高等数学第七版1-3函数极限

1、精品课件精品课件1 1 第三节第三节 函数的极限函数的极限 精品课件精品课件2 2 , )(xfy 对 0 )1(xx 0 )2(xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: 根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下 两种情况：两种情况： 二、当自变量二、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势， 的极限的极限时时即即)(,xfx 一、当自变量一、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势 的极限的极限时时即即)(, 0

2、xfxx 精品课件精品课件3 3 一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限 的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察 1 )1(2 )(,1 2 x x xfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处 无定义，但从它的图无定义，但从它的图 形上可见，当点从形上可见，当点从1的的 左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接 近于近于1时，时， f(x)的值无的值无 限地接近于限地接近于4，我们称，我们称 常数常数4为为f(x)当当x1 时时 f(x) 的极限。的极限。 1 x y o 4 精品课件精品课件4 4 Axf)( 0 xx 0 x 0 x , 0 邻邻域域的的去去心心点点

3、 x. 0程 程度度接接近近体体现现xx 怎样用数学语言刻划怎样用数学语言刻划, 0 xx 无限接近无限接近 )(xf函数函数 于确定值于确定值A？ ;)(任意小任意小表示表示Axf . 0的 的过过程程表表示示xx 0 0 xx ),( 0 xU x O 0 x 精品课件精品课件5 5 , 0 若若 )( , 0 若若 1.1.定义定义 定义定义1 1设函数设函数 有有定义定义., 0 ,0 0 时时使当使当 xx Axf)( ,)( 0 Axfxx有有极极限限时时函函数数则则称称 ,)(lim 0 Axf xx 记作记作 ).()( 0 xxAxf 或或 , 0 恒有恒有 )(xf在点在点

4、x0某去心邻域内某去心邻域内 精品课件精品课件6 6 注：注： (1) 定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素： 正数正数， 正数正数， 不等式不等式 )|0(|)(| 0 xxAxf 定定义义 .)( ,0, 0, 0 0 Axf xx 恒恒有有 时时使使当当 0 lim( ) xx f xA (3) 与任意给定的正数与任意给定的正数有关。有关。 ( )f x 0 x(2) 有没有极限，与有没有极限，与 在点在点 是否有定义无关是否有定义无关 ( )f x 精品课件精品课件7 7 , 0 AyA 必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域 ,0 0 xx 对于此邻域

5、内的对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内. 的几何意义的几何意义Axf xx )(lim. 2 0 作出带形区域作出带形区域 , 0 ,0 0 xx当当 Axf)( , 0 x y O )(xfy A A 0 x 0 x 0 x A 精品课件精品课件8 8 一般说来一般说来,)(lim 0 Axf xx 论论证证 应从不等式应从不等式 Axf)(出发出发, 推导出推导出 应小于怎应小于怎 这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的 , 这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需

6、要找最大的, 所以所以 Axf )(适当放大些适当放大些, 的式子的式子, 变成易于解出变成易于解出 0 xx . 找到一个需要的找到一个需要的 找到找到就证明完毕就证明完毕. 可把可把 0 xx 样的正数样的正数, 精品课件精品课件9 9 . lim 0 0 xx xx 证明 证证 , | 0 , , 0 0 时则当取xx | 0 xx . lim , 0 0 xx xx 故成立 例例1 1 精品课件精品课件1010 例例2 证明证明5)13(lim 2 x x 证证|2|3|5)(| xxf |2|3|5)(|xxf要要使使 3 |2| x只须只须 于是于是 0 ) 3 ( 时时当当 |2

7、|0 x 恒有恒有 |5)(|xf 5)13(lim 2 x x 精品课件精品课件1111 例例3. 2 1 1 lim 2 1 x x x 证证明明 分析：分析： 2 1 1 )( 2 x x Axf , 0 任给任给 , 只只要要取取 ,0 0 时时当当 xx 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.但这与函数在该点但这与函数在该点 是否有极限并无关系是否有极限并无关系 1 x ,)( Axf要要使使 ,2 1 1 2 x x 就有就有 . 2 1 1 lim 2 1 x x x 证证 精品课件精品课件1212 例例4 .lim 0 0 xx xx 证证 0 )(xxAxf , 0 ,

8、0 0 时时当当 xx 0 0 xx xx Axf)(要要使使 , 0 xx有有 00 xxx即即只只要要 .lim,0: 00 0 xxx xx 时时当当证明证明 0 x且且 取取 , 0 x 0 x min 0 0 x xx 0 x可用可用 00 xxx 保证保证 精品课件精品课件1313 证明证明 914lim 2 x x 证证 , 0 由于由于 24914 xx 要使要使 914x 解出解出)(2 x 只要只要 , 4 2 x 可取可取 ,20时时当当 x 有有 ,914 x 914lim 2 x x 解不等式解不等式, 4 4 精品课件精品课件1414 3. 左、右极限左、右极限(单

9、侧极限单侧极限) 例如例如, 0, 1 0,1 )( 2 xx xx xf设设 00 xx和和分分 , 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 - 0; xx , 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近 + 0 .xx . 1)(lim 0 xf x 两种情况分别讨论两种情况分别讨论! x y O 1 xy 1 1 2 xy 记作记作 记作记作 精品课件精品课件1515 左极限左极限 , 0 右极限右极限 0 lim( ) xx f xA 0 lim( ) xx f xA , 0 .)( Axf恒恒有有 00 xxx 使得使得时时, 或或 , 0 , 0 00 xxx 使得使得时时, .)( Ax

10、f恒恒有有 .)( 0 Axf 或或.)( 0 Axf 记作记作 记作记作 精品课件精品课件1616 0 0 xxx 注注 Axf xx )(lim 0 00 ()()f xf xA -+ 00 ()()f xf x左左极极限限和和右右极极限限均均存存在在 且且 00 00 xxxxxx 此性质常用于判断此性质常用于判断分段函数分段函数当当x趋近于趋近于 分段点分段点 时的极限时的极限. 精品课件精品课件1717 (1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等； (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况

11、之一： 精品课件精品课件1818 例例5. 设函数 0,1 0,0 0, 1 )( xx x xx xf 讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . x y o 1 1 xy 1 1 xy 解解: 利用定理利用定理 3 .因为 因为 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 )(lim 0 xf x ) 1(lim 0 x x 1 显然显然 , )0()0( ff 所以所以)(lim 0 xf x 不存在不存在 . 精品课件精品课件1919 11 1 2 1 1 )( 2 xx x xx xf求 )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x y = f

12、(x) xO y 1 1 2 1 在 x = 1 处的左、右极限. 1lim 2 1 x x 0) 1(lim 1 x x 解 精品课件精品课件2020 二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 x x x 精品课件精品课件2121 精品课件精品课件2222 精品课件精品课件2323 精品课件精品课件2424 精品课件精品课件2525 精品课件精品课件2626 精品课件精品课件2727 返回返回 精品课件精品课件2828 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应 函函数数值值)(xf

13、无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: . 0 sin )(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当 x x xfx 如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无 限接近限接近”. ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx 精品课件精品课件2929 :. 1 定定义义 定义定义X Axf x )(lim .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 精品课件精品课件3030 :)1(情情形形 x , 0 :)2(情形情形x Axf )(lim Axf )(lim 2. 另两

14、种情形另两种情形 , 0 X ,时时使当使当Xx |)(|Axf恒有恒有 , 0 , 0 X ,时时使当使当Xx .)(上有定义上有定义在在设设axxf |)(|Axf恒有恒有 .)(上有定义上有定义在在设设axxf x x Axf x )(lim且且Axf x )(limAxf x )(lim 精品课件精品课件3131 解解显然有显然有 , 2 arctanlim x x , 2 arctanlim x x 可见可见x x arctanlim 和和x x arctanlim 虽然都存在虽然都存在, 但它们不相等但它们不相等. x x arctanlim 故故不存在不存在. 例例5 讨论极限讨

15、论极限 是否存在是否存在?x x arctanlim 2 2 y xyarctan x 精品课件精品课件3232 X X ,时时或或当当XxXx A 的的几几何何意意义义Axf x )(lim. 3 ,|时时当当Xx 有有 |)(|Axf , 0 , 0 X AxfA)( )(xfy 函数函数 ,为中心线为中心线以直线以直线Ay .2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 )(xfy 图形图形 完全落在完全落在: x y O yA 的图形的的图形的 水平水平渐近线渐近线(horizontal asymptote). 则直线则直线 )(xfy 是是函函数数 精品课件精品课件3333 例例6 . 2

16、1 2 1 lim 3 3 x x x 证明： 证证 , 0 , 2 1 2 1 3 3 x x 要 , |2 1 3 x 即要 , 2 1 | 3 x即 , | , 2 1 3 有时则当故取XxX 2 1 2 1 3 3 x x 成立. 由极限的定义可知:. 2 1 2 1 lim 3 3 x x x 精品课件精品课件3434 x x y sin 例例70 sin lim x x x 证明证明 证证 , 0 , 1 X取取,|时时当当Xx 0 sin x x . 0 sin lim x x x 故故 要使要使 ,0 sin x x 成立成立. x x x xsin 0 sin , | 1 x

17、 只要只要 | 1 x 有有, 1 | x即即 解不等式解不等式 | x解出解出 x y O 精品课件精品课件3535 . 1 1 1 lim 2 2 x x x 试证试证 证证 , 0 注意注意有有 1 2 1 1 1 22 2 xx x , 2 2 x 为了使为了使 ,1 1 1 2 2 x x 只要使只要使, 2 2 x , 2 x即即, 2 X取取,时时当当Xx 有有 22 2 2 1 1 1 xx x . 1 1 1 lim 2 2 x x x x解出解出 ,0时时当当 x 精品课件精品课件3636 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比,

18、有类似的性质有类似的性质, 定理定理1(1(极限的唯一性极限的唯一性) ) 有极限有极限, 若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化 趋势下趋势下,则极限值必唯一则极限值必唯一. 定理定理2(2(局部有界性局部有界性) ) , 0时 时若当若当xx f(x)有极限有极限, 则则f(x)在在 上有界上有界; ),( 0 xU ,时时若当若当 xf(x)有有 极限极限,|, 0时时当当则则存存在在XxX .)(有有界界函函数数xf 且证明方法也类似且证明方法也类似. )(xf 精品课件精品课件3737 ,)(lim)1( 0 Axf xx 若若 定理定理3(3(局部保号性局部保号性) ) 证证 (1) 设设A0,取正数取正数 , 2 A ,)(lim 0 Axf xx 由由 , 0 则则,0 0 xx使使当当 , 2 )( A Axf 即即 2 )( 2 A Axf A A . 0)( xf );0)(0)(,),( 0 xfxfxU或或有有内内则则在在 ),0)(0)(),()2( 0 xfxfxU或或内内有有若若在在 ).0(0 AA或或则则必必有有 2 3A 2 A 有有 自己证自己证 ),0(0 AA或或且且 精品课件精品课件3838 ),0()(lim 0 AAxf xx 若若 只要取只要取, 2 A 便可得更强的结论便可得更强的结论: 证证