多面体与旋转体例题精选

1、 多面体与旋转体 一、棱柱 1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。 2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。 棱柱的基本性质： （1） 棱柱的侧面都是平行四边形。 （2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。 3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 性质： （1） 直棱柱侧面都是矩形。 （2） 直棱

2、柱侧棱与高相等。 （3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。 4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 底面是矩形的直棱柱是长方体。 长方体的对角线平方等于三边长的平方和。 5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 V?S?h. 6、 底棱柱二、棱锥 1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 棱锥的基本性

3、质： 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形； （3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 1 这个棱锥叫做正棱锥。、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，2 正棱锥的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。1） （ 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。2） （ 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。31h?S?V 4、 底棱柱3 三、圆柱、圆锥与球所在直线

4、旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，（及其内部）绕其一条边AB将矩形ABCD旋转而旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD所在直线叫做圆柱的轴，线段AD和BCAB得（即AB成的曲面叫做圆柱的侧面，CD叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离 长度）叫做圆柱的高。22?rh2S?rS?22rh?h?rV ，侧全所在直线旋转一周，所形成的几何体AB将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边旋转而成的圆面叫A叫做圆锥的顶点，直角边BC叫做圆锥，AB所在直线叫做圆锥的轴，点叫做圆锥侧面的一条母线，AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC做圆锥的底面，斜边 圆锥的顶点到底面间的距离（即AB的长度）

5、叫做圆锥的高。122?rl?Srrl?S?hrV? ， 侧全3所形成的几何体叫做球，绕起直径AB所在的直线旋转一周，将圆心为O的半圆（及其内部）称为球到球面上任意点的距离都相等，把点O半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O 心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。平面上的两点之间线段最短，该线段的长度就是两点之间的距离，类似地，要定义球面上两点之间的距离，也应该在球面上找到联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。可以证明，在联结球面上亮点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长 度就是这两点的球面距离。432?r4?Sr?V ， 表3 一、选择题32?

6、60，则该棱、正四棱锥的侧棱长为1，侧棱与底面所成的角为ONM2 P ）锥的体积为（ 18 D6 A3 B C9 3 3?2PO?PC3sin60?；解：如图，60 D2C 1 3,?2360OC?PCcos?O 2AB26,S?BDOC?2OC? AC 16.PO?V?S AC?ABCDP3B 故选CDDAA?2ABABCD?ABC的体是底面边长为1、已知的正四棱柱，高，求四面体21111111. 积DADAA/D,ADBD/BD,B?BD,ABB ， 解： 连 11111111B?DABAB?ABD?BD ，记 异面直线所成角为与，C11111 222AD?BDAB?10?1111?cos

7、 10D2AB?B111 10AarccosABBD1 所成角为与 异面直线。D1 110CDAC,CB, ，则所求四面体的体积 连BC111121?2?4?V?V4?V 。 DCBCDABCD?ABC?331111111 3 6，则该正四棱柱，且对角线与底面所成角的余弦值为3、已知正四棱柱的对角线的长为3 的体积等于（ ）6 ） （DC（A）3 B）2 （）4 222?6ha?a?1a?22?a?Vh? B）：由题意，答案选（?32a2h?cos?36?ONMN?OM?OPNONPMM作垂，分别过、是球的半径、上的两点，且、设4OP 直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：3:6:83

8、:5:6） C（）（）（A B MNOP3 5:8:95:7:9 （D）OPNM的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比在球的轴、是解：由题知， 载面图中易求得：582RR82R52R222R:R:R22?()R22，故三个圆的半径的平方之比为：，故，?()R? 999393 本题选D DCABCD?AB3?2:1:AD:AAAB,其中5、长方体的各顶点都在半径为1的球面上11111BA,) 点的球面距离为则两( CD?121 A B DC 3243ABO11 a3,AA?aAB?2a,AD?D ,解：设则有C12?22222a?AA?AC8?ABR2?AD? ，1BA 有即，a2?R?

9、 ,AOB?,AB?2a?而,a?2BOAO? 2?.AB的球面距离为又因为R=1，故 216其中底面的、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，P 三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 3333CA CA B 434O 3B D 12 32 3;?a?a1,?AO，解：设底面边长为a 23 313331?SPO?a?S=a?V C。，。故选 ABC?P底底 43224使正四棱锥的底面的正方体内，可放棱长为两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，1、7均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点 值有4 个B）2 （1（A）个 D）无穷多个

10、 （3（C）个解：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正由对称性知正四棱锥的高ABCD中心，四棱锥底面正方形影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正为正方体棱长的一半， 的正方形的内接正方形1方形ABCD的面积，问题转化为边长为D. 有多少种，所以选030B,AR两地，它们的经度相8、设地球半径为圈上有，北纬0120 差），则这两地间的纬度线的长为（ ?R2R （B（A） 36Or ?R3R ） （D （C） AB 33Ro30O赤道 3Rcos30?Rr? 解：， 2 ?R32?AB两地的纬线长为r? 33 。 提示：这里要求掌握经度和纬度这两个概念。 二、填空题 9、下面是关于三棱锥的

11、四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥（写出所有真命真命题的编号是其中，_P 题的编号） 解：正确的命题为，AC，为正三角形，侧面中ABCAB=AP=AC的反例：P但不是正三棱PB=PCAP满足侧面都是等腰三角形，B 锥。 BO5 AC 在底面为正三角形，三个侧面的高相等，所以满足侧面积都相等，但顶点P的反例：ABC P-ABC是斜三棱锥。外，是ABC的旁心，而不是中心，所以

12、的射影O落在ABC、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写10 出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等； 对角线交于一点；底面是平行四边形； 充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）R32R?,R,RR?R，则它们的表面积满足（09上海高考题）已知三个球的半径11、313212S,S,S 满足的等量关系是 312 222?4R?2R?3RR?R?2R3 ，即：解：因为，两边同乘上312312DC11 222?.S?3SS?2RR?244R?34 有，所以有321312BA?cos=_ 12

13、、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为则,11D为与相,与正方体的所有面成角相等时解：不妨认为一个正四棱柱为正方体C即为体对角线与该正方体交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,AB 62?cos. 故所成角.?2 33?32积，则边开图是长为圆柱和的体的矩形柱13、圆的侧面3 。 为 2?332 （1）若底面周长为；，圆柱的体积为，则圆柱高为解：92?23 ；，则圆柱高为，圆柱的体积为（2）若底面周长为 2、若圆锥的全面积是底面积的三倍，则它的侧面展开图的圆心14P 。 角是 2?arr，则底面积为，侧面母线为解：如图，设底面半径为2?)?rarr(?S?r?ara又积所，以表面，

14、为面侧积EF?)(ra?rA3?r2?aD为角圆图的，则心展所，以侧面开?60OG 2?rCB?r22r? 。 ra2ABCDEF?P，则此正六棱锥的侧面积是15、已知半径为的半球内有一内接正六棱锥26 P _ABCDEF?P的底面的外接圆是球的一个大圆，解：显然正六棱锥aABCDEFP?的高依题意可，又正六棱锥于是可求得底面边长为2r A76 2，依此可求得得为BO春考题）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径、（201016 ，则斜截圆柱的侧面面积80cm为40cm，母线长最短50cm，最长2 S=_cm。? 解：2600；80cm 50cm 的正方形，另外两个侧面都是有、若三棱柱的一

15、个侧面是边长为217 一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积为 40cm AABCA?作解：过点的正四面体，为棱长为如图，依题意可知，211 3 3,AA?AD?ABAB 交于D的高，与，112C1 62322 22,AO?AD,?AO?A?AO?A? 111AB33311 6121 232?ADA?OOA?2?SV?AB 1ABC11 322C O2，底面三角形的三边长分别为、有两个相同的直三棱柱，高为18A BDa)(a?0,3a4a,5a表面积最小的是一。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，a 。个四棱柱，则的取值范围是_解：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有

16、三种情况：四棱柱有一种，就是边2aa5，长为+28的边重合在一起，表面积为24a4的边重合在一起，表三棱柱有两种，边长为222aa3的边重合在一起，+32，边长为面积为24aaa4a4a3a32a，两个相同的直三棱柱竖直表面积为24+36 a5a52a。最小放在一起，有一种情况表面积为+481215222?a0? 1248a?24a2812?a20? 的是一个四棱柱，这说明 3 三、解答题：7 ?相交于19、在四棱锥PABCD中，底面是边长为2，对角线AC与BD的菱形，DAB60? 所成的角为60，平面ABCDPB与平面ABCD点O，PO 的体积；ABCD（1）求四棱锥PP （结所成角的大小的

17、中点，求异面直线DE与PA（2）若E是PB 果用反三角函数值表示） PO平面ABCD,得由解（1）在四棱锥P-ABCD中,D E . PBO=60是PBOPB与平面ABCD所成的角, A C O BO, 由中BO=ABsin30=1, PO在RtAOBB 33. 2,于是,PO=BOtg60而底面菱形的面积为=133=2. 2P-ABCD四棱锥的体积V= 3 ，PB的中点,得EFPAEAB（2）取的中点F,连接EF、DF.由是 PA与所成角(或它的补角)，FED是异面直线DE663. ，则PA=Rt在AOB中AO=ABcos30EF=OP，于是, 在等腰RtPOA中，23 PBD中,DE=DF

18、=，在正ABD和正16EF 224?=cosFED= DE432. 所成角的大小是arccosDE与PA异面直线 430?120?RAB两地圈上有两地，它们的经度相差，求、地球上北纬、，设地球的半径为20间的球面距离 3R?30?BOAO?AOcos， 解： 112 222AB?AO?BO?2AO?BO?cos120? 1111333319222R?(?)R2R?R?R?， 4422243RAB?，则 28 9222RR?R?2221AB?BO?AO 4?cos?AOB ， 82AO?BO?R2R1?arccos?AOB? ，即 81?R?arccos()BA 两地间的球面距离为、 8、分别以

19、直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴。旋转这个直角三角形所得的三个旋转21VV,V, 体的体积为求证：21111? 222VVV21.ah?bc?A?90,? 证明：如图， bc?h? a22424?cb?2222,?hBD?hCD?haV? 23a339? 2242?c1b?22?,cV?b? 139? 2422?cb1?22?,c?V?b? 239?9119? 42422222?cbcVVb21222?1cb?99a? 2444224?Vcbcb?A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点、如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点22r3Ar，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才已知该圆锥体的

20、底面半径为，母线长为A ？并求出该路径的长能最快到达点?2?2r ?AVA? ，即解：设， 1?3?32r2?2222cos?VA?VA2VA?VA?AA 1113?2222rAA?33cos?32)3?r(r?27?3)(r?r3?r ，即 139 r33AAA 爬行（如图），能最快到达点则小蚂蚁沿线段，且该路径的长为12:cm181，再将这两个扇形23、将一个半径为的圆形铁板剪成两个扇形，使两扇形面积比为 分别卷成圆锥，求这两个圆锥的体积比32hVSrcmcmcmcm；、高为、解：设较小的扇形面积为体积为卷成圆锥后底面半径为，111132rSVhcmcmcmcm ，较大的扇形面积为、体积为

21、、高为，卷成圆锥后底面半径为22221 2?18?S1421 21?2?， ， ，即 12S3322?18?2 2?2?cmr?12r?6cm?r?218? ， 又，即；同理 21132222cmh?r?18?r6?125cmh?185? ，同理 ，211212?hr?V102?1236 1131? 110V5144?62?hr?2 223?2 平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器（如图）24、用)f(rh?hr 的函数 （1）试建立圆锥的高的解析式；关于圆锥的底面半径 r为何值时，容器的容积最大？并求出圆锥形容器的最大值（设在制作过程中，材）当（2 料无损耗，且材料的厚度忽略不计） 1222?2r?2h?rr? ， 解：（1 ）由题意， 22r1?222?h2h?r?r?r1r?0? （，即； ） r2r11?21112222222?)?(r?V?r?h?r?r1r? ，）2（ 4233r33?2?r?V1?0r? （立方米），当又时， max23 10 自测练习题32?） D 1已知正方体外接球的体积是 。 （，那么正方体的棱长等于 3 342423 22 ） （）C