§22等差数列A

1、第二章第二章 数数 列列 2.2 2.2 等差数列等差数列 1+2+3+100=? 高斯，高斯，(1777(1777 18551855） 德国著德国著 名数学家名数学家。 得到数列得到数列 1，2，3，4， ，100 问题情景一问题情景一 高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛 顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿可以和阿 基米德、牛顿、欧拉并列，有基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子数学王

2、子”之称。之称。 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数： 第一天：第一天：6000， 第二天：第二天：6500， 第三天：第三天：7000， 第四天：第四天：7500， 第五天：第五天：8000， 第六天：第六天：8500， 第七天：第七天：9000. 得到数列：得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000 问题情景问题情景二二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm） 问题情景问题情景三三 , 2 1 24 2 1 23 2 1 25 2 1 22，23， ，24， 25， 2 1 2

3、4 2 1 23 2 1 25 2 1 22，23，24，25，26， 得到数列得到数列 ，26 姚明罚球个数的数列：姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 发现？发现？ 观察观察：以上数列有什么共同特点？：以上数列有什么共同特点？ 从第从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 高斯计算的数列：高斯计算的数列： 1，2，3，4， ，100 观察归纳观察归纳 ，23， ，24，25， ，26 运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列 2 1 22 2 1 23, 2 1 24 2 1 25 一般地，如果一

4、个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项项起，每一项 与它的前一项的差等于与它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个，那么这个 数列就叫做数列就叫做等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。 等差数列定义等差数列定义 6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 公差公差d=1 公差公差d=500 2 1 24 2 1 23 2 1 25 2 1 22 ，23， ，24，25，26 公差公差d= 2 1 1，2，3,100； 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项

5、起，每一项与它的项起，每一项与它的 前一项的差等于前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等 差数列。这个常数叫做等差数列的差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母 d表示。表示。 等差数列定义等差数列定义 数学语言：数学语言： an-an-1=d （d是常数，是常数，n2，nN*） 或或an+1 an = d （ d是常数是常数, nN*） 2、常数列、常数列a，a，a，是否为等差数列是否为等差数列?若是，则公差若是，则公差 是多少是多少?若不是，说明理由。若不是，说明理由。 想一想想一想 公差是公差是0 3、数列、数列0，1，0，1

6、，0，1是否为等差数列是否为等差数列?若是，则若是，则 公差是多公差是多 少少?若不是，说明理由。若不是，说明理由。 不是不是 1 1、数列数列6 6，4 4，2 2，0,-2,-40,-2,-4是否为等差数列？若是，是否为等差数列？若是， 则公差是多少则公差是多少? ?若不是，说明理由。若不是，说明理由。 公差是公差是-2 想一想想一想 小结：小结： 1 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定 义进行判断义进行判断a an+1 n+1- -a an n 是不是同一个 是不是同一个常数常数。 2 2、公差、公差d d是每一项（从第是每一项（从第2 2

7、项起）与它的前一项项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可公差可 以是正数，负数，也可以为以是正数，负数，也可以为0 0。 练习：练习： 已知等差数列的首项为已知等差数列的首项为1212，公差为，公差为5 5， 试写出这个数列的第试写出这个数列的第2 2项到第项到第5 5项项 解解: : 12 1 a5d由于由于，因此，因此 21 12( 5)7,aad=+=+ -= 32 7( 5)2,aad=+=+ -= 43 2( 5)3,aad=+=+ -= - 54 3( 5)8.aad=+= -+ -= - 在如下的两个数之间，插入一个什么

8、数后这三个数在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数 就会成为一个等差数列：就会成为一个等差数列： （1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成成 等差数列，那么等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。 2 ba A 2 ab 2 1 2 nn n aa a 思思 考考 ( 3 ) , ( ) , 问题情景四问题情景四 观察数列：观察数列：1，3，5，7， 思思 考：考： 在数列中在数列中a100= =？我？我 们该如何求解呢？们该如何求解呢？ 如何求一般等如何求一般等 差数列的通项差数

9、列的通项 公式？公式？ 设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1, ,公差是公差是d,d,则有：则有： a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d， 所以有：所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d 问问an=?=? 通过观察：通过观察：a2， a3，a4都可都可 以用以用a1与与d 表示出来；表示出来；与与d 的系数有什么特点？的系数有什么特点？ 归纳：归纳： 等差数列的通项公式等差数列的通项公式：首项为首项为a1 ,公差为公差为d的等差数列的等差数列 an的通项公式的通

10、项公式:an = a1 + (n1)d a1 1 、an n、n、d知三求一知三求一 an=am +(n-m)d(n,mN*) 变形变形 等差数列通等差数列通 项项 公公 式式 的的 归纳归纳 例例1 1（1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；项； （2 2）判断）判断-401-401是不是等差数列是不是等差数列 5,-9 ,-135,-9 ,-13的的 项项? ?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析：分析： （1 1）由给出的等差数列前三项，先找到首项由给出的等差数列前三项，先找到首项 a1 1, ,求出公差求

11、出公差d,d,写出通项公式，就可以求出第写出通项公式，就可以求出第 2020项项a20 20。 。 解：解：(1)(1)由题意得：由题意得：a1 1=8,d=5-8=-3,n=20=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： an n= =a1 1+(n-1)d=-3n+11 +(n-1)d=-3n+11 a20 20=11-3 =11-320=-4920=-49 例例1 1（1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；项； （2 2）判断）判断-401-401是不是等差数列是不是等差数列 5,-9 ,-135,-9 ,-13的的

12、 项项? ?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析：分析： （2 2）要想判断要想判断-401-401是否为这个数列中的项，是否为这个数列中的项， 关键是要求出通项公式，看是否存在正整数关键是要求出通项公式，看是否存在正整数 n,n,使得使得an n=-401=-401。 (2)(2)由题意得：由题意得： a1 1=-5,=-5,d d=-9-(-5)=-4=-9-(-5)=-4 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) (-4)=-4n-1 令令-401=-4n-1,-401=-4n-1,得得 n=100n=100

13、 -401-401是这个数列的第是这个数列的第100100项。项。 解：由题意可得解：由题意可得 d = 2 ，a1 =2 an = 2+(n-1) 2 = 2n 例例2 、在等差数列、在等差数列an中中 ，已知，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式求通项公式an a1+5d=12 a1+17d=36 求基本量求基本量a1和和d ：根据已知条件：根据已知条件列方程列方程， 由此解出由此解出a1和和d ，再代入通项公式。，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，像这样根据已知量和未知量之间的关系， 列出方程求解的思想方法，称列出方程求解的思想方法，称方程思想方程思想。 这

14、是数学中的常用思想方法之一。这是数学中的常用思想方法之一。 题后点评题后点评 求通项公式的关键步骤：求通项公式的关键步骤： 例例2 、在等差数列、在等差数列an中中 ，已知，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式求通项公式an 思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？ 解法二： a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d 36=12+12d d=2 an=a6+(n-6)d =12+(n-6) 2 =2n 已知数列 的通项公式是 （ 为常数），那么这个数列为等差数 列吗？ n apnq n a , p q 等差数列与一次函数的关系等差数列与一次函数的关系 探究：探究：

15、等差数列的图象1 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10， 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 ( ) n af n 等差数列的图象2 （2）数列：7，4，1，-2， 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 等差数列的图象3 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4， 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 直线的一般形式：直线的一般形式：ykxb 等差数列的通项公式为：等差数列的通项公式为： 1 () n ad nad n apnq 等差数列的图象为相应直线上的点。 等差数列的有关性质等差数列的有关性质探究：探究：