直角三角形（1）

1、 你能证明它们吗（三）你能证明它们吗（三） 等边三角形的判定等边三角形的判定 定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. .简称简称: :等边对等角等边对等角 推论推论: :等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高线互相重合底边上的高线互相重合 . . 1 1、腰三角形的性质、腰三角形的性质: : 判定定理判定定理: :有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. . 简称简称: :等角对等边等角对等边. . 复习回顾：复习回顾： 简称三线合一简称三线合一 2、等边三角形、等边三角形 定义：有三边相等的

2、三角形叫等边三角形定义：有三边相等的三角形叫等边三角形 性质性质: : （1 1）等边三角形的三个角都相等）等边三角形的三个角都相等, ,并且每个角都并且每个角都 等于等于6060 （2 2）等边三角形每一条边上的高、中线和对角的）等边三角形每一条边上的高、中线和对角的 平分线都三线合一平分线都三线合一 等边三角形的判定等边三角形的判定: w一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三 角形？角形？ 探索新知：探索新知： 1 1、三条边都相等的三角形是等边三角形、三条边都相等的三角形是等边三角形. . 2 2、三个角都相等的三角形是等边三角形、三个角都相

3、等的三角形是等边三角形. . 证明证明:A=B (:A=B (已知已知),), BC=AC,( BC=AC,(等角对等边等角对等边).). 又又B=C(B=C(已知已知),), AB=AC,( AB=AC,(等角对等边等角对等边). ). AB=BC=AC( AB=BC=AC(等式性质等式性质).). ABCABC是等边三角形是等边三角形( (等边三角形定义等边三角形定义).). 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,A=B=C.,A=B=C. 求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. . A A C CB B 2 2、三个角都相等的三角形是等边三角形、三个角都相等的三

4、角形是等边三角形. . 证一证：证一证： 定理：定理： 你认为有一个角等于你认为有一个角等于60600 0的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边 三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思 路与同伴进行交流。路与同伴进行交流。 想一想：想一想： A A C CB B 600 A A C CB B 600 有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. . 证明证明:AB=AC, B=60:AB=AC, B=600 0( (已知已知),), C=B=60 C=B=600 0.(.(等边对等角等边对等角) ) A=60

5、A=600 0( (三角形内角和定理三角形内角和定理) ) A=B=C A=B=C （等式性质等式性质）. . ABCABC是等边三角形是等边三角形( (三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是 等边三角形等边三角形).). 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中 AB=AC,B=60AB=AC,B=600 0. . 求证求证: :ABCABC是等边三角形是等边三角形. . A CB 600 证一证：证一证： 2 2、有一个角是、有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. . 在在ABCABC中中, , AB=AC,B=60AB=AC,B=600

6、0( (或或A=60A=60或或C=60).). ABCABC是等边三角形是等边三角形( (有一个角是有一个角是60600 0的等腰三的等腰三 角形是等边三角形角形是等边三角形).). A CB 600 等边三角形的判定定理：等边三角形的判定定理： 1 1、三个角都相等的三角形是等边三角形、三个角都相等的三角形是等边三角形. . 在在ABCABC中中, , A=B=C.A=B=C. ABCABC是等边三角形是等边三角形. . 用一用：用一用： 例例1 1：如图：如图, ,ABCABC是等边三角形，是等边三角形，DEDEBC,BC,分别分别 交交AB,ACAB,AC于点于点D,E.D,E.求证求

7、证: :ADEADE是等边三角形是等边三角形. . A B C D E 证明：证明： ABCABC是等边三角形是等边三角形. . A=B=C =60A=B=C =60 DE DEBCBC ADE=B=60 ADE=B=60,AED=C=60,AED=C=60 ADE=AED=AADE=AED=A ADEADE是等边三角形是等边三角形. . （三个角都相等的三角形是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形. .） w用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，你能拼角的三角尺，你能拼 成一个怎样的三角形？成一个怎样的三角形？ 300 300 300300 w能拼出一个等边三角形吗？说说你的

8、理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. . 300 300 做一做：做一做： 能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？ 结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角角所对的直角 边等于斜边的一半边等于斜边的一半. . w由刚才的拼图你想到，在直角三角形中由刚才的拼图你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角角 所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 300 猜一猜：猜一猜： 300300 在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么那么 它所对的直角边等于斜边的一半它所对的

9、直角边等于斜边的一半. . 300 A BC 证证 一证一证 已知已知: :如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0, , A=30A=300 0 求证求证:BC= AB.:BC= AB. 2 1 300 A BCD ACB=90 ACB=900 0, (, (已知已知),), ACD=90 ACD=900 0( (平角意义平角意义) ) 在在ABCABC与与ADCADC中中 BC=DCBC=DC（作图作图） ACB=ACDACB=ACD（已证已证） AC=ACAC=AC（公共边公共边） ABCABCADCADC（SASSAS） AD=ABAD=AB ACB

10、=90 ACB=900 0,A=30,A=300 0( (已知已知),), B=60 B=600 0( (直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).). 证明证明: : 延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADAD ABDABD是等边三角形是等边三角形 ( (有一个角是有一个角是6060的等腰的等腰 三角形是等边三角形三角形是等边三角形) ) BC= BD= AB BC= BD= AB 2 1 2 1 定理定理: : 在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, , 那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于

11、斜边的一半. . 在在ABCABC中中, , ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. . BC= AB.(BC= AB.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30300 0角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半).). 2 1 A B C 300 几何的三种语言几何的三种语言 解解:B=ACB=15:B=ACB=150 0( (已知已知),), DAC=B+ACB= 15DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一个三角形的一个 外角外角, ,等于和不相邻的两内角的和等于和不相邻的两内角的和).). CD= AC=a

12、(CD= AC=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角如果有一个锐角 等于等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).). 2 1 例例2 .2 .已知已知: :如图如图, ,等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, , 腰长为腰长为2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. . A CB D 150150 2a2a 1.1.已知已知: :如图如图, , 在在ABCABC中中,ACB,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D. 求证求证:BD=AB/4.:BD=AB/4. 你能规范地写

13、出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？ A C B D 300 练一练练一练 300 2.2.已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角形是等边三角形,D.E,D.E分别是分别是 BC,ACBC,AC上的点上的点, ,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD, P,BQAD, 垂足是垂足是Q, Q, (1)(1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQ:BP=2PQ A C D B P E Q 2 1 23 思路：思路： 先证先证ABEABECAD(CAD(SASSAS) ) 1= 2 1= 2 BPD= 1+ 3BPD= 1+ 3

14、 BPD= 2+ 3= 60BPD= 2+ 3= 60 300 w命题命题: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于斜如果一条直角边等于斜 边的一半边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. .是真命题吗是真命题吗? ? w如果是如果是, ,请你证明它请你证明它. . 300 A BC 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,BC=AB/2.,BC=AB/2. 求证求证:A=30:A=300 0. . 逆向思维逆向思维 在在ABCABC和和ADCADC中中, , BC=CD,ACB= ACD=BC=CD,

15、ACB= ACD= 90900 0,AC=AC,AC=AC ABCABCADC(SAS)ADC(SAS) , AB=ADAB=AD 又又BC=AB/2 BC=BD/2BC=AB/2 BC=BD/2 AB=BDAB=BD AB=BD=ADAB=BD=AD ABDABD是等边三角形是等边三角形. . B=60B=600 , 0 ,A=30 A=300 0 A BCD 证明证明: :如图如图, , 延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接AD.AD. 几何的几何的三种语言三种语言 w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于如果一条直角边等于 斜边的

16、一半斜边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. . 在在ABCABC中中 ACB=90ACB=900 0,BC=AB/2(,BC=AB/2(已知已知),), A=30A=300 0( (在直角三角形中在直角三角形中, ,如果一如果一 条直角边等于斜边的一半条直角边等于斜边的一半, ,那么它所那么它所 对的锐角等于对的锐角等于30300 0).). A B C 300 如图如图(1):(1):四边形四边形ABCDABCD是一张正方形纸片是一张正方形纸片,E,F,E,F分分 别是别是AB,CDAB,CD的中点的中点, ,沿着过点沿着过点D D的折痕将的折痕将A A角翻

17、折角翻折, ,使使 得得A A落在落在EFEF上上( (如图如图(2), (2), 折痕交折痕交AEAE于点于点G,G,那么那么 ADGADG等于多少度等于多少度? ?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗? ? DA CB EF DA CB EF (1) (2) G A 答答:ADG:ADG等于等于15150 0. . 证明证明: : DF=DC/2DF=DC/2 A A1D=AD=CDD=AD=CD DF=ADF=A1 1D/2D/2 DADA1 1F=30F=300 0 ( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于斜边的一半如果一条直角边等于斜边的一半, ,那那 么它所对的

18、锐角等于么它所对的锐角等于30300 0).). AA1 1DA=DADA=DA1 1F=30F=300 0 ( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等).). ADG=AADG=A1 1DA/2=15DA/2=150 0( (角平分线定义角平分线定义).). DA CB EF (2) G A1 又又ADEFADEF 1 1、等边三角形的判定方法、等边三角形的判定方法: : （1 1）等边三角形的定义等边三角形的定义 （2 2）定理）定理: :有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边 三角形三角形. . （3 3）定理）定理: :三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. . 小小 结结 2 2、特殊的直角三角形的性质、特殊的直角三角形的性质: :