基本不等式柯西不等式知识点复习

1、基本不等式及应用一、考纲要求：1. 了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大( 小) 值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a bab2a0，b0a b三、常用的几个重要不等式22a b 2(1)ab2ab(a ，b R) (2)ab (2 )(a ， b R)a2 b2a b 2b a(3)2 (2 ) (a ， b R) (4)a b2(a ， b 同号且不为零 )上述四个不等式等号成立的条件都是a b.四、算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为a bab，基本不等式可叙述为：2 ，几何平均数

2、为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a， b R+：当且仅当ab 时取等号 .2aba ba2b2a bab22五、利用基本不等式求最值：设x， y 都是正数(1) 如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时和 x y 有最小值 2 P.(2) 如果和 x y 是定值 S，那么当 x y 时积 xy 有最大值 1S2. 4强调： 1、 “ 积定和最小，和定积最大” 这两个结论时，应把握三点：“ 一正、二定、三相等、四最值 ”.当条件不完全具备时，应创造条件.第 1 页 共 7 页正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它

3、们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大( 小 ) 值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想 : 错在哪里？已知函数f ( x)x32) ，( x1x2已知函数f ( x) x，求函数的求函数的最小值3最小值和此时 x的取值x解 ： f ( x )x32x ?x2112x解 : f ( x )2x2xx ?2xx当 且 仅 当3即 x3 时 ， 函 数当 且 仅 当 x1 即 x1时 函 数xx2x的 最 小 值 是 6。取 到 最 小 值 2.大 家 把 x23 代 入 看 一 看 ， 会 有什 么 发 现 ？ 用 什 么 方 法 求

4、该 函 数 的最 小 值 ？3、已知两正数11x， y 满足 xy 1，则 z (x )(y ) 的最小值为 _xy解一：因为对111a0，恒有 a 2，从而 z (x )(y ) 4，所以 z 的最小值是 4.axy2 x2y2 2xy222 1) ，所以 z 的最小值是 2( 2 1) 解二： z ( xy) 22 xy 2 2(xyxyxy【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的111yx1xy2 2xy2【正确解答】z (x x)(y y) xy xy x y xy xy xy xy

5、xy 2，x y 21211令 t xy ，则 0t xy (2) 4，由 f(t) t t 在 (0 ， 4 上单调递减，故当t 4时， f(t) t 233125t 有最小值4 ，所以当 x y 2时 z 有最小值 4 .第 2 页 共 7 页误区警示：(1) 在利用基本不等式求最值 ( 值域 ) 时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y 1 2x x(x0) 有最大值1 26而不是有最小值12 6.(2) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：4若 0

6、0， b0， a b1，求证： a b 4.第 3 页 共 7 页111练习： 已知 a、b、 c 为正实数，且a bc1，求证： ( a 1)( b 1)( c 1) 8.考点 2利用基本不等式求最值(1) 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例 4： (1)设 0x2，求函数y2x(2x) 的最大值【分析

7、】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1) 0x0，12(2) x0 ，求 f(x) x 3x 的最小值；（ 3）已知 :x0,y0. 且 2x+5y=20, 求 xy 的最大值 .44）已知 ya 2 a，求 y 的取值范围3 4(5) 已知 x0， y0，且 x y 1，求 的最小值 x y第 4 页 共 7 页练习：求下列各题的最值25(1) 已知 x0， y0， lgx lgy 1，求 z x y的最小值；(2)x0，求 f(x)12 3x 的最大值；x4(3)x0 ，且 a R)，当且仅当a1 时“”成立b a(2) a b 2(a0 ，b0， a，

8、b R) ，当且仅当 a b 时“”成立第 6 页 共 7 页柯西不等式一、 二维形式的柯西不等式(a2b2 )(c 2d 2 )(acbd ) 2 (a , b, c , dR , 当且仅当 adbc时 ,等号成立 .)二、 二维形式的柯西不等式的变式(1)a2b2c2d 2acbd( a, b , c , dR , 当且仅当 adbc时, 等号成立 .)(2)a2b2c2d 2acbd (a , b , c , dR , 当且仅当 adbc时, 等号成立 .)(3)(ab cd)(acbd)2abcd0 ,当且仅当 adbc 时，等号成立.)( ,三、 二维形式的柯西不等式的向量形式. (

9、当且仅当是零向量 , 或存在实数 k , 使k时 ,等号成立 .)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。例题【 5】 . 设 x， y， zR，且满足 x2y 2z25 ，则 x2y 3z 之最大值为解 (x2y 3z) 2(x 2y 2z2)(1 22 23 2)5 1470 x 2y 3z 最大值为 70【 6】 设 x， y，zR ，若 x2y 2 z24 ，则 x2y2z 之最小值为时， (x ， y， z)解 (x2y2z) 2(x 2y2z2)1 2(2)22 24 936x2y2z最小值为6 ， 公式法求(x