培优专题2-运用公式法进行因式分解(含答案)

1、.2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式a完全平方公式a立方和、立方差公式a2b2(a)(b)b a22abb2(a b) 23b3(a b) ( a2ab b2 )补充：欧拉公式：a3b3c33(ab)(2b2c2ab bcca)abcc a1 (abc)( ab) 2(bc) 2(c a) 2 2特别地：（ 1 ）当 ab c0 时，有 a 3b3c33abc（ 2）当 c0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公

2、式法因式分解在求代数式的值，解方程、 几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把 a 22ab22b分解因式的结果是（）A. ( ab)( a2)(b2)B. (ab)(ab2)C.(ab)(ab)2D.(a 2b)(b22a)2分析： a 22ab 22ba 22a 1b22b1 (a 1) 2(b 1)2 。可编辑.再利用平方差公式进行分解，最后得到( ab)( ab2) ，故选择 B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要

3、彻底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2x3x 2m 有一个因式是2 x 1，求 m 的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式， 再用待定系数法即可求出 m 的值。解：根据已知条件，设2x3x2m(2x)( x 2ax b)1则2x3x 2m2x 3( a)x 2( ab)x b2122a11(1)由此可得a2b0(2)mb(3)由（ 1 ）得 a1把 a1 代入（ 2 ），得 b12把 b1代入（ 3 ），得 m1223. 在几何题中的应用。例：已知 a、 b、 c 是ABC 的三条边，且满足a 2b2c2abbcac0

4、 ，试判断ABC 的形状。分析：因为题中有a 2 、 b 2 、ab ，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab 转成2ab 。所以两边同乘以2 ，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0 ，从而得解。解：a 2b2c 2abbcac0可编辑.2a22b22c22ab2bc2ac0(a 22abb 2 )(b22bcc2 )(c22ac a2 ) 0(ab)2(b c) 2(ca) 20(a b)20， (bc) 20， (c a) 20a b 0， b c0， c a 0ab cABC为等边三角形。4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然

5、后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2n1， 2n3 （ n 为整数）则 (2n3)2(2n 1) 2(2n32n1)( 2n32n1)2(4n4)8(n1)由此可见， ( 2n3) 2(2n1) 2一定是 8的倍数。5 、中考点拨：例 1 ：因式分解： x 3 4 xy 2 _。解： x 34xy 2x( x 24 y 2 )x( x2y)( x2 y)说明： 因式分解时， 先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。可编辑.例 2 ：分解因式：2x 3 y8x 2 y28xy3_。解：2x 3 y8x2 y2xy32xy( x24xy4y2 ) 2 xy( x 2

6、 y)28说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例 1.已知： a1 m1，b1 m2，c1 m3 ，222求 a 22abb 22ac c22bc 的值。解： a 22ab b22acc22bc(a b) 22c(ab)c2(abc) 2a1 m，b1 m，c1 m321222原式(abc) 2( 1 m 1) ( 1 m 2) ( 1 m 3)22221m24说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2. 已知 a b c0， a3b3c30 ，求证： a5b5c50证明：a 3b3c3

7、3abc(abc)( a2b 2c2ab bc ca)把 ab c0， a 3b3c30 代入上式，可得 abc0 ，即 a0 或 b0 或 c0可编辑.若 a0 ，则 bc ，a5b5c50若 b0 或 c0 ，同理也有a5b5c50说明：利用补充公式确定a， b， c 的值，命题得证。例 3. 若 x 3y 327， x2xyy 29 ，求 x 2y 2 的值。解：x 3y 3(xy)( x2xyy 2 ) 27且 x 2xyy 29xy， x22xyy29(1)3又 x 2xyy29(2)两式相减得 xy0所以 x 2y 29说明：按常规需求出x， y 的值，此路行不通。用因式分解变形已

8、知条件，简化计算过程。【实战模拟】1. 分解因式：（ 1） (a2)2( 3a1) 2（ 2 ） x5 ( x2 y)x 2 (2 yx)（ 3）a2 (x y) 22 (x y) 3(xy)4a可编辑.2. 已知： x13，求 x 41的值。xx43. 若 a， b， c 是三角形的三条边，求证： a 2b2c22bc 04. 已知：21 0 ，求2001 的值。可编辑.5. 已知 a， b， c 是不全相等的实数，且abc0， a 3b3c33abc ，试求（ 1） a111111b c 的值；（ 2 ） a() b(c) c(a) 的值。bcab可编辑.【试题答案】1. （ 1 ）解：原

9、式( a2)(3a1)( a2)(3a1)(4a1)( 2a3)( 4a1)( 2a3)说明：把 a2， 3a1看成整体，利用平方差公式分解。（ 2）解：原式x 5 ( x2 y)x 2 ( x2 y)x2 (x2 y)( x31)x2 ( x2 y)( x 1)( x2x1)（ 3）解：原式( x y)2 a 22a( xy) ( xy) 2 ( xy) 2 (axy) 22. 解：(x1 )2x2211x1 )2x 2x 2( x2 ( 3) 22 7x2x(x21)249，x41249x4147x2x4x43. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要

10、把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明： a 2b2c22bca 2(b22bcc2 )a 2(bc) 2(abc)(ab c)a， b， c 是三角形三边abc 0 且 abc(abc)( abc)0即 a2b2c22bc0可编辑.4. 解21 0(1)(21)0 ，即31 0312001(3 ) 66715. 分析与解答：（ 1 ）由因式分解可知a3b 3c33abc( abc) ( a2b2c2ab bc ca )故需考虑a2b2c2abbcca 值的情况，（ 2 ）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：（ 1 ）a 3b3c33abca 3b3c 33abc0又a3b3c33abc(abc)(a 2b2c 2abbcca)(abc)( a 2b 2c2abbcca )0而 a 2b2c 2abbcca1( ab)2(b c) 2( c a) 2 2a， b，