医学医用物理学章分子动理论

1、?物质的微观模型 ?理想气体分子动 理论 ?气体分子速率分 布和能量的统计 规律 ?液体的表面现象 第四章 分子动理论 一.基本概念 ?微观量 ：描述单个分子的物理量 ,如分子的 速度、质量、平均动能等 . ?宏观量 ：描述整个系统的物理量 ,如气体的 温度、压强、热力学能等 . ?热运动(thermal motion)：宏观物体内部大量 分子、原子等微观粒子所作的永不停息的无规 则运动. 4-1 物质的微观模型 二. 分子力与分子力曲线 实验证明分子间存在引 力又存在斥力 ,两分子 间互相作用力的半经验 公式为 式中r为两分子中心距 离.C1、C2为正数. qp r C r C F 21 ?

2、 一.理想气体的物态方程 ?平衡态与态参量 平衡态: 系统的宏观性质不随时间而变的状态 , 从微观上看,分子仍在不停地作热运动 . 体积 V? m 3 温度 T? K 压强 p? Pa 状态参量: 4-2 理想气体分子动理论 压强不太高 ,温度不太低的实际气体都可视 为理想气体,遵守 ?理想气体的物态方程 或 p=nkT 式中,m：气体质量, 单位为kg. M：气体摩尔质量,单位为kgmol ?1 . R = 8.31 J? mol ?1 K ?1 . RT M m pV? 二. 理想气体的微观模型 ?气体分子的大小与分子间的平均距离相比 可以忽略. ?分子除碰撞瞬间外 ,无其他相互作用. ?

3、碰撞视为完全弹性碰撞 . 这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型. 在压力不太大、温度不太低时 ,与实际情况附 合得很好. 三. 理想气体的压强公式 宏观：器壁单位面积所受的压力 . 微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位 面积的平均冲力. ?标准状态下气体的数密度巨大 ,能很好满足微观统计 的要求.分子数密度量级为10 25 个/m 3 . ?各分子速度大小及方向不同,要对各种不同速度间隔 的分子碰壁的冲量求和. ?单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强. 运用统 计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系. 压强的概念 理想气体压强的统计意义 定义为大量气体分子的平均平动动能 . 理想气

4、体的压强公式 气体的宏观量压强 ,是大量气体分子作用于器壁 的平均冲力,由微观量的统计平均值和n决定. 理想气体压强公式是反映大量分子行为的一种统 计规律,并非力学定律 .对个别分子而言 ,气体压 强没有意义. 2 2 1 vm k? ? k ? k nmnmn s F p? 3 2 ) 2 1 ( 3 2 3 1 22 ?vv 气对壁 四.气体温度的统计意义 由理想气体物态方程 ,压强公式 上式为理想气体的温度公式 . Tp nk? 得到 k np? 3 2 ? kT k 2 3 ? 可知气体的热力学温度 T与气体分子的平均平 动动能成正比. 气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧烈 程度的

5、量度. 气体的温度是大量分子热运动的集体表现,具 有统计意义.离开大量分子,温度失去意义. 由温度公式和kT k 2 3 ? 2 2 1 vm k ? 气体分子的平均平动动能只是气体分子运动 能量的一部分在某方面产生的统计平均效果 . 如果将原子看成质点 ,将分子看成是原子的刚 性连接体(刚性分子),则分子的动能除平动动 能外,对于双原子分子和多原子分子还有转动 动能. 分子平均动能的计算 ,涉及自由度概念. 五. 能量基本公式 ?自由度 确定某物体空间位置所需的独立坐标 的数目( i ). 平动自由度 x, y, z 平动自由度x, y, z 转动自由度?, ? 三及多原子分子 平动自由度x

6、, y, z 转动自由度 ?,?, ? 单原子分子 z x y O i = 3 i = 5 双原子分子 z x y O z x y O ? ? x z y z x y O z x y O ? ? x z y ? i = 6 处于平衡态的理想气体分子的平均平动动 能为 同时 故 ?能量均分定理 2222 3 1 vvvv? zyx kTmmm zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 222 ?vvv 每个平动自由度的平均平动动能均为. kT 2 1 kTm 2 3 2 1 2 ?v 将等概率假设推广到转动动能 ,每个转动自由 度的转动能量相等 ,而且亦均等于. 在温度为 T 的平衡态下,气体分子

7、的每一个自 由度,都平均地具有的动能. 能量基本公式(能量按自由度均分定理 )： kT 2 1 kT 2 1 处于平衡态温度为 T 的理想气体,若将气体分子 看作刚性分子,如果分子有 t 个平动自由度,r个 转动自由度,则气体分子的平均动能 ： 若将分子看作非刚性分子 , 要考虑分子的振动动能 ,按 一定的原则确定振动自由 度. ?气体分子的平均动能 分子tri He, Ar303 O2, N2325 H2O336 CH4336 kT i kTrt k 2 )( 2 1 ? 一定量理想气体的内能 组成气体的全部分 子的平均动能之和. 1mol理想气体的内能 分子的平均动能 一定质量m理想 气体

8、的内能 ?理想气体的内能 理想气体的内能与其质量、自由度、温度成正比 . RT i kT i NE 22 Amol1 ? RT i M m E 2 ? kT i 2 ? 伽尔顿板实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 粒子落入其中某一格 是一个偶然事件,大 量粒子在空间的分布 服从统计规律. 一.伽尔顿板实验 概率性 4-3 气体分子速率分布和 能量的统计规律 f (x)称为球沿 x 的分布函数,它代表了小球落 入 x 附近单位区间的概率 ,

9、或是球落在 x 处的 概率密度. 球落入各个区间可能事件的概率之和等于 1,即 ?粒子数按空间位置 x 分布函数： x xN N xf d )(d1 )(? ? ?1 d)(xxf 二. 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦1859年首次 用统计方法从理论上 解决了气体分子运动 速率问题 ,并不久就为 实验所证实. 麦克斯韦(James Clerk Maxwell,1831?1879) 英国物理学家 ?麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律 ,是表示气体处于热平衡 时,气体的分子数按速率 (速度)大小分布的规律 . 转换成相对分子数密度按速率的分布即为速率 分布函数(速率 v 附近单位间隔内的分子数与

10、总 分子数之比) v v d d )( N N f? ?速率分布函数 v v d d )( N N f? )(vf vd v Ov 表示处于v到v+dv速率 间隔内的分子数比例 v v d )( d f N N ? 理想气体处于热平衡时 ,气体的分子数按速率 (速度)大小分布的规律由麦克斯韦在理论上导 出： ?麦克斯韦速率分布律的数学表达式 若 若m,T 给定,函数的形式可概括为 2 2 ( )e b fa ? ? v vv 2 2 23 2 e 2 4 d d )(v v v v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kT m kT m N N f 对分子质量为 m ,热力学温度为 T,处

11、于平衡态的 气体,速率在v1到v2区间内的分子数?N与总 分子 数 N之比 若将速率区间扩展至 0到?,即具有一切可能速率 的分子数与总分子数之比应为 1： ?速率分布函数的归一化条件 1d)( 0 ? ? ? vvf 此为速率分布函数的归一化条件 . vv v v d)( 2 1 ? ? ? f N N ?三种分子速率 平均速率(算术平均速率) 根据某连续变量x 的平均值等于该量与概率密 度函数乘积的积分的定义 平均速率为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 2 23 0 de 2 4)d( 2 vvvvvvv v kT m kT m f ? ?xxxfxd)( 上式

12、简化为 得平均速率为 2 0 22 0 3 1 2 )d(e 2 de 22 b aa a bb ? ? ? ? ? ? vvvvv vv a kT m ? ? ? ? ? ? ? ? 23 2 b kT m ? 2 令 ， m kT 8 ?v 速率分布函数的极大值对应的速率 vp 称为最 概然速率. 令 则 最概然速率 )(vf vO vp m kT2 p ?v 0 d (d ? v v)f 方均根速率(v2的统计平均值的开平方 ) 得方均根速率 简化后 2 v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 2 23 2 0 22 de 2 4)d( 2 vvvvvvv v k

13、T m kT m f bb a a b 8 3 de 2 0 42 2 ? ? ? ? vvv v m kT3 2 ?v 三. 玻尔兹曼能量分布率 玻尔兹曼在麦克斯 韦速率分布的基础 上,研究了气体在保 守力场中 ,各种速度 的分子在空间的分 布规律. 玻尔兹曼(Ludwig Boltzmann,1844?1906) 德裔奥地利物理学家 气体分子按势能分布 在坐标区间 xx+dx,yy+dy,zz+dz内具有所有 各种速度的分子数为： zyx kT n kTkT m zyx kT n NN zyx dddexp dddexp 2 dddexp dd p 0 k 23 p 0 ? ? ? ? ?

14、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? vvv 此式即分子按势能的分布规律 ,是玻尔兹曼分布 律的一种常用形式. 表示分子处于势能较高位置的概率较小 ,即分子 将优先占据势能较低的状态 . 在势能? p处,单位体积中具有各种速度的分子数 n为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kT n zyx N n p 0 exp ddd d ? 若在重力场中? p=mgz ,则任意高度 z处单位体 积内的分子数为 式中M为气体的摩尔质量 ,上式即重力场中 微观粒子按高度的分布规律 . ? ? ? ? ? ?

15、 ? ? ? ? ? ? ? RT Mgz n kT mgz nnexpexp 00 大气标高 H 是粒子按高度分布的特征量 , 它反 映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一 对矛盾. 在重力场中气体的分子数密度 n 随高度的增 大按指数减小. Mg RT mg kT H? ?表面张力表面张力 液体表面存在着一种收缩张力 ,这 种张力称为表面张力 .表面张力产生的原因来 自分子力. 图示为硬币在水表 面张力的作用下浮 在水面的情况 4-4 液体的表面现象 表面张力的大小可以用表面张力系数?来描 述.设想在液面上任作一长为 L的线段,则表面 张力的方向恒与线段垂直 ,大小与线段的长度 L成正比

16、,即 F = ?L 比例系数就是液体的表面张力系数?,定义为 液面上单位长度的张力 ,单位是N/m. 表面张力的数学表达： ?表面能 把增加单位液体表面积所作的功称为该液体的 表面能,单位是J/m2. 图为U形金属框ABCD, 上面有一层液体薄膜 , 金属框的 AB边长为L, 可以自由滑动 ,由于表 面张力的作用 ,薄膜要 收缩 .只有用力 F拉着 才能保持AB不动. 由于液膜有上 、下两个表面,因此增加单位液膜 表面积所作的功为 这也就是增加单位液体表面积所增加的势能. 由上式可知,表面张力系数?在数值上等于增加 单位液面时外力所做的功 ,从能量角度看 ,其大 小等于增加单位液面积时所增加的

17、表面能 . ? ? ? ? ? ? L L xL xF S A 2 2 2 ?弯曲液面的附加压强 在肥皂泡、小液滴等气体与液体接触的地方,液 面都是弯曲的.对于球面型的液面来说 ,可以证明 其附加压强为 对于中空的肥皂泡 ,由于液膜有内、外两个表面 , 可以认为两个表面半径 R相等,其附加压强为 R ?4 ?p R ppp ?2 ? 外内 ?毛细现象 气体栓塞 附着层：在液体和固体接触处取一液体薄层 ,厚 度为分子引力的有效作用距离 ,这个液体薄层称 为附着层. 液体不润湿固体 ：附着层内分子的内聚力大于 附着力时,附着层内的分子受到的合力垂直于附 着层而指向液体内部 ,类似于表面层 ,附着层

18、里 液体分子比液体内部稀疏 ,出现类似于表面张力 的收缩力 .附着层要尽可能收缩 ,以减小分子势 能.这在宏观上表现为液体不润湿固体 . 液体润湿固体 ：当附着力大于内聚力时 ,情况正 相反,附着层内的分子受到的合力指向固体,附 着层里出现液体相互推斥的力 ,分子在附着层内 比在液体内部有较小的势能 ,附着层有扩展趋势 , 宏观上表现为液体润湿固体 . 水不润湿树叶表面 水银不润湿玻璃表面 ?毛细现象 (capillarity)：润湿液体在毛细管中上 升和不润湿液体在毛细管中下降,这种现象叫做 毛细现象. 上升或下降的高度 h 可用 下式计算: gr h ? ?cos2 ? 式中?为表面张力系数,? 为 接 触角 ,?为 液体 的 密 度,g为重力加速度 ,r为毛 细管的内半径. 润湿液体在毛细管中 的上升 管内升高的液柱的重 量W为 公式推导： 管内液体上升高度h停止时,表面张力向上的拉引作用和 管内升高的液柱的重量达到平衡. 竖直方向的合力F1为 W = r 2?hg 由 F 1=W 可得 毛细现象 rF2cos 1 ? 毛细管中的液体高度 式中?为表面