPB 试用文字语言叙述试用文字语言叙述 你所发现的结论你所发现的结论 反思：反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新 的方法的方法. . PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B PA = PBPA = PB 1=21=2

7、切线长定理切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切 线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. . A P O . B 几何语言几何语言: : 1 2 我们学过的切线常有七个性质：我们学过的切线常有七个性质： 1.1.切线和圆只有一个公共点切线和圆只有一个公共点. . 2.2.切线到圆心的距离等于圆的半径切线到圆心的距离等于圆的半径. . 3.3.切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径. . 4.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过圆心垂直于切线的直线必过切点. . 5.5.经过切

8、点垂直于切线的直线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心. . 6.6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分这两条切线的夹角这一点的连线平分这两条切线的夹角. . 7.7.如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径. . A A P P O O . . M M 3.3.连结两切点连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么新的结你又能得出什么新的结 论论? ?并给出证明并给出证明. . OPOP垂直平分垂直平分ABAB

9、 证明：证明：PAPA、PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A、B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OPOP垂直平分垂直平分ABAB B B 切线长定理的基本图形的研究切线长定理的基本图形的研究 PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，为切点， 直线直线OPOP交交O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C.C. A A B B P P O O C C E E D D （1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关

10、系 OAPAOAPA，OB PBOB PB，AB OPAB OP （2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角 OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPC B B A A P P O O C C E E D D （3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形 AOP AOP BOPBOP， AOC AOC BOCBOC， ACP ACP BCPBCP （4 4）写出图中所有的相似三角形）写出图中所有的相似三角形 AOCAOCBOCBOCPOAPOAPOBPOBPACPBCPACPBC （5 5）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形

11、APB APB AOBAOB （6 6）若）若PA=4PA=4、PD=2PD=2，求半径，求半径OAOA 222 4(2) ，解得r=3rr 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心这个三角三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心这个三角 形叫做这个圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三形叫做这个圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三 条内角平分线的交点一个三角形的内切圆是唯一的条内角平分线的交点一个三角形的内切圆是唯一的 图 23.2.12 三角形的内切圆三角形的内切圆 例例1.1.如图，如图，O O是

12、是ABC ABC 的内切圆，与的内切圆，与ABAB、BCBC、CACA分别切分别切 于点于点D D、E E、F F，DOEDOE120120，EOFEOF150150，求，求ABC ABC 的三个内角的度数的三个内角的度数. . (第 1 题) 【例题例题】 (第 1 题) DOE DOE120120,EOF,EOF150150 DOF=360 DOF=360-DOE-EOF-DOE-EOF =360 =360-120-120-150-150=90=90 【解解】 AB AB、ACAC分别切分别切O O于点于点D D、F F ADO=AFO=90 ADO=AFO=90 A=360 A=360-

13、ADO-DOF-AFO-ADO-DOF-AFO =360 =360-90-90-90-90-90-90=90=90 同理同理 B=60B=60,C=30,C=30. . 例例2.2.ABCABC的内切圆的内切圆O O与与ABAB、BCBC、ACAC分别相切于点分别相切于点D D、E E、 F F，且，且ABAB5 5厘米，厘米，BCBC9 9厘米，厘米，ACAC6 6厘米，求厘米，求ADAD、BEBE和和 CFCF的长的长. . (第 2 题) 5 9 6 xy yz zx 则 1 4 5 x y z 解得 解解: :设设AD=x, BE=y, CF=z,AD=x, BE=y, CF=z, 由

14、切线长性质可知：由切线长性质可知： ADADAFAF，BDBDBEBE，CECECFCF 即即AD=1AD=1厘米厘米,BE =4,BE =4厘米厘米,CF =5,CF =5厘米厘米 (第 2 题) x x y yz z 例例3.3.设设ABC ABC 的内切圆的半径为的内切圆的半径为r r，ABC ABC 的周长为的周长为l，求，求 ABCABC的面积的面积S.S. 图 23.2.12 r r r 解析：解析： ABCAIBBICCIA SSSS 111 AB rBC rAC r 222 1 rABBCAC 2 1 r 2 l （） 连结连结ICIC，则，则 1 1、填空：已知、填空：已知O

15、 O的半径为的半径为3 cm3 cm，点，点P P和和 圆心圆心O O的距离为的距离为6 cm6 cm，经过点，经过点P P有有O O的两的两 条切线，则切线长为条切线，则切线长为_cm._cm.这两条这两条 切线的夹角为切线的夹角为_度度. . 6060 2 2、已知圆外切四边形、已知圆外切四边形ABCDABCD中，中，ABABBCBC CD=4CD=43 32 2，它的周长为，它的周长为24 cm.24 cm.则则 AB=AB= ，BC=BC= ； CD=CD= ，DA=DA= . . C CD D A A O O B B 8 cm8 cm6 cm6 cm 4 cm4 cm6 cm6 cm

16、 3 3 P P A A B O O 【跟踪训练跟踪训练】 3.3.直角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角边分别是a a，b,b,斜边是斜边是c c，则，则 其内切圆的半径为其内切圆的半径为: : 如：直角三角形的两直角边分别是如：直角三角形的两直角边分别是5 cm5 cm，12 cm12 cm， 则其内切圆的半径为则其内切圆的半径为_._. 2 cm2 cm a+b-c r 2 A A B BC C a a b b c c r r . . 4.4.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边 ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分别相分别相 切于切于L L，M M，N

17、N，P.P. 图中有几对相等的线段？由此你能发现什么结论？图中有几对相等的线段？由此你能发现什么结论？ 为什么？为什么？ A A D D L L M M N N P P O O C C B B D D A AL L M M N N P P O O C C B B 解析：解析： ABAB，BCBC，CDCD，DADA都与都与O O相切，相切， L L，M M，N N，P P是切点，是切点， AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB， DN=DPDN=DP，NC=MCNC=MC AL+LB+DN+NC=AP+ MB+DP+MCAL+LB+DN+NC=AP+ MB+DP+MC 即即 AB+ CD

18、= AD+BCAB+ CD = AD+BC 圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用） . P B A O （3 3）连结圆心和圆外一点（角平分线）连结圆心和圆外一点（角平分线） （2 2）连结两切点（等腰三角形）连结两切点（等腰三角形） （1 1）分别连结圆心和切点（直角）分别连结圆心和切点（直角） 【规律方法规律方法】在解决有在解决有 关圆的切线长的问题时，关圆的切线长的问题时， 往往需要我们构建基本往往需要我们构建基本 图形图形. . 1.1.（兰州（兰州中考）如图，正三角形的内切圆半径为中考）如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那，那

19、么这个正三角形的边长为么这个正三角形的边长为( )( ) 【答案答案】D D 3C.C.32 D.D. A.2A.2 B.3 B.3 2.2.（临沂（临沂中考）如图中考）如图,AB,AB是半圆的直径是半圆的直径,O,O为圆心，为圆心，ADAD， BDBD是半圆的弦，且是半圆的弦，且PDA=PBD.PDA=PBD. （1 1）判断直线）判断直线PDPD是否为是否为O O的切线，并说明理由的切线，并说明理由. . （2 2）如果）如果BDE=60BDE=60， , ,求求PAPA的长的长. .PD3 【解析解析】（1 1）PDPD是是O O的切线的切线 连结连结OD,OB=OD,OD,OB=OD,

20、 2=PBD.2=PBD. 又又PDA=PBD.PDA=PBD. PDA=2.PDA=2. 又又ABAB是半圆的直径，是半圆的直径， ADB=90ADB=90. . 即即1+2=901+2=90. . 1+PDA=901+PDA=90, , 即即ODPD.ODPD. PDPD是是O O的切线的切线. . 1 1 2 2 （2 2）BDE=60BDE=60,ODE=90,ODE=90,ADB=90,ADB=90, , 2=302=30,1=60,1=60,PDA=30,PDA=30. . OA=OD,OA=OD, AODAOD是等边三角形是等边三角形. . POD=60POD=60. . P=P

21、DA=30P=PDA=30. . 在直角在直角PDOPDO中，设中，设OD=x,OD=x, 2 2 2 32xx x x1 1=1,x=1,x2 2=-1=-1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去） PA=1.PA=1. 3.3.（衡阳（衡阳中考）如图，中考）如图，RtRtABCABC中中,ABC=90,ABC=90，以，以ABAB 为直径的为直径的O O交交ACAC于点于点D D，过点，过点D D的切线交的切线交BCBC于点于点E E （1 1）求证：）求证： 1 2 DEBC 2 5 （2 2）若）若tanC=tanC= ，DE=2DE=2，求，求ADAD的长的长 【解析解析】(1)(1)连结连结BDBD， ABAB为直径，为直径，ABC=90ABC=90， BEBE切切O O于点于点B B，DEDE切切O O于点于点D D， 所以