吉林省长春市五县2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

1、数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线 x2y21的实轴长是（）168A 2B 4 2C 2 2D82.在公差为 d 的等差数列an中，“ d1”是“ an是递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3.为了了解800 名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20 的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（）A 50B 60C 30D404.已知抛物线 x22 px p0 经过点 M1,2 ，则它的准线方程为（）2A

2、y1BC.D325.从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩， 统计如下， 则这 100个成绩的平均数为 （）A 3B 2.5C.3.5D 2.756. 某单位有员工 120 人，其中女员工有 72 人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为 15 的样本，则男员工应选取的人数是（）A 5B 6C.7D 87. 已知椭圆 C : x2y21 0b 5的长轴长、 短轴长、 焦距成等差数列， 则该椭圆的方25b2程是（）A x2y21B x2y21 C.x2y21D x2y 212542592516258. 在区间4, 2上任取一个数x ，则函数 fx 3sin2x的值不小于0 的概率36为（）

3、A 8B 3C.6D 5111111119. 某班 m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100 分的人数为33，则 m 等于（）A 45B 48C.50D5510. 函数 fxx cosx 在 0,上的最小值为（）A -2B 01D 1C.211. 已知命题 p ：直线 x 2 y20 与直线 x2 y620 之间的距离不大于1，命题q ：椭圆 2x227 y254 与双曲线 9x216 y2144 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A pqB p qC.pqD p qx2y21 a0,b0的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双12.

4、如图， F1 , F2 分别是双曲线b2a2曲线分别交于点A, B ，若 ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（）A3B 2C.6D2第卷（共 90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若焦点在 x 轴上的椭圆 x2y21的离心率为1，则 m4m214.已知函数 fxx2x1 ex ，则 f x 的极大值为15.在区间, 2上任取一个数x ，则函数 fx3sin 2x的值不小于0 的概率436为16.已知点 A 4,0，抛物线 C : x28y 的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线和它的准线分别交于点 M 和 N ，则FM : MN三、解答题（本大

5、题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17.（本小题满分12 分）x3 tx 轴正在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点，y3t半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2 3sin .（ 1）写出直线 l 的普通方程及圆 C 的直角坐标方程；（ 2）点 P 是直线 l 上的点，求点 P 的坐标，使 P 到圆心 C 的距离最小 .18. （本小题满分12 分）已知 p ：方程 x22mx m 2 0 有两个不等的正根；q ：方程x2y21表示m 32m1焦点在 y 轴上的双曲线 .（1）若 q 为真命题，求实数

6、m 的取值范围；（2）若“p 或 q ”为真，“ p 且 q ”为假，求实数m 的取值范围 .19. （本小题满分 12 分）某公司经营一批进价为每件4 百元的商品， 在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y （件）之间有如下关系：（ 1）求 y 关于 x 的回归直线方程；（ 2）借助回归直线方程请你预测， 销售单价为多少百元 （精确到个位数） 时，日利润最大？nnxi x yi yxi yig$nx y相关公式：i 1i 1$bn2n， a y bx .xi22xi xnxi 1i 120. （本小题满分 12 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名同学的投篮命中次数，

7、乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示 .（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（ 1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10 次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16 的概率 .21. （本小题满分12 分）已知椭圆： C : x2y21 ，点 M0,1.92（1）设 P 是椭圆 C 上任意的一点，Q 是点 P 关于坐标原点的对称点，记uuur uuuurMP gMQ ，求 的取值范围；（2）已知点 D1,1， E 1,1， P 是椭圆 C 上在第一象限内的点，记l 为经过原点2

8、2与点 P 的直线， s 为DEM 截直线 l 所得的线段长，试将s 表示成直线 l 的斜率 k 的函数 .22. （本小题满分 12 分）已知函数fxax2a4 x2ln x ，其中 xR .（1）当 a1 时，求曲线yfx 的点 1, f 1处的切线方程；（2）当 a0 时，若函数fx 在区间 1,2e 上的最小值为 -4 ，求 a 的取值范围 .试卷答案一、选择题1.D 因为 x2y21，所以 a216，则实轴长 2a8 .1682.A 若 d1，则nN ， an 1an d 10 ，所以，an是递增数列；若an 是递增数列，则nN， an 1 and0 ，推不出 d1 .3.D 由于8

9、002040，即分段的间隔 k 40.4.A 把点 M1 , 2的坐标代入抛物线的方程得14 p ，解得 p1，所以它的准线方2416程为 y1.325.A 设这 100 个成绩的平均数记为x120210340410520，则 x1003 .6. B 男员工应抽取的人数为 120 72 15 6 .12025b2c216 ，所以椭圆 C : x2y27.C设焦距为 2c，则有，解得 b21.5c2b25168.C 当 x, 2时， 2x62 , 7. 当 2x0, ，即 x12, 7时433661276fx0，则所求概率为1212.211349.DP1 0.0150.025100.6 ，由 0

10、.6m33 ，得 m55 .10. DQ f x1sin x0 ， 函数 yfx 是在 0,上的增函数，即f x minf0 1.11. B对于命题 p ，直线 x2 y20 与直线 x 2 y6 2 0 的距离d2621，所以命题p 为假命题，于是p 为真命题；11022对于命题 q ，椭圆 2x227y254 与双曲线 9x2 16y2144 有相同的焦点5,0 ，故 q为真命题，从而pq 为真命题 .12. C由已知BF2BF12a ， AF1AF22a ，又ABF2 为等边三角形，所以AF1AF2BF12a ，所以 BF24 . 在AF1 F2 中， AF16a ， AF24a ， F

11、1 F22c ， F1 AF260 ，由余弦定理得 4c236 a216a226a4acos 60 ，所以 c27a2 ，b2c2a26a2 ，所以 b6.a二、填空题13.3由已知 a24 ， b2m ，则 c24m ，所以 e2c24m1，解得 m3 .a24414.5因为 f xx2x1 ex ，所以fxx23xex .e3由 f x0 ，得 3 x0 ；由 f x0，得 x0 或 x3 .因此， f x的极大值为f353 .e15.6当 x4, 2时， 2x62, 7. 当 2x60,，即 x, 711336121276 .时 fx0，则所求概率为12122113 416. 1: 5

12、如图所示，由抛物线定义知 MF MH ，所以 FM : MNMH : MN .由于 MHN :MHOF21FOA ，则OA4，HN2则 MH : MN 1：5 ，即 FM : MN 1： 5 .三、解答题17. 解：（ 1）由x3t ,3xy 33 0 ，y消去参数 t ，得直线 l的普通方程为3t .由23 sin得223sin ， x2y223y ，即圆 C 的直角坐标方程为x2y233.224t 2（2） P3 t,3t， C0,3， PC33t312 ，t t 0 时 PC 最小，此时 P 3,0 .18. 解：（ 1）由已知方程x2y21 表示焦点在 y 轴上的双曲线，m32m1m3

13、0，解得 m3 ，即 q : m3.所以2m01（2）若方程 x22mxm20有两个不等的正根，4m24 m 20则2m0解得2m，即1.1p : 2 mm20或m 1m 2当 p 为假， q 为真时，解得 m 3 .m3综上， 2 m1或 m 3 .19. 解：（ 1）因为 x7108961， y56.8n所以， b$xi yinx y218 576.8i 1，n255522249xinxi 1$2 7 20.8 ，a y bx 6.8于是得到 y 关于 x 的回归直线方程$2x 20.8.y（2）销售价为 x 时的利润为x42x20.82x228.8x 83.2 ，当 x28.87 时，日

14、利润最大 .2220. （ 1）解：依题意得：x8 291078 911 21，解得 x6 ， x乙 = 41 ，5552222s21416418241910411.76 .55555（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为 A1 , A2 , A3 ，他们的命中次数分别为9， 8， 7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为 B1 , B2 , B3, B4 ，他们的命中次数分别为6， 8， 8， 9.依题意，不同的选取方法有：A1, B1 , A1, B2 , A1 , B3 , A1, B4 , A2 , B1 , A2, B2 , A2 , B3 , A2 , B4 , A3 , B1

15、, A3 , B2 , A3 , B3 , A3, B4共 12 种 .设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件， 则中恰含有A2 , B2 , A2 , B3 , A3, B4共 3 种 .31 P C.12 421. 解：（ 1）设 P x0 , y0 ，则 Q x0 , y0 ，uuur uuuury02 1 ，又 y022所以MP gMQx0 , y01g x0 , y01x021 x0 ，2249所以8x023，又 x020,9，所以 x35 ,3 .9444（2）因为 P 是椭圆 C 上在第一象限内的点，则l 的斜率 k0,，且 l : y kx .当 k0, 1时，DEM

16、截直线 l 所得的线段的两个端点分别是直线l : ykx 与直线2DM , EM 的交点 A, B ，由已知 DM : yx1x1， EM : y22ykx1kl : ykx联立y x 1解得 A,，联立1解得yx2 k 1 2 k 122B1,k，k1122 k于是 s ABk 2 1gxAxBk21g 1；1k2当 k1,时，DEM 截直线 l所得的线段的两个端点分别是直线l : ykx 与直线2DE , EM 的交点 G, B ，由已知 DE : y1，2ykx11联立y1 解得 G,，22k2于是 ss kGBk 21g2k1.2k k1k2g10,1综上所述， s1 1k 2 , k2.22k11k1g,2k k, k2122. 解：（ 1）当 a1时， fxx25x2ln xx0， f x2x 524 ， f 11.， f 1x 切线方程为 y4x1，即 xy30 .（2）函数 fxax2a4x2ln x 的