相似三角形中的辅助线

1、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种：证明：过点C作CG/FD交AB于GD和E,且使AD = AE，DE延长分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。小结：本题关键在于AD = AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等 的方法：相似、成比例。BD=CE，DE，BC的延长线相交因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM/AB，交BC于点M

2、，则 EMC s ABC （两角对应相等，两三角形相 似）。交BC于N、作垂线3如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线 CE和CF，垂足分别为 E、F,求证: AB AE AD AF 二 AC2。IB E证明：过 B作BM丄AC于M，过D作DN丄AC于N： ：ABMACEAM AB二 AB AE =AC AM (1)AE ACAN AD又 ADN s . ：ACF AD AF 二 AC AN (2)AF AC(1) + (2) AB AE AD AF AC AM AC AN 二 AC (AM AN) 又 ADN 二 BCM AN=CM2- AB AE AD AF =AC(AM CM )

3、 = AC三、作延长线 例5如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分线 CH丄AB于点H , BH=3AH , 且四边形AHCD的面积为21，求 HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的 面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P/ CH 丄 AB , CD 平分/ BCD CB=CP，且 BH=PH/ BH=3AH PA: AB=1 : 2 PA: PB=1: 3/ AD / BC PAD PBCAE的延长线交BC于例6.如图，Rt.lABC中，CD为斜边 AB上的高,2F, FG _AB 于 G,求证：FG =C

4、F BFE为CD的中点,Fg cf解析：欲证式即由“三点定形” ， BFG与厶CFG会相似吗？显然不可能。BF FG（因为 BFG为Rt）,但由E为CD的中点，.可设法构造一个与 BFG相似的三角形来求解。B不妨延长GF与AC的延长线交于HAFFGFH则-AEEDEC FGFHED_ EC又 ED=EC FG=FH 又易证 Rt CFHs Rt GFBCF FH FG FH=CF BFFG BF2/ FG=FH FG2=CF BF四、作中线例7如图， ABC中，AB丄AC, AE丄BC于E, D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取 BC 的中点 M，连 AM / AB 丄 AC

5、AM=CM1 = / C又 BD=DC . DBC =/DCB . 1 C =/DBC . MAC s . ：DBC - MC 二竺 又 DC=1MC= - BCDC BC242玉2DC 2(1)又 Rt AEC s Rt ：BAC 又；EC=1 AC2=CE BC =BC (2)1 _由（1） （2）得，AC AC4 AC =3 22小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取DBC相似是解题关键BC中点M，构造. MAC与综合练习题1、在厶ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点， BE=AD，DE交AB于F。 求证：EFX BC=AC X DF2、MNABC 中， A

6、CB =90 , AC=BC ,过Q且MN丄CP,交AC、BC于M、P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点）， N,求证：PA: PB 二 CM : CN。（用三种解法）1、证明:BD 作 DG / BC 交 AB 于 G，则 DFG 和厶EFB 相似，DG _ DF匹二匹由DG / BC可得 ADG ACB相似，匹BEADEF/ BE= AD, DG BCAD EFBC ACAD AC由得， DF =_BC EF X BC = AC X DFEF AC2、证明：过 P作 PE丄AC 于 E,PF丄 CB 于 F，则 CEPF 为矩形二 PF/eC v . A = . B = 45 . Rt. ：AEPPA PE PEs Rt PFB AP:PB =PE: PF / EC=PF.（ 1）在 ECP和.CNMPB PF ECCMCN中：CP丄 MN 于 Q QCN . QNC =90 又： QCN . QCM =90 EP EC EP MCQ =/CNQ Rt PEC s Rt MCN 即CM CN EC 得 PA CMPB 一 CN3、方法一：如图（1）,设BC中点为E,连接AE。图（1）图（2）在厶BED与厶BCD