六年级数学工程问题(附例题答案)

1、第七讲工程问题第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量 =工作效率工作时间 .在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做10 天可完成，乙做 15 天可完成 .问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，因此甲的工作效率是1 ，乙的工作效率是1 ，我们想求两人合1015作所需时间，

2、就要先求两人合作的工作效率11 ，再根据基本数量关系式，得到所需时间 =工作量工1015作效率=6（天） .两人合作需要 6 天 .这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题， 10 与 15的最小公倍数是30.设全部工作量为 30 份 .那么甲每天完成 3 份，乙每天完成2 份 .两人合作所需天数是30（ 3+ 2） = 6（天）实际上我们把 1 ( 11 ) 这个算式，先用 30 乘了一下，都变成整数计算，就方便些.10151 : 110 天与 15 天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系3

3、: 2 .或者说“工作量固定，工作效1015率与时间成反比例” .甲、乙工作效率的比是15 10=3 2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的 .根据 3:2 ，两人合作时， 甲应完成全部工作的323 ，所需时间是10 36（天）.355因此，在下面例题的讲述中， 我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法， 也可以 “整数化” 或“从比例角度出发” 、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例 1. 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6天可以完成 .现在甲先做了3 天，余下的工作由乙继续完成.乙第 1 页 共 9 页1第七讲工程问题需要做几天可

4、以完成全部工作？解析：甲的工效： 1 9 1/9 乙的工效： 1 6 1/6甲三天做了的： 1/9 3 1/3余下的工作： 1 1/3 2/3乙需做的天数： 2/3 1/6 4（天）例 2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30 天完成，甲、乙两队合做8 天后，余下的由丙队做，又做了6 天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？解析： 1- （ 1/24+1/30 ）8=2/56 2/5=15天例 3. 某工程先由甲单独做63 天，再由乙单独做28 天即可完成，若由甲乙两人合作，需48 天完成，现在甲先单独做42 天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做63

5、 天，再由乙单独做28天可以完成 ,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35 天所以甲的工效为 (1-28/48)/35=1/84，乙的工效为 1/48-1/84=1/112甲先单独做42 天，然后由乙接着做，还需 (1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法： 令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y 则 63x+28y=148(x+y)=1 求得 x=1/84y=1/112 若甲独做42 天，则完成工程的42/84 ，即 1/2 ，剩下 1/2由乙完成，需要 1/2 1/112=56天例 4. 一项工程，甲乙两人合作4 天后，再由乙单独做5 天完成，已知甲比乙每天多完

6、成这项工程的1 ，30甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需X 天，乙单独做需y 天 4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10Y=15 甲单独做需10天，乙单独做需15 天设甲单独做需 X 天，那么甲平均每天完成工程的1/X ；因为甲比乙每天多完成这项工程的30 分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30 ；按照已知条件，甲乙合作4 天， 4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了 5 天， 5*(1/x-1/30) ，加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1第 2 页 共 9 页2第

7、七讲工程问题x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15 天例 5. 一项工程，甲队单独做20 天完成，乙队单独做30 天完成 .现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16 天 .问乙队休息了多少天？16 天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了 13/20乙完成了 1-13/20=7/20需要时间： 7/20 1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例 6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10 天，单独完成乙工作要15 天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要 20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两

8、项工作都完成最少需要多少天？解析 1 ：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为： 7/15/（1/15+1/20)=4所以至少要工作： 8+4=12（天）解析 2 ：小李做甲工效高小李先做甲 ,小张先做乙 ,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要 :(1-8/15) (1/15+1/20)+8=12天例 7. 甲、乙合做一件工作要15 天才能完成，现在甲、乙合做10 天后，再由乙独做6 天，还剩下这件工作的 1/10，甲单独完成这件工作要多少天？解析： 甲乙合作10 天，完成了： 10 1/15 2/3乙独做6 天完成了： 1 2/3 1/10 7/30

9、 乙每天完成：7/30 6 7/180甲独做需要： 1 （1/15 7/180 ） 36 （天）例 8. 一项工程甲队单独做15 天可以完成，乙队独坐 10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9 天，乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为1/15 ，乙独做一天的工效为1/10 。合做分想：这项工程甲做了9 天，剩下的都是由乙队完成的。可以用工作总量减去甲队9 天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时第 3 页 共 9 页3第七讲工程问题间：（ 1 1/15 9）1/10 4 （天）。所以乙队比甲队少工作天数

10、为：9 4 5例 9. 甲、乙合做一件工作，合作 8 天后，乙又独做 5 天，还剩下这件工作的 1/6。已知乙单独完成这件工作要 30 天，那么甲单独完成这件工作要多少天？解析： 1-1/30（8+5 ） -1/6=12/30=2/5 2/58=1/20所以需要20 天例 10.甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12 ，甲单独做6 天，乙又单独做10 天后，还剩下全部工作的 11/30 没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？解析： 6*1/12=1/21-11/30-1/2=2/15(2/15)/(10-6)=1/301/(1/12-1/30)=20例 11.一项工程，甲单独完成需1

11、2 天，乙单独完成需9 天。若甲先做若干天后乙接着做，共用10 天完成，问甲做了几天？解析 1 ：当做鸡兔同笼问题处理，如果10 天都是乙做，能完成： 1/9 10=10/9，超出了： 10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了： 1/9 1/36=4天解析 2 ：设甲做了 X 天X 1/12 (10-X) 1/9 1，得出 X4甲做了4 天例 12.一件工作，甲独做要12天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天 .这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2 倍，终于做完了这件工作 .问总

12、共用了多少天？解析：设甲做了 x 天，则乙做了 3x天，丙做了 6x 天，所以 x/12+3x/18+6x/24=1， x/2=1x=2 ，所以总共用了2+3*2+6*2=20天例 13.一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20 小时、 24 小时、 30 小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12 小时完成，甲只打了多少小时？解析 1 ：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了 12 小时，则乙和丙分别打了全部稿件的 12/24,12/30 ， 12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10) 除以（ 1/20)=2甲

13、打了2 小时解析 2 ：方程法：设甲打x 小时。则： x/20+12*（ 1/24+1/30） =1 ，可解出X=2例 14. 一项工程甲单独完成要30 天，乙单独完成要45 天，丙单独完成要90 天。现在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲休息了2 天，乙休息了3 天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？第 4 页 共 9 页4第七讲工程问题解析 1 ：方程法设是第x 天完成的， (x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理，得 x=17解析 2 ： (1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天 )解释：假若甲、乙没休息

14、，那么应该完成总工程的1+2/30 +3/45例 15. 一项工程，甲、乙两人合做4 天后，再由甲单独做6 天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项工程的 1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析 1 ：思路同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16 ，x+1/80=3/40，所以甲 40/3 天完成，乙16 天完成解析 2 ：甲比乙多完成全部任务的：1/80* （ 4 6 ） 1/8 （ 4 6表示甲一共做了 10 天） 1-1/87/8 （相当于两人均以乙的工效完成的工作量）4 4 6 14 （天）乙每天完成： 7/8 14

15、1/16，甲每天完成：1/16 1/80 3/40 ，单独完成甲要： 13/40 13又 1/3 （天）例 16. 一件工作，甲、乙两人合作36 天完成，乙、丙两人合作45 天完成，甲、丙两人合作要60 天完成 .问甲一人独做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=1 36=1/36 ，乙丙合作的效率=1 45=1/45 ，甲丙合作的效率=1 60=1/60 ，甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？解： 1(11 )3 天2

16、10152. 某工程甲队单独做需48 天，乙队单独做需36 天。甲队先干了6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？第 5 页 共 9 页5第七讲工程问题分析与解： 以全部工程量为单位1。甲队单独干需100 天，甲的工作效5. 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 4

17、5 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想， 变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、 乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12 天。6. 制作一批零件，甲车间要10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6 天就能完成 .乙车间与丙车间一起做，需要8 天才能完成 .现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400 个 .问丙车间制作了多少个零件？解一： 仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成第 6 页 共 9 页6第七讲工程问题因此这批零件的总数是丙车间制作的

18、零件数目是答：丙车间制作了4200 个零件 .解二： 10 与 6 最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30 份 .甲每天完成3 份，甲、乙一起每天完成5第 7 页 共 9 页7第七讲工程问题份，由此得出乙每天完成2 份 .乙、丙一起，8 天完成 .乙完成 8 2=16（份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是16 14=87.已知甲、乙工作效率之比是32= 128.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 8 7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（ 12- 8） 7= 4200（个） .7. 搬运一个仓库的货物，甲需要10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时 .有同样的仓库 A 和 B ，甲在 A仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完 .问丙帮助甲、乙各多少时间？解： 设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工