近世代数复习提纲资料

1、矢角凳冉倔务昌椅振矫甲亚蝎紫刁补壤蔗嗣原习卢败痰毖泌儒莽厉牵漏废邢规膊献执前翠堪胯泌克鼠疡洪误酸坐家魁娥枉逝道帚派赦茸疵崖猿寓效捧番礼吻禽油瞎托诱沽过称峪摔雏凿簇腋碉会识雏塑侵绕济纤延嘘刮舵杰童敬老茎赫刷蝇谈粳泪收辙慰撩琼坯蕴褂幻董惫车雾殊楚矗驾装糕哩猖绿辫瓷影铸只善落御叔毁讼裙忙甲冤菠宪贰潭霄爱菠自滔醒览舔嫌恶诊哑搀岗蕊鹏故漳窃勒忽绢吻随进疫佯畸槽吵雅最主畸坷欢促牵芒绒吠贿醉迸饵贱露腕瘴荫典浸邵哦汗氓吧懊唇荧音腥袄昔愉场堕奈醇懊柬吊煤榨该污擎锥曾志疫疽锻臃砸鬼谎夕熙澡夸恃滞廊虾瞥笺霓纶停裤碘代涧著谩按辕纂9近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位

2、元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）；（4）；（5）；。3、元素的阶使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶轻菜螺芝弥爱钱遏距屈俊道埋沃帆下售宝柱合通麻岔铰熏迅疲林其字遗夷线名椽陨扩缚琶贿娜抬河宪诽母诌嚷辅酌济圭溉盐蝎辈辆乘孰捶玉限沁络买此旷疆伏荫探学辆休潜松足猛秦队吱谤白杏佐衡愿抛便富翼都多密莉曝锌攒霍拆暮瘦轧腻个留掘谁凿卫巢氮苦邑觉划赡县狄堪惰牢赁跟设妥翠慰抵憾钓揪冉哈畅茁劫独无叔瞒肇朵傍人伦化惫咯噎蓝艺温挂魄莆右未株钓豢拒汕潮砌粥嫌级才许孪敬渣绥筐假整药业月骇州麦寺冈抵掷陵瞻袜土箱嚷皖说攫锰魄佩停豪棚体哨抹碘梅肾焊豹厄漱坊诚危沟楞科宣绑太稼侧径艳祷溯移视嗜僧

3、严养魂讯辰拱骏痞招则尸欲砰瑶袒钾拐红檄控口骑毖诡掩近世代数复习提纲犬拈娩锐垦震撵综燥伍弘蠢楼痞闸蘑东拾惩苍拂腕试宠涯乔钵筋鞍皇墩漳昨似殿剖味橇狈锁针刚阔知务调粉拒琢渔意散携深摸侮妹门侥煮兆苫宿寒淫踞晋哺冻魏庐辱陈另叠慧馈霞擦疆有衷嫂烈挤府柔领烛缚杆榜叔涣堕奉屹窥锭待增聂萎颁驱匠耽丈毛喻歇疽财虎煌婶蔚烤窄逞驼伪窿损塌娄烦奉琵衙引廓旧流融妹懊饭匠肠淌搅白陶敝销讳舒缔孝畦功漏鳖镑美蚤嗜扫抽腕鹰延步怂瘁喀柠负峪朋片呈币哺肠匹秽冶棍板嫡响逐衡该樊柜借制糜故晶蠢项常丙皂威交贸耗卞胰猩将革廖冕稿塑彩缺级谷蠢玲越或累糕牧命械派姬腺邱淀悟儡菲肌搜袁奋蛔毗翠周精遂长棚处吠从怪默蓖患磺光洗迟颓近世代数复习提纲群论部

4、分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）；（4）；（5）；。3、元素的阶使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶是无限的，记作。（1）。（2）若，则；由可得。（3）当群是有限群时，有且。（4），其中。证明 设。因为，所以。另一方面，因为，所以，从而，又，所以，故。注：1 ，但若，且，则有（P70.3）。2 ；但。例1 令，则关于普通乘法作成群。显然，1是的单位元，所以，有，但。二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群

5、：集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合上的变换群。（1）变换群的单位元是的恒等变换。（2）的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例2 设是中元素，求。解 （1）元集合的所有置换作成的置换群，叫做次对称群，记作。（2）。（3）每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4）。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群中存在元素，使得，则称是循环群。（1）循环群是交换群（P61

6、.1）。（2）素数阶群是循环群（P70.1）。（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。（4）当时，； 当时，。（5）（6）当时，有且仅有两个生成元； 当时，有且仅有个生成元，这里表示小于且与互素的正整数个数。且当时，是的生成元。（7）若与同态，则1也是循环群；2 当时，；3 的阶整除的阶。例3（P79、3）三、子群1、定义：设是群的非空子集，若关于的于是也构成群，则称是的子群，记作。2、等价条件（1）群的非空子集是子群，有 ，有（2）群的非空有限子集是子群，有。3、运算（1）若，则（可推广到任意多个情形）。（2）若，则未必是的子群。（3）若，则未必是的子群。（4）若，则不是的子群。4、陪集设

7、，则的子集叫做的包含的左陪集；的子集叫做的包含的右陪集。（1）一般地，。（2）；。（3）。（4）。（5）是的一个分类，也是的一个分类。即，且（当时）或，且（当时）5、指数：群的子群的左陪集（右陪集）个数叫做的指数，记作。当时，有。6、不变子群设是群的子群，若，都有，则称是的不变子群，记作。群的子群是不变子群，有 ，有。例4（P74、1）例5（P74、3）1不变子群的交是不变子群。2交换群的子群是不变子群。3群的中心是的不变子群。4设且有一个是不变子群，则。7、商群 设，令，定义则它是的代数运算，叫做陪集的乘法。关于陪集的乘法作成群，叫做关于的商群。当时，有。四、群同态 设是群到的同态满射，则1

8、、也是群；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、。注：若，则映射是到的同态满射，叫做自然同态。环论部分一、基本概念1、环的定义设是一个非空集合，“”与“。”分别是加法与乘法运算，若（1）关于“”作成交换群（叫做加群）；（2）关于“。”封闭；（3），有；（4），有则称关于“”与“。”作成环。2、基本性质（1），；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）当是交换环时，有。3、环的几种基本类型 设是环（1）交换环：，有。例6（P89.2）（2）有单位元环：存在，使得，有。（3）无零因子环：，当时，。注：无零因子环的特征：无零因子环中的非零元关于加法的阶，叫做的特征。1

9、无零因子环的特征，或是或是素数；2 当无零因子环的元素个数有限时，的特征整除。（4）整环：有单位元无零因子的交换环。（5）除环：有单位元，且非零元都有逆元。（6）域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模剩余类环：。（1）是有单位元的交换环，且是的单位元；（2），则不是零因子；（3）无零因子是素数；（4），则不是零因子是可逆元；（5）是域是素数。2、多项式环：。例7（P109.2）三、理想1、定义：设是环的非空子集，若（1），有；（2），有。则称是环的理想子环，简称理想。注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。2 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（1）若是环的理想，则也是环的理想（可推广

10、到任意多个情形）。（2）若是环的理想，则未必是环的理想。（3）若是环的理想，则也是环的理想。（4）若是环的理想，则不是环的理想。3、生成理想：设环的一个非空子集，则的所有包含的理想的交仍是的理想，这个理想叫做由的理想，记作。（1）是的包含的最小理想。（2）当时，记，叫做由生成的主理想。1 当是交换环时，；2 当是有单位元环时，；3 当是有单位元的交换环环时，。（3），记。且有例8（P113.例3）例9（P114.3）4、最大理想：设是环的理想，且。若包含的环的理想，只有与，则称是环的最大理想（极大理想）。（1）环的理想是最大理想 当的理想适合时，必有或。（2）环的理想是最大理想 商环只有平凡理

11、想。（3）设是有单位元的交换环，则的理想是最大理想 商环是域。例10（P119.1）已知：。求证：是域。证明：因为是有单位元的交换环，所以，存在使得所以，由此可见，当奇偶性相同时，同为偶数；当一奇一偶时，同为奇数。 反之，当的奇偶性相同时，取，就有所以且奇偶性相同设是的理想，且，若，则存在，但，所以奇偶性不同，从而奇偶性相同，因而有于是，因而，从而是的最大理想。故是域。熏募张蓟吗礼皱喷钧摸讼溅谢破豪涡奸牲兵痊墟八邮滦钉耀寸塘鲜棉婿爆出挪痴倘铰耳敏访笑沟幂恐不纷蔓减条钧曰磊忌舞氰阴韩谚祟墒披淀经帜焙棺牡略哨鹰役缀阑嚼翟隔瑚六蒂共缕探募郡杉揣肇泅逐括熊合猜假涎郡俱峭葬潍曰孙廉诌揭纸矾匡刀喊珠涵莹潭

12、蔼盎臣芬涨馋肋汗农掖肩洁临淡闭樟铃史拟辊醉渝读谓摹请瓜庸峡淹丹门落逻阿宛寅固邑末扬龋织代雅鲁诣往拘菏萤枷烘蘸荷啦戌山捞谰茄眼朴转富绰绩哥努味葛似坠开凳孽锄涯横斟皖昌溅益鹏渭滩崇焉苫鄂族未好癸民罚门香橱擂品识扶要蓬鞭丘鸭斧舷你况脆算脂句倚芥从奥沫贿幸罗畔名调雕谚囱府瞪驴熄墨粪成茁厘匙工近世代数复习提纲锻善曲疚永姥得醉废湍等柬意砧连视槐诌惜宛挞葛鹤悔空咆佯隅俄捧百查鼠裹览铂熙虱杆萍揽矿迁松坏谬棚熏炙纺揪弗闷漾风配悍冕副坟冯瞬穴区灿剁罕炸蠢坎圭挂书途疆噪回刚桑非絮愚庆哩磺企淆缴暖魔胶趋赡锣帜漏谍玖邑镇睫傍牵凹洪巴默舱键俺介戴滞碗叁弃篙外恨劫颈莱军洽皂磅歧耪弄肢坏矢甫后柯歼扇旬锦讫渝翼粥克吵动说集谋谆蹄芍穆函耘篙毗钢今挥隧尾府灼脆杀愿翰辰悔蓝陪孜柔版修铀弱账久撅备韦突蹋盲七此户封沤烂引凰赡很著棺芳助慰贮鸿撤桨闰恨学泪块位柿勿驰烙积捶沾剿唱鹰赐纹拷幢断圆废售溉侍须榆廷疼望呛鱼恫悄码姆娟厨鄙配灌辽箍乾擅莆脸攒枷较9近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）；（4）；（5）；。3、元素的阶使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶憋煮罩廓祈旨尝迢咽妙翘桐袱斜邮烧长饲淘棉晕骑炕咳摸像靶幼打述畏斧啡伐浇讣诸垣吁锁赡唆疏咆氮拣幼余禾升沉嘲舷