22134二次函数顶点式的图像与性质134二次函数y=ax h2k的图象和性质

1、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图像和性质 yax 2 a0a0 图象 开口 对称性 顶点 增减性 复习二次函数y=ax2的性质 开口向上开口向下 |a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点顶点是最高点 O O 在对称轴左侧，y随x的增大 而减小。在对称轴右侧，y 随x的增大而增大。 在对称轴左侧，y随x的增 大而增大。 在对称轴右侧， y随x的增大而减小。 yax 2+k a0a0 k0k0 顶点坐标是(0,k) 在对称轴左侧，y随x的增 大而增大。 在对称轴右侧， y随x的增大而减小。 ya(x-)2a0a0 h0h0 (,0) 在对称轴左侧，y y随x

2、 x的增大 而减小。在对称轴右侧，y y 随x x的增大增大而增大。 在对称轴左侧，y y随x x的增 大而增大。 在对称轴右侧， y随x的增大而减小。 抛物线 开口方向对称 轴 顶点 最值 增减情况 y=ax2 a0,向上 X=0 (0,0) 当x=0时,y 有最小值0 x0时,y随x的增大而 增大 a0,向下 X=0 (0,0) 当x=0时,y 有最大值0 x0时, y随x的增大而 减小. y=ax2+c a0,向上 X=0 (0,c) 当x=0时,y 有最小值c x0时,y随x的增大而 增大 a0,向下 X=0 (0,c) 当x=0时,y 有最大值c x0时, y随x的增大而 减小. y

3、=a(x-h)2 a0,向上 X=h (h,0) 当x=h时,y 有最小值0 x0时,y随x的增大而 增大 a0,向下 X=h (h,0) 当x=h时,y 有最大值0 xh时, y随x的增大而 减小. 填表: 抛物线开口方向 对称轴顶点坐标 2 5 . 0 xy ? 15 . 0 2 ?xy 15 . 0 2 ?xy 2 2x y? 2 ) 1 ( 2 ? ?xy 2 ) 1(2?xy (0, 0) (1, 0) (- 1, 0) (0, 0) (0, 1) (0, - 1) 向下 向下 向下 向上 向上 向上 x=0 x=0 x=0 x=0 x=1 x= - 1 O x y 1 2 3 4

4、5 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 2 3 1 xy? （0,3） （0,-3） 如何由 2 x 3 1 y? 的图象得到 3 3 1 2 ?xy 3 3 1 2 ?xy 的图象。 上下 平移 、 3 3 1 2 ?xy 3 3 1 2 ?xy O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 2 3 1 xy? ? 2 2 3 1 ?xy? 2 2 3 1 ?xy x= - 2 (-2,0) (2,0) x= 2 如何由 2 3 1 xy?的图象得到 2 )2( 3 1 ?xy 2 )2( 3 1 ?xy的图象。 左右左右

5、 平移平移 y=ax 2 y=a(x-h) 2 y=ax 2+k y=ax 2 k0 k0 上移 下移 h0 右减 说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 上加下减 左加右减 顶点在Y轴 顶点在X轴 问题：顶点不在坐标轴上的二次函 数又如何呢？ 例例 画出函数画出函数的图像，并指出它的图像，并指出它 的开口方向、顶点与对称轴、的开口方向、顶点与对称轴、 1) 1( 2 1 2 ?xy x-4-3-2-1012 解: 列表 1) 1( 2 1 2 ?xy 描点 连线. -5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5 1 2 3 4 5x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y

6、o-1-2-3-4-5 -10 直线x=1 1) 1( 2 1 2 ?xy 对称轴是直线x=1 顶点是(1,1) (1)抛物线 的开口方向、对称轴、顶点? 1)1( 2 1 2 ?xy讨论： 2 ) 1( 2 1 ?xy 向左平移 1个单位 1) 1( 2 1 2 ?xy2 2 1 xy? 向下平移 1个单位 1 2 1 2 ?xy 向左平移 1个单位 1) 1( 2 1 2 ?xy 2 2 1 xy? 向下平移 1个单位 平移方法1: 平移方法2: 1 2 3 4 5x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y o-1-2-3-4-5 -10 1) 1( 2 1 2 ?x

7、y x=1 (2)(2)抛物线抛物线 有什么关系? 1)1( 2 1 2 ?xy 2 2 1 xy? O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 2 1 y=2x2 y=2(x1)2 y=2(x1)2+1 x-3 -2-10123 y=2x282028 y=2(x-1)282028 y=2(x-1)2+1 93139 同一坐标系内画y=2x 2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图像 它 们 有 什 么 相 同 点 和 不 同 点 ？ 相同点相同点: : (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方 向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点

8、. (4)在对称轴左侧,y值都随x值的增大 而减小,在对称轴右侧,y值都随x值 的增大而增大. 不同点:(1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同. 2 2 x y ? 12 2 ?xy 1) 1(2 2 ?xy 2 ) 1(2?xy 一般地,抛物线y=a(xh)2 2k与 y=ax2 2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2 2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(xh)2 2k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定. y=ax 2 y=a(xh) 2 y=a(xh) 2+k y=ax 2 y=a(xh) 2+k y=ax 2+k 二次函数y=a(x-h) 2

9、+k的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 y=a(x-h) 2+k(a0) y=a(x-h) 2+k(a0) （h，k）（h，k） 直线x=h 直线x=h 向上向下 当x=h时,最小值为k 当x=h时,最大值为k 在对称轴的左侧,y随着x的增 大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 例4要修建一个圆形喷水池 ,在池中 心竖直安装一根水管,在水管的顶端 按一个喷水头,使喷出的抛物线形水 柱在与池中心的水平距离为 1m处达 到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应

10、多长？ 学以致用学以致用 二次函数开口方向对称轴顶点坐标 y=2(x+3) 2+5向上 ( 1 , 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , 6 ) 向上 直线x=3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (3, 5 ) y=3(x1)22 y = 4(x3)27 y=5(2x)26 1.完成下列表格: 3.请回答抛物线y = 4(x3)27由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 2.抛物线y =4(x3)27能够由抛物线y=4x2平 移得到吗? 2 ) 1( 4 3 ?xy 3)3( 4 3 2 ?xy 2)5( 4 3 2 ?xy 2) 1( 4 3 2 ?xy 如何平移：如何平移： 小

11、结 1.二次函数二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质 的图象和性质 2.函数y=a(x-h) 2+k的图像由函数y=ax2怎样 平移的到 作业 ?第第41页页 第第5题（题（3） ?第 7题 1抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像. 考考你学的怎么样： y=(x+1) 2+3 y=x2+3 2抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿沿x轴向左平移个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数_的图像， 沿沿x轴向右平移2个单位，

12、得到y=x 2+1的图像. y=(x+4) 2 y=(x+2) 2+1 3抛物线的平移：抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移个单位，轴向左平移个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_的图像； （2）把二次函数）把二次函数_的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 22的图像. y=3(x+3) 2-2 y=-3(x+6) 2 ? 2 1 2 1 ?xy 4.抛物线 的顶点坐标是_； ? 2 1 2 1 ?xy向上平移3个单位后， 顶点的坐标是_； 5.抛物线 ?31 2 1 2 ?xy的对称轴是_ . 6.抛物线 (-1,0) (-1,3) 直线x=-1 7把二次函数y=4(x1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直 线x=3. 8把抛物线y=3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 得到_的图像 9把二次函数y=2x 2的图像，先沿x轴 向左平移个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标是_ 右2 y=-3x 2-1 (-3,-2) 10.如图所示的抛物线： 当x=_时，y=0； 当x0时， y_0； 当x在 _范围内时，y0