北理工考博数值分析试卷

1、一、填空题：(共20分) 条件数的大小反映了方程组的的条件数为，非奇异矩阵 1. 。 的相对误差和的相对误差之间的关系是。 2. 解对任意初值都收敛的迭代公式求3给出一个，说明如何获得及收敛理由。 为互异节点，设4. 为对应节点上的拉格朗日插 , 。值基函数，则 5互异，设 。；则当时， 式的代数精确度公6数值积分_ 是 ， 型求积公式。Gauss 阶矩阵对称正定，用迭代公式分）设 二、（10 求解。问实数取何值时迭代收敛？ 分）设有线性方程组， (1)将系数矩阵三、（13A分解为 求解方程组2)。，求(； 和，使该函数曲线10分）用最小二乘法确定中的参数四、（ 拟合于下 （推导列形式的数据满

2、足的正则方程组）。 ，使其满足条件10分）求四次插值多项式五、（ ，并写出插值余项。 ，考虑方程分）设10六、（，证明求解该方程的牛 求，使得并）是收敛的顿法产生序的列（其中； 。 ，当要求误差小于分）对于积分七、（15时，用复化梯形公式及 复化抛物线公式计算近似值时，所需节点数及步长分别为多少？计算满足精度要求的 近似值。 分）试求系数，使3八、（12步公式 的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差的主项。 分）设有线性方程组，一、（12 ALULU是分解为的乘积，其中和将系数矩阵（1）是单位下三角阵， 上三角阵； 。 2）解线性方程组 （ 二、（18分） ）已知数据：（1 的近似值，并估计误差

3、。 试分别用线性及二次插值计算 ，试求三次插值多项式使得（2 ）设 , 并对任一写出误差估计式。 分）20三、（ 1（）的系数矩阵 设线性方程组 试写出收敛的迭代计算公式； ，用的系数矩阵）（2若线性方程组表示 迭代法和 迭代法收敛的充分必要条件。 分）四、（15 复化辛普森公式计算积分的近似值，若用复化梯形、要（1） 分别应取多大？位有效数字，求计算结果有5 选一复化求积公式计算积分的近似值，要求截断误差小于。 （2） ）确定，使求积公式10五、（ 的代数精确度尽可能高，并指出是否是型求积公式。 法推导出求近似值的迭代分）试用六、（15 。 的近似值，要求误差不超过 , 格式并用导出的公式计

4、算 分）已有求解常微分方程的二步公式：七、（10 应取何值，并说明公式是几阶方法。欲使此格式的整体截断误差达到最高阶，一、填空题：(共15分，第7题2分，其余每空1分) 应将改写为当为了提高计算精度，充分大时，. 1. 则已知勒让德多项式系上关于权函数2.中的， ，用它计算的两点高斯型求积公式为 （用分数表示）. 已知 是以0，1，23.为节点的三次样条 函数， 则. ，.(4，设，用根，则) 号表示 ，写出求附近有一交点和曲线在近似值的5曲线牛顿迭代公式. ,它的收敛阶为 给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式6，并 . 说明理由 试求满足插值条件且,7已知 的五次多项式 显式方法的局部截断

5、误差为解初值问题8 . 分）设有方程组 分别写出Jacobi二、（15和Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性. 其中,三、（10 分）有线性方程组 求. ;(2)求解方程组(1)对;(3)进行分解 上形如的最佳平方逼近多项式 求. 在四、（10分） 分）已知连续函数的函数表如下五、（10 用二次拉格朗日插值计算的近似值； (1) 用牛顿三次插值求时，(2)的近似值. 分）设有迭代格式10六、（ 使上述迭代格式局部收敛到; 的值,确定(1) (2) 取何值时,上述迭代公式收敛阶最高,最高阶是多少; 确定的公式求中的近似值，误差不超过(3) 取初值，用(2) 计算过程中取小数

6、点后至少保留六位,的近似值为2) ( 的近似值，要求误差不超过。分）用数值积分计算 七、（10 分）设，10 八、（ 的一阶常微分方程初值问题；建立含(1) 给出改进的方法的求解公式； (2) 取步长). 的近似值(3)(用改进的方法求解 九、（10分）确定下列求积公式的系数及节点使其代数精确度尽可能高,并指出是否为高斯型求积公式; 最后证明该公式有如下误差公式： 一、填空题：(共15分，第7题2分，其余每空1分) 用四舍五入得近似值，有位有效数字，1.其相对误差限. 则中的2.上关于权函数已知勒让德多项式系， 的两点高斯型求积公式为， 用它计算（用分数表示）. 附近有一特征值，怎样用反幂法求

7、得这一特征值在 已知矩阵3. . ，设， 4.，则 (用根号表示). 求近似值的牛顿迭代公式,它的收敛阶为5. 给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式6. ， . 并说明理由 已知,试求满足插值条件7. 且的五次多项式 . 数值微分公式的截断误差8. . 分）对于线性方程组15 二、（分别写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性. 其中 分）对于线性方程组,三、（10 求. 解方程组；(2)(1) 上形如的最佳平方逼近多项式分）求在10四、（. 相切，在与相交的二次五、（10分）用插值法求在与 . 估计式上，并给出在多项式 分）设有迭代格式 六、（10 使上述迭代格式局部收敛到；的值, (1)确定 (2)取何值时,上述迭代公式收敛阶最高,最高阶是多少； 误差不超过的近似值，(2)用中 (3)确定的公式求取初值， 计算过程中取的近似值为1.7) (小数点后至少保留六位, 要求误差不超过. 用数值积分计算的近似值，七、（10分） 分）求解一阶常微分方程初值问题，10 八、（ 方法