北师大版必修一242二次函数的性质课件

1、4.2 4.2 二次函数的性质二次函数的性质 1.能够熟练地对二次函数解析式配方.（重点） 2.会确定二次函数的开口方向、顶点坐标，并能研 究其定义域、值域、单调性、最值等性质. . （重点、 难点） 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 漂亮的喷泉，它的喷嘴应放在什么位置呢漂亮的喷泉，它的喷嘴应放在什么位置呢 ? ? 你会对函数 2 ( ) ?f xax bxc配方吗？ 2 222 4 ( )()() 24 ? ? bbacb f xaxbxca xxca x aaa 我们研究函数主要从哪几个方面来研究？我们研究函数主要从哪几个方面来研究？ 你能说出上面

2、二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、你能说出上面二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、 单调区间、最大值和最小值吗？单调区间、最大值和最小值吗？ 2 22 4 ( )() 24 ? ? bacb f xaxbxca x aa 顶点坐标为顶点坐标为 2 4 (,) 24 ? ? bacb aa ，对称轴为直线，对称轴为直线 2 ? ? b x a 2 22 4 ( )() 24 ? ? bacb f xaxbxca x aa 当当0?a时，它的图像开口向上，在时，它的图像开口向上，在(, 2 ? b a 上是减少的，上是减少的， 在在 ,) 2 ? b a 上是增加的，此时，函数有最小值上是增

3、加的，此时，函数有最小值 2 4 4 ?acb a 当0?a时，它的图像开口向下，在(, 2 ? b a 上是增加的， 在 ,) 2 ? b a 上是减少的，此时，函数有最大值 2 4 4 ?acb a 2 22 4 ( )() 24 ? ? bacb f xaxbxca x aa 证明： 设0?a，任取 12 ,x x，且 12 2 ? ? b xx a ，则 22 212211 f(x ) f(x )(axbxc) (axbxc)? = 22 21212121 ()()( ) ()?a xxb xxxx a xxb 因为 12 , 22 ? ? ? bb xx aa 所以 12 ,? ?

4、b xx a 即 12 ()? ?a xxb，也就是 12 ()0?a xxb 又 21 0?xx，所以 21 ( )( )0?f xf x，即 21 ()( )?f xf x 由函数单调性的定义，函数 2 ( ) ?f xax bxc在(, 2 ? b a 上是减少的 你能给出其单调性的证明过程吗？ 同理可证，f（x）在上是增加的 ,) 2 ? b a 解： 22 3613(1)4? ? ? ?yxxx 由于 2 x的系数是负数，所以函数图像开口向下； 顶点坐标为( 1,4)?；对称轴为直线1? ?x； 函数在区间(, 1? ?上是增加的，在区间1,)?上是减少的； 函数有最大值，没有最小值

5、，函数的最大值是 例例1.将函数将函数配方，确定其对称轴、顶点坐标 并求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像 2 361? ?yxx 你将如何画出它的图像呢？ 五点作图法 先确定对称轴 及顶点. 采用描点画图，选顶点A（-1，4），与x轴的交点 B（，0）和C（，0），与y轴的交点D(0，1)， 再任取点E（-2，1），过这5个点画出图像，如图 2 33 3 ?2 33 3 ? ? 已知函数f(x)2x23x1 (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值； (3) 试比较f(1)和f(1)的大小. xy 22 min 将函数配方化为顶点式 31 y=2x -3

6、x+1=2(x-) -. 48 313 则顶点坐标为（，-），对称轴为x=; 484 31 (2 【解析 )当 =时，=- 4 】 ; 8 2 3 (3)y2x3x1x 4 3 1 1x 4 f( 1)f(1). ? ? ? ? ? 函数的对称轴为 . 3 而函数在（ ，+ ）上是增函数 4 又比 距离对称轴远. 例 2.绿缘商店每月按出厂价每瓶元购进一种饮料， 根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶元，每月 可销售 400 瓶；若每瓶售价每降低 0.05 元，则可多 销售 40 瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下， 请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元 和从工厂购进多少瓶时，才可获得

7、最大的利润？ 解：设销售价为x元/瓶(3)?x,则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销售完 的进货量为 4 40400 0.05 ? ? x 即 400(92 )?x瓶. 此时所得的利润为 2 ( )400(92 )(3)400( 21527)?f xx xxx(元). 根据函数的性质 ,当 15 4 ?x时,( )f x取得最大值 450. 这时进货量为 400（9-2x）= 15 400(92)600 4 ?(瓶) 故销售价为 15 4 元,购进 600 瓶时可获得最大利润为 450 元. 选择恰当的 数学模型. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望 在它达到最高点(大约是

8、在距地面高度25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花冲出的速度 是14.7m/s. (1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式. (2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地 面的高度是多少(精确到1m). 解解: : (1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体运动原 理可知：h(t)= -4.9t 2+14.7t+18 (2)作出函数h(t)= -4.9t 2+14.7t+18的图像(如下图). 显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点 的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时 距地面的高度. 由二次函数的知识，对于h(t)= -4

9、.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度为29 m. 当 14.7 1.5 2( 4.9) ? ? ? ? t时，函数有最大值 2 4(4.9)1814.7 29 4( 4.9) ? ? ? ? h 配方法是研究二次函数性质的主要方法,对于一个具体 的二次函数,通过配方将二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 配方成y=a(x+h)2+k(a0)后即可确定该函数的对称轴、 顶点坐标、最值、单调区间等二次函数的主要性质. 提升总结：提升总结： 配方法在研究二次函数性质中的应用：配方法在研究二次函数性质中的应用： 1.函数f(x)=x2+

10、4ax+2在区间(-，6上是减少的，则a的 取值范围是( )( ) A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3 D 2.已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-，-2上是减少的，在 - 2,+)上是增加的，则f(x)在1,2上的值域为 _.21,49 3.指出下列函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴，以 及函数的单调性； （1）y=2(x+1) 2; (2)y=-(x+1)(x-2) 解：开口方向朝上， 顶点坐标为（1，0）， 对称轴方程为x=-1， 单调增区间为(-1,+), 单调减区间为(-,-1). 解：开口方向朝下， 顶点坐标为（0.5，2.25）， 对称轴方程为x=0.5， 单调增区间为(-,0.5), 单调减区间为(0.5,+). 4.(20124.(2012菏泽高一检测菏泽高一检测)汽车使用单位容积燃料行驶的千米 数是行车速度的函数.由实验可知这个函数是 f(x)=-0.01x 2+1.2x-5.8 +1.2x-5.8，求f(50)，并说明它的意义；当速 度为多少时，汽车最省油？ 解：f(50)=-0.01502+1.250-5.8=