圆锥曲线知识点汇总

1、圆锥曲线知识点汇总 圆锥曲线与方程知识点汇总 圆锥曲线知识点汇总 2.1 2.1 椭圆椭圆 圆锥曲线知识点汇总 1、椭圆的定义、椭圆的定义： 1 F 2 F M 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于 常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离 叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 cFF2 21 为椭圆时,022 ca 2a2aMFMFMFMF 2 21 1 椭圆形成演示椭圆形成演示 椭圆定义椭圆定义.gsp 圆锥曲线知识点汇总 满足几个条件的动点的轨迹

2、叫做椭圆？满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ v(1)平面上平面上-这是大前提这是大前提 v(2)动点动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之和的距离之和 是常数是常数 2a v(3)常数常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2c 12 22MFMFac 4 圆锥曲线知识点汇总 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹 12 - , 0 , 0，FcFc 1 2

3、0,-0,，FcFc 标准方程标准方程 相相 同同 点点 焦点位置的判断焦点位置的判断 不不 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关系的关系 x y F1 1F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O a2-c2=b2 圆锥曲线知识点汇总 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 （1）首先要）首先要判断判断类型，类型， （2）用）用待定系数法待定系数法求求ba, a2=b2+c2 典例分析典例分析 圆锥曲线知识点汇总 例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离

4、之和等于10， 求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 1 2 y o FF M x . 解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 925 22 yx 圆锥曲线知识点汇总 例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2 2，0 0）， 5 53 3 （2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. . 2 22 2

5、2 22 2 2 22 2 解解 : :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为 x xy y + += =1 1( (a a b b 0 0) ). . a ab b 2 22 22 22 2 2 22 22 2 由由 椭椭 圆圆 的的 定定 义义 知知 5 53 35 53 3 2 2 a a = =+ + 2 2+ +- -+ +- - 2 2+ +- -= = 2 21 1 0 0 2 22 22 22 2 所所 以以 a a = =1 1 0 0 . . 又又 因因 为为 c c = = 2 2 , ,所所 以以 b b= = a a-

6、 - c c= = 1 1 0 0 - - 4 4 = = 6 6 . . 2222 2222 因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为 xyxy +=1.+=1. 106106 圆锥曲线知识点汇总 1 1 1 11 1 变变式式引引申申：求求焦焦点点在在y y轴轴上上，且且经经过过点点A A( (, ,) )、B B( (0 0, ,- -) )的的 3 3 3 32 2 椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2 22 2 2 22 2 2 22 2 y yx x 解解 ： 设设 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 方方 程程 为为+ += = 1 1 , , a ab b 1 11 11

7、 1 将将 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ： 3 33 32 2 2 22 2 1 11 1 3 33 3 + += = 1 1 2 22 2 a ab b , , 2 2 1 1 - - 2 2 = = 1 1 2 2 a a 1 1 2 2 a a= =, , 4 4 解解 得得 ： 1 1 2 2 b b= =. . 5 5 y yx x 故故 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 标标 准准 方方 程程 为为+ += = 1 1 . . 1 11 1 4 45 5 ？思考一个问题思考一个问题:把把“焦点在焦点在y轴上轴上”这句话去

8、掉，怎么办？这句话去掉，怎么办？ 圆锥曲线知识点汇总 定义法定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”. 求曲线方程的方法：求曲线方程的方法： 圆锥曲线知识点汇总 标准方程标准方程 图象图象 范围范围 对称性对称性 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半轴长半轴长 离心率离心率 a a、b b、c c的关的关 系系 22 22 1(0) xy ab ab c e a c2=a2-b2

9、 22 22 1(0) xy ab ba -axa, -byb -bxb, -aya 对称轴为对称轴为x轴、轴、y轴；对称中心为原点轴；对称中心为原点 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (c,0)、(-c,0)(0 , c)、(0, -c) 长轴长为长轴长为2a,短轴长为短轴长为2b. 焦距为焦距为2c (0e1) 2、椭圆的简单几何性质、椭圆的简单几何性质： x y F1 1F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O 圆锥曲线知识点汇总 椭圆离心率的取值范围？离心率变椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程

10、度有什么影响？化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e(0(0，1).1). e越接近于越接近于0，椭圆越圆；，椭圆越圆； e越接越接近于近于1 1，椭圆越扁，椭圆越扁. . 圆锥曲线知识点汇总 2.2 2.2 双曲线双曲线 圆锥曲线知识点汇总 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距. （1）2a0 ； 思考：思考： （1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ （2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ 说明说明 （3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a ( (1) )两条射线两条射

11、线 ( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹 1、双曲线的定义、双曲线的定义： 圆锥曲线知识点汇总 看看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数 （小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 12 - , 0 , 0，FcFc 1 2 0,-0,，FcFc 标准方程标准方程 相相 同同 点点 焦点位置的判断焦点位置的判断 不不 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关系的关系 22 22 1(0,0) xy ab

12、ab 22 22 1(0,0) yx ab ab c2=a2+b2 22 , yx F2F1 M x O y O M F 2 F 1 x y 圆锥曲线知识点汇总 16 x y o ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e ) ( 222 bac 其中 关于关于 坐标坐标 轴和轴和 原点原点 都对都对 称称 性性 质质 双曲线双曲线 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范围范围 对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线 离心离心 率率 图象图象 2、双曲

13、线的简单几何性质、双曲线的简单几何性质： 圆锥曲线知识点汇总 17 例例1 求双曲线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程焦点坐标、离心率、渐近线方程. 可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3 焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5）、（）、（0，5） 4 5 a c e离离心心率率 xy 3 4 线线方方程程为为渐渐近 解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程 22 1 169 yx 圆锥曲线知识点汇总 18 例2 . 4 5 16 线和焦点坐标线和焦点坐标程，并且求出它的渐近程，并且求出它的渐近 出双曲线

14、的方出双曲线的方轴上，中心在原点，写轴上，中心在原点，写焦点在焦点在 ，离心率离心率离是离是已知双曲线顶点间的距已知双曲线顶点间的距 x e 思考思考:一个双曲线的渐近线的方程为一个双曲线的渐近线的方程为: ,它的它的 离心率为离心率为 . xy 4 3 55 43 或 xy 4 3 渐近线方程为 )0 ,10(),0 ,10( 21 FF 焦点 1 3664 22 yx 解：解： 圆锥曲线知识点汇总 定定 义义 方方 程程 焦焦 点点 a.b.c的关的关 系系 F（c，0）F（c，0） a0，b0，但，但a不一不一 定大于定大于b，c2=a2+b2 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|M

15、F2|=2a 椭椭 圆圆 双曲线双曲线 F（0，c）F（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab ab0，c2=a2-b2 圆锥曲线知识点汇总 20 渐近线渐近线 离心率离心率 顶点顶点 对称性对称性 范围范围 准线准线 |x| a,|y|b|x| a，y R 对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点 对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：长轴：2a 短轴

16、：短轴：2b (-a,0) (a,0) 实轴：实轴：2a 虚轴：虚轴：2b e = a c ( 0e 1 ) a c e=(e1) 无无 y = a b x c a x 2 圆锥曲线知识点汇总 2.3 2.3 抛物线抛物线 圆锥曲线知识点汇总 C M F l e=1 H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F 和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F) 的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛 物线物线. 点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点, 直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线 d 为为 M 到到 l 的距离的距离 准线准线 焦焦 点点 d 1、抛物线的定义、抛物线的定

17、义： 0p 是焦准距 2 2ypx 抛物线标准方程抛物线标准方程 圆锥曲线知识点汇总 准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形 x xF FO y y l x xF FO y y l x x F F O y y l x x F O y y l )0 , 2 p ( 2 p x )0 , 2 p ( 2 p x ) 2 p 0( ， 2 p y ) 2 p 0(， 2 p y P的意义的意义:抛物抛物 线的焦点到准线的焦点到准 线的距离线的距离 方程的特点方程的特点: (1)左边左边是二次是二次 式式, (2)右边右边是一次是一次 式式;决定了决定了焦点焦点 的位置的位置. 圆

18、锥曲线知识点汇总 （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它，求它 的焦点坐标及准线方程的焦点坐标及准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求），求 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 （3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物，求抛物 线的标准方程线的标准方程 （4）求过点）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程 焦点焦点F ( , 0 ) 3 2 准线：准线：x = 3 2 x 2 =8 y y 2 =4 x y 2 = x 或或 x 2 = y 4 3 9 2 看图

19、 看图 看图 圆锥曲线知识点汇总 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yRx0 yR xR y0y0 xR l F y xO 关于x轴对称关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 2、抛物线的简单几何性质、抛物线的简单几何性质： 圆锥曲线知识点汇总 补充补充（1）通径：）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这

20、两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度通径的长度：2P P越大越大,开口越开阔开口越开阔 （2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的抛物线的焦半径焦半径。 焦半径公式：焦半径公式： ),( 00 yx （标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义） 利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。 圆锥曲线知识点汇总 X Y 抛物线的基本元素 y2=2px 圆锥曲

21、线知识点汇总 特点特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无 限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1; 5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. P越大越大,开口越开阔开口越开阔 圆锥曲线知识点汇总 图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴 e l F y xO

22、l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x轴轴 y轴轴 1 圆锥曲线知识点汇总 变式变式: 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点 M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程. 2 2 典型例题：典型例题： 例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标顶点在坐标 原点原点,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2 当焦点在当焦点在x(y)轴上