高中数学题型全面归纳导数与定积分14

1、第三章导数与定积分本章知识结构图导数的概念几何意义、物理意义基本初等函数的导数三次函数的性质、图像和应用导数的运算法则导数单 调导数的正负与单调性的关系导数的应用极值最值生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算第一节导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数yc （ c 为常数），yx, yx2 , yx3 , y1 , yxx的导数 .4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如f axb 的复合函数）的导数.命题趋势探究预测 2019 年高考依然以考查导数的计

2、算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.知识点精讲一、基本概念1、导数的概念设函数 yf x 在 xx0 附近有定义，如果 x0 时，y 与x 的比y （也叫函数x的平均变化率）有极限，即y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数y f xx在 xx0 处的导数，记作f x0或 yx x0 . 即f x0limylimf x0xf x0f xf x0.xxlimx x0x 0x 0x x02、导数的几何意义函数 yf x 在 x0 处的导数fx0 ，表示曲线 yf x 在点 P x0 , f x0处的切线PT的斜率，即 tanfx0 ，其

3、中为切线的倾斜角，如图3 1 所示，过点P 的切线方程为 yy0fx0xx0 . 同 样 ， 可 以 定 义 曲 线 yf x 在 xx0 的 法 线 为 过 点P x0 , f x0与曲线 yf x 在 xx0 的切线垂直的直线. 过点 P 的法线方程为yy01xxfx00 .fx03 、导数的物理意义: 设 t0 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离SS t . 在 t0 t1 时刻，车走了 S t1S t0,这一段时间里车的平均速度为S t1S t0 , 当 t1 与 t 0 很接近时，该t1t 0平均速度近似于t 0 时刻的瞬时速度 . 若令 t1 t 0 ，则可以认为lim

4、 S t1S t0，即 S t0 就是 t 0 时刻的瞬时速度 .t1t0t1 t 0二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表3 1表 31yfxyf xycy0yx nxNynxn 1 ， n 为正整数yxx0,0且Qyx 1 , 为有理数y a x a 0, 且a 1yax ln aylog a x a且1.x0y10 ax ln aysin xycos xycos xysin x注：x1 , 112 , ln x1 .2x xxx三、导数的运算法则（和、差、积、商）设 u u x ,vv x均可导，则（1） u vu v ;（ 2）（3） uvu v uv ;（ 4）注： c

5、f xcfx cR .kuku kR ;uu vuv v 0 .vv2四、复合函数的导数复合函数 y f g x的导数与函数yf u ,ug x 的导数之间具有关系yxyu ux , 该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积” ，也就是先把 g x 当作一个整体，把 yf g x对 g x 求导， 再把 g x对 x 求导，这两者的乘积就是复合函数y f g x对 x 的导数，即f g xf g xg x .题型归纳及思路提示题型 39导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出 .例 3

6、.1设 fx0存在，求下列各极限 .(1) limfx03 xf x0 ;(2)limf x0hf x0 ;x0xh 0h分析fx0limfx0x f x0 ，导数的定义中，增量x 的形式是多样的，但x0 0x不论x 选择哪种形式，y 必须选择相应的形式. 利用函数 f x 在点 x0 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式.f x02x f x01, 则 fx0 （变式 1 若 lim3x）x00、 2B、 3C、3D、 232变式 2 设 fx 在 x0处可导，则 limfx0xf x0 3 x=（）x00xA 、 2 f x0B、 f x0C、 3 f x0D、 4 f

7、 x0题型 40求函数的导数思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题 .例 3.2求下列函数的导数 .(1) yx5 ; (2) y1;(3) y5 x3 ; (4) y 10 x ; (5) y log 2 x; (6) y sin x .x4评注对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式. 根式一般化成分数指数幂求导.变式 1 求下列函数的导数.（ 1）（ 3）1xy3 x ; （2） y;（ 3） y log3 x;（ 4

8、） y cos x.2ylog 3 x ；（ 4） ycos x .例 3.3 求下列函数的导数（1）x4x3x2；（ ） y ln x1y(2x 1) ex） ycos xyx；（ ）；（.3234ex42x.评注利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步， 熟练以后可适当简化运算过程 .变式 1求下列函数的导数.（1） y x41xln x ；（ 3） yx；（ 2） yex ；x2x3（4） y exsin x ；（ 5） ysin 2x ；（6） y.x1变式 2求下列函数的导数.（1） y x x211；（ 2） y2cos x ；（ 3） ysin xxx3x；（ 4

9、） y tan x .x例 3.4求下列函数的导数 .（1） ye3 x 2 ；（ 2） y log2 (2x1)；（ 3） y sin 2x；（ 4） y1.31x评注新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数yf (ax b) 型的求导 .这里设中间变量uaxb ，按照复合函数求导法则，yf(axb) (ax b) af (ax b) ，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式 1求下列函数的导数 .（1） yln(2 x1) ；（ 2） y sin 2x；4（3） y22 x 1ln(3 x 5) ；（ 4） y(x22x1)e2x .题型 41导数的几何意义思路提示函数 yf (

10、x) 在点 x0 处的导数， 就是曲线 yf (x) 在点 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率 .这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别. （ 1）已知f ( x) 在点( x0 , f (x0 )处的切线方程为y y0f ( x0 )( xx0 ) .（ ）若求曲线y f ( x) 过点 (a, b) 的2切线方程， 应先设切点坐标为( x0 , f ( x0 ) ，由 yy 0 f x( 0x)( x 0)过点 ( a, b) ，求得 x0 的值，从而求得切线方程 .另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例 3.5设 P 为曲线 C : yx22x3上的点，且曲线

11、 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0,，则点 P 横坐标的取值范围为（）4A 1,11,0C 0,1D 1,1B22分析根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C 在 P 处切线的斜率的范围是0,1 ，根据导数的几何意义，只要函数yx22 x 3 的导数在这个范围即可 .评注函数 yf ( x) 在某点处的导数、 曲线 yf (x) 在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1设 f ( x) 是偶函数，若曲线y f (x) 在点 (1, f (1)处的斜率为1，则该曲线在点(1,f ( 1) 处的切线的斜率为.例 3.6（ 1

12、）曲线y x3在点 (1,1) 处的切线方程为；过点 (1,1) 的切线方程为.（2）过点 (1,1) 的直线 l 与曲线 yx3x22x 1 相切，且 (1,1) 不是切点，则直线l 的斜率是（）A 2B 1C 1D 2分析若求曲线在点( x0 , f ( x0 ) 处的切线方程，则点( x0 , f ( x0 ) 为切点；若求曲线过点(x0 , f ( x0 ) 处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入 (x0 , f ( x0 ) ，求其切点坐标.变式 1 （ 2012 安徽理 19）设函数 f ( x) aex1b(a 0) ，设曲线 yf (x) 在点ae

13、x(2, f (2) 处的切线方程为 y3x ，求 a, b 的值 .2变 式2 已 知 函 数 f ( x)23f (x) 与 曲 线ax 1( a 0)， g( x)x bx ， 若 曲 线 yyg (x) 在它们的交点(1,c) 处具有公共切线，求a, b的值 .变式 3已知函数 f ( x) ax3 3x26ax11， g(x) 3x2 6x12 和直线 m : y kx 9 ，又 f (1) 0.（1）求 a 的值；（ 2）是否存在 k ，使直线 m既是曲线 yf (x) 的切线，又是曲线y g( x) 的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由 .例 3.7在平面直线

14、坐标系xOy 中，已知点 P 是函数f (x)ex (x0) 的图像上的动点，该图像在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ，设线段 MN 的中点的纵坐标为t ，则 t 的最大值是.分析先设切点坐标(x0, ex0 ) ，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出 M 的纵坐标，同理可求出 N 的纵坐标，将 t 表示成 x0 的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值 .评注利用切点横坐标x0 可以表示曲线上任一点处切线的方程为：yf (x0 ) f (x0)(xx0 ) .变式 1设点 P 在曲线 y1 ex 上，点 Q 在曲线

15、yln(2 x) 上，则 PQ的最小值为 （）2A 1ln 2B2(1 ln 2)C 1ln 2D2(1ln 2)最有效训练题14（限时 45 分钟）1设 f ( x)x ln x ，若 f ( x0 )2 ，则 x0（）A e2B ln 2C ln 2D e22若函数f (x) 满足 f (x)1 x3f(1)x2x ，则 f(1)的值为（）3A 0B 2C 1D 13曲线 ye 2 x 1在点 (0, 2) 处的切线与直线y0 和 yx 围成的三角形的面积为 （）112D 1A BC3234 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当x0 时， f ( x)xf(x) 0 ，且 f (4)

16、0 ，则不等式 xf (x)0 的解集为（）A( 4,0)(4,)B (4,0)(0,4)C (, 4) (4,)D (,4)(0,4)5正弦曲线 ysin x 上一点 P ，以点 P 为切点的切线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是 （）A 0,3 ,B 0,C, 3D 0,3442,44446已知函数f (x) 在 R 上满足2，则曲线yf ( x) 在点f ( x) 2 f (2 x ) x8x 8(1, f (1)处的切线方程是（）A y 2x 1B y xC y 3x 2D y2x 3已知函数f (x) 2ln(3 x)8x，则 limf (12x)f (1) 的值为7x0x8一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为 s27t0.45t 2 米，则列车刹车后秒内停下来，期间列车前进了米9如图 3-2所 示 ， 函 数 f ( x) 的 图 像 是 折 线 段 ABC ， 其 中 A, B, C 的 坐 标 分 别 为(0,4),(2,0),(4,4)，那么limf (3x)f (3)（用数字作答） x 0yx4 AC321BOx12345610 已 知 f (x) ( x1)(x2)( x3)( x图 3-22,nN ) ， 其导函 数为 f ( x) ， 设n)( nf (2)an，则 a100f (