全微分的定义及计算

1、 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 二、全微分在近似计算中的应用 应用应用 第三节第三节 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分 )( xoxAy xxfy)(d 近似计算近似计算 估计误差估计误差 本节内容本节内容: 一、全微分的定义及计算一、全微分的定义及计算 全微分全微分 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y ) ),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成 , )(oyBxAz 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关

2、， 称为函数称为函数),(yxf 在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作 dzA xB y 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, 22 )()(yx 则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微， 处全增量处全增量 则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微. AxBy )(oyBxAz yBxAfz dd (2) 偏导数连续偏导数连续 ),(),(yxfyyxxfz )()(lim 0 oyBxA 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微函数可微 函数函数 z = f (x, y) 在

3、点在点 (x, y) 可微可微 ),(lim 0 0 yyxxf y x 当函数可微时当函数可微时 : 得得 z y x 0 0 lim 0 ),(yxf 函数在该点连续函数在该点连续 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即 定理定理1 1( (必要条件必要条件) )若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 , 则该函数在该点的偏导数则该函数在该点的偏导数 y z x z , y y z x x z z d ), (), (yfyfz x x z 同样可证同样可证,B y z y y z x x z z d 证证:因函数在因函数在点点(x, y) 可微可微,

4、 故故 , )(oyBxAz ,0y令 )(xoxA 必存在必存在, ,且有且有 得到对得到对 x 的偏增量的偏增量 xxx 因此有因此有 x z x x 0 limA 反例反例: 函数函数),(yxf 易知易知,0) 0, 0()0, 0( yx ff 但但 )0, 0()0, 0(yfxfz yx 因此因此,函数在点函数在点 (0,0) 不可微不可微 . )(o 注意注意: 定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立 . 22 )()(yx yx 22 )()(yx yx 22 )()(yx yx 0 偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! 即即: 0, 22 22 yx y

5、x yx 0, 0 22 yx ),(yyxxf 定理定理2 (充分条件充分条件) y z x z , 证：证：),(),(yxfyyxxfz )1,0( 21 xyxf x ),( yyyxf y ),( 2 xyyxxf x ),( 1 ),(yyxf ),( yxf),(yyxf yyxf y ),( 若函数若函数 ),(yxfz 的偏导数的偏导数 ,),(连续在点yx则函数在该点则函数在该点可微分可微分. 0lim 0 0 y x ,0lim 0 0 y x z yyxfxyxf yx ),(),( yyxfxyxfz yx ),(),( yx 所以函数所以函数 ),(yxfz ),(

6、yx yx 在点在点可微可微. . 0lim 0 0 y x ,0lim 0 0 y x 注意到注意到, 故有故有 )(o x x u 推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如例如, 三元函数三元函数 ),(zyxfu ud 习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示, udy y u d z z u d x x u d 的全微分为的全微分为 y y u z z u 于是于是 例例1. 计算函数计算函数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. yx ze 解解: x z 22 e2 ) 1 , 2( ,e ) 1

7、 , 2( y z x z yxzde2ded 22 ) 1 , 2( 例例2. 计算函数计算函数的全微分的全微分. zy y xue 2 sin uddxy y d)cos( 22 1 zy zy de y z ,e yx y yx xe zy ze 内容小结内容小结 1. 微分定义微分定义:),(为例以yxfz z yyxfxyxf yx ),(),( zd yyxfxyxf yx d),(d),( 22 )()(yx 2. 重要关系重要关系: )( o 函数可导函数可导 函数可微函数可微 偏导数连续偏导数连续 函数连续函数连续 定义定义 思考与练习思考与练习 函数函数 ),(yxfz 在

8、在),( 00 yx可微的充分条件是可微的充分条件是( ) ;),(),()( 00 连续在yxyxfA ),(),(, ),()( 00 yxyxfyxfB yx 在 的某邻域内存在的某邻域内存在 ; yyxfxyxfzC yx ),(),()( 0)()( 22 yx当时是无穷小量时是无穷小量 ; 22 )()( ),(),( )( yx yyxfxyxfz D yx 0)()( 22 yx当时是无穷小量时是无穷小量 . 1. 选择题选择题 D 在点在点 (0,0) 可微可微 . 在点在点 (0,0) 连续且偏导数存在连续且偏导数存在, 续续,),(yxf而 ),(yxf )0 , 0()

9、,(, 1 sin 22 yx yx yx )0 , 0(),(, 0yx 证证: 1) 因因 22 1 sin yx xy 0),(lim 0 0 yxf y x )0 , 0(f 故函数在点故函数在点 (0, 0) 连续连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 2.证明证明 xy 所以所以 ),(yxf )0 , 0(),(, 1 sin 22 yx yx xy )0 , 0(),(, 0yx ),(yxf x ,)0 , 0(),(时当yx ,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP ,0)0 ,(xf;0)0 , 0( x f . 0)0 , 0( y f同理同理 y 22 1

10、sin yx 322 2 )(yx yx 22 1 cos yx ),(lim )0 , 0(),( yxf x xx 极限不存在极限不存在 , ),(yxf x 在点在点(0,0)不连续不连续 ; 同理同理 , ),(yxf y在点在点(0,0)也不连续也不连续. x x (lim 0 |2 1 sin x 3 3 |22x x ) |2 1 cos x 2) 3) 题目 ),(yxf )0 , 0(),(, 1 sin 22 yx yx xy )0 , 0(),(, 0yx ,)()( 22 yx 4) 下面证明下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微可微 : yfxff yx )0 ,