第三章线性方程组

1、 812X2 aXn 二 b1822X2- a2nXn 二 b2(3.1 )a ml X1-am2X2amnXn =bm第三章线性方程组 1基本知识 1.1基本概念m个方程n个变元构成的线性方程组的一般形式是311X1(3.2 )am1 X1am2 X2amnXn =称为与非齐次线性方程组（3.1anai2m2 X2）对应的齐次线性方程组，也称为（a1nai2a1n若记a2ia22a2na2ia22a2n3.1 )b1b2的导出组a m1am2amn_am1am2amnA,A分别称为（3.1）的系数矩阵与增广矩阵,此时3.1与（3.2 ）可改写为矩阵形AX =bAX =0(3.3 )(3.4

2、)其中 X =(X1,X2, ,Xn)T,b =(b,b2, ,bm)T.若记:i珂创耳山,a)T,i =1,2, ,n,即 ,：r是A的列向量组，贝y（3.1）与（3.2 ）可改写为向量形式Xv 1X2 ： 2人：n 二 b(3.5 )1 X2： 2Xn： n =0(3.6 )当bnb2,bm不全为零时，（3.1 ）称为非齐次线性方程组，而a11x1 +a12x2+a1nxn =0a21x1 + a22x2+ a2nxn = 0（3.5 ）与（3.6 ）称为线性方程组的向量形式。1、向量：数域P中n个数a1,a2/ ,an组成的有序组 12,an），称为数域P中的一 个n维向量。其中ai称为

3、第i个分量。2、向量的相等：向量二忌, 且），（bib,bn）称为相等，记为：=:, 如果 abi ,i =1,2，n。3、向量的加法：向量 七忌“2,，a.bn）称为向量】=（ai,a2,，a.）与 =（bi, b2，bn）的和，记为：。4、 数乘向量：数域 P中的一个数k与数域P中的一个n维向量=（a!, a2, an）的数量积指的是，（kai,ka2,kan），记为k。5、向量的减法：向量-bi,a2 - b2,，a. - 6）称为向量=（ai,a?,，a“）与:=（bi,b2/ ,bn）的差，记为 I -、。6、零向量：分量全部为零的向量。7、负向量：（-ai,-a2,，-a.）称为=

4、，a2,，an）的负向量，记为-。8、n维向量空间：9、向量组的线性组合与线性表示：10、向量的线性相关与无关：11、向量组的等价：12、向量组的极大无关组：13、向量组的秩14、矩阵的初等变换：15、阶梯型矩阵：16、线性方程组的初等变换：仃、线性方程组的同解（或等价）：18、齐次线性方程组的基础解系：佃、矩阵的行秩（列秩）：矩阵的行（列）向量组的秩，称为矩阵的行（列）秩20、矩阵的秩：矩阵的行秩（列秩）称为矩阵的秩 .21、 矩阵的等价（行等价与列等价）：两个矩阵A,B称为等价的，如果 A可以通过初等变换化为B，两个矩阵A,B称为行等价的，如果 A可以通过行初等变换化为B，两个矩阵A, B

5、称为列等价的，如果 A可以通过列初等变换化为B . 1. 2基本定理1、线性方程组的初等变换的性质定理：线性方程组的初等变换把线性方程组变成同解的线性方程组。2、 若齐次线性方程组（3.4）的方程个数小于变元的个数，那么（3.4）有非零解。3、替换定理：设向量组（I1,2厂，宀可以由向量组（II）九学,，让线性 表示，如果（I）线性无关，那么： rs，并且适当调整（II）中向量的顺序， 用（ I ）中向量替换（II ）中的前面r个向量所得的向量组（III ） 1,CtrsPr卅,Bs 与向量组（II ）等价。或者等价地，设向量组（I ）宀，2,，r可以由向量组（II ） 1, ： 2： s线性

6、表示，如果r s，那么：（I）线性相关。4、 线性表示的传递定理：如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表示，向量 组（II）可以由向量组（III ）线性表示，那么（I ）可以由（III ）线性表示。5、线性相关与无关的判定定理：向量组：1,： 2, ： r（r 1）线性相关，当且仅当其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。6向量组的秩的判定定理：向量组 1,2,_,r的秩等于向量的个数 ru ：1/2/ r 线性无关。或者等价的说：向量组r,：,：的秩小于向量的个数二12,r线 性相关。7、矩阵秩的判定定理：一个矩阵的秩等于r的充分必要条件是，有一个r阶的子 式不等于零，所有的r 1阶子

7、式（如果存在的话）都等于零。8、线性方程组有解的判定定理：线性方程组（3.3）有解=R（A）二R（A）。9、 线性方程组解的个数定理：如果线性方程组（3.3）有解，那么（1）R（A）二 R（A）二 n ， （3.3）有唯一解；（2）R（A） = R（A） = r ： n ，（3.3）有无穷多组解。10、 齐次线性方程组有非零解的判定定理：齐次线性方程组（3.4）有非零解的 充分必要条件是，R（A） :：: n。11、 齐次线性方程组解的结构定理：如果齐次线性方程组（ 3.4）有非零解，那 么它的基础解系存在，且基础解系中含有 n - r个解向量，这里r二R（A），设1, 2，是（3.4）的一个

8、基础解系，则:k1 1 k2 2,，kn* n-r（匕出,，心为任意常数）是（3.4）的全部解（所有解或通解）。12、线性方程组解的结构定理：如果线性方程组（3.3）有解，是它的一个特解，1, 2,，n丄是它的导出组（3.4）的一个基础解系，贝U：ki 1 k2 2,，kn_T n_r（kih,心为任意常数）是（3.3）的全部解（所有解或通解）。 1. 3基本性质1、线性相关与无关的性质：（1）如果一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；或等价地说，如果一个向量 组的某个部分组线性相关，则这个向量组线性相关；（2） n维列向量组1,2厂，：“线性相关二|（九2, 宀）| =0 ;或者等价

9、地说，1,2,i,n 线性无关：二 |（1,2,，n）| -一0 ；（3） 如果一个向量组1,2,_,r线性无关，添加一个向量 后，宀，2，：,线性相关，则一：可由：1/2/r唯一地线性表示;（4） 单独一个向量：线性相关u= 0 ;或着等价地说：:-线性无关二:- 0 ；（5）两个同维向量线性相关的充分必要条件是，它们的分量对应成比例；（6） 如果一个 m维向量组线性无关，那么增添 t个分量所得到的 m t维向量组也线性无 关；（7）向量个数多于向量维数的向量组一定线性相关；2、向量组等价的性质：（1）自反性：任何向量组自身和自身等价；（2 ）对称性：如果向量组 （I） ,2,，r和向量组（

10、II）匚七，S等价，那 么向量组（11）和（I）等价；（3）传递性：如果向量组（I）12,，r和向量组（II ）匚2厶等价，而向量组（II ）又和向量组（III ）1, 2，t等价，那么向量组（I ）和（山）等价;（4）等价的向量组的极大无关向量组也等价；（5）一个向量组和它的任何一个极大无关向量组等价；（6）等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。3、极大线性无关组的性质：（1）一个向量组的极大无关组含有相同个数的向量；（2） 线性无关向量组的极大无关组是它本身；4、秩的性质（1）等价的向量组的秩相等；（2）一个矩阵的行秩等于它的列秩；5、线性方程组解的性质（1） 齐次线性方程组（3.2）的

11、任意多个解的线性组合还是（3.2）的解；（2）线性方程组（3.1）的任意两个解的差是它的导出组（3.2）的解；(3) (3.1)的一个解与它的导出组的一个解的和是(3.1)的一个解; 1. 4基本运算1、化矩阵为阶梯型矩阵的初等变换法；2、齐次线性方程组的基础解系与通解的计算 计算步骤(1) 求出系数矩阵A ；(2) 利用行初等变换将 A化为如下形式的阶梯形矩阵10 0C1 r 41C1M2c1n0140aC2r-HC2rH2C2na00 1crr 41Crrd2crn0a0 0a00 -0a00 000 0（3.7） 下结论：勺=(- C1r 彳，-C2r 4,-Crr 4,1,0，。)，2

12、=（_C1r2 C2r2 /Cr,r2,0,1/,），n _r= （ 一 Gn,一 C2n ,，-Crn O0,1）为（3.4 ）的基础解系，（3.4 ）的通解为：X * 1 k2 2 -kn工n（，心为任意常数）说明有时需要交换两列的位置才能将A化为(3.7 )的形式，此时要留意变元的排序，以便正确选择自由变元，但不将A化为(3.7 )也能求出基础解系(参见例3.1 ).例3.1 ( 04, 9分)设有齐次线性方程组+a)Xr +x2 i +xn =02X1 +(2+a)X2 + +2xn =0(n x1 nx2(n a)xn = 0试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。分析 该方

13、程组有非零解的充要条件是系数行列式D = A = 0，所以本题只需首先计算出令D =0，求出对应的再对求出的a按本节的解题步骤求出基础解系与通解即可。= anja故 a=0 或 -n（n 1）时,2 2n +a齐次线性方程组有非零解。112经过行初等变换110S0当a = 0时，原齐次线性方程组的系数矩阵1 12 2 A =：-n n 因此：(-1,1,0,，0,0)T,(-1,0,1,，0,0)T,，(-1,0,0,，0,1)T为题设方程的基础解系，故:X = ( -(k| k?kn),匕*2,，kn)(匕，k2 ,，kn为任意常数)为所求通解.当a n(n 1)时，原齐次线性方程组的系数矩

14、阵2-1+a11L1 1-2100122 +a2 2-301 亠0A =3-3a3 + a3-经过行初等变换aaa-n001nnn n +a0000 一因此：(1,2,3，,n)T是原齐次线性方程组的基础解系，故：X =(k,2k,3k, ,nk)T ( k为任意常数)为所求通解.说明 依次将第1列与第2列，第2列与第3列，第n1列与第n列交换便能将 A化为(3.7 )的形式，只不过要记住变量的顺序将为x2,x3，Xn,%，以x1为自由变量便可求出基础解系，但不作这样的变换我们仍可以x1为自由变量求出基础解系。3、求线性方程组的通解求线性方程组(3.3 )的通解的步骤(1) 求出增广矩阵A -

15、(A b)，其中A为系数矩阵;(2) 利用行初等变换将A化为如下形式的阶梯型矩阵10 0c1 nd101丄-03-c2nad2-00 1务书crndr00 a090 09dya9000 00（3.8 ）（3 ）下结论：如果dr “ =0，则原方程组无解; 如果dr彳.=0，则当r=n时，原方程有惟一解（dd2,dn）T ；当r ：n时，利用（3.8 ）的前n列（即系数矩阵 A经过行初等变换所得）按本节的方法求出（3.4 ）的基础解系1, 2,，n工，令Xr .1二Xn =0便得（3.3 ）的一个特解（di,d2,dr,0, ,0）T，故：,d2,，dr，0,，0）T飞k2 2宀knn（匕K为任

16、意常数）为所求方程组的通解。说明 有时需要进行交换两列的变换（只能对前n列进行交换，最后一列即第n 1列不容许交换）才能将增广矩阵 A化为（3.8 ）的形式，此时要留意变元的排序.例3.2 （ 90，8分）已知线性方程组论 + x2 + x3 + x4 + X5 = a3x1 2x2 x3 x4 _3x5 二 0 x2 2x3 2x4 6x5 b5x1 4x2 3x3 3x4 -x5 = 2（1） a, b为何值时，方程组有解？（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；（3）方程组有解时，求出方程组的全部解。 解线性方程组的增广矩阵11111 a-3 2 11-3 0A = （A

17、b）=01226bJ5433-12（1 ）当 a=1,b=3a=3时，r（A）=r（10-1-1-5-2a1012263a00000b-3a000002-2a一A） = 2，线性方程组有解。(2)当a =1,b =3时，最后的行阶梯型矩阵为j0-1-1-5-2101226300000000000由前5列可知，方程组的导出组的基础解系为：(1, 一 2,1,0,0)t,(1, - 2,0,1,0)t,(5, - 6,0,0,1)t(3)取X3 =X4 =X5 =0可得Xi =-2,X2 =3，因此(-2,3,0,0,0)t为方程组的一个特解，故 所求方程组的通解为：(2,3,0,0,0)t 飞(

18、1,一2,1,0,0)丁 k2(1,-2,0,1,0)Tk3(5,6,0,0,1)T其中k1,k2, k3为任意常数。 2基本题型及其常用解题方法 2. 1线性方程组有解与无解的判定1、利用线性方程组有解的充要条件如果两个矩阵 代B满足AB =0，则我们有如下一些结论(1)、B的每一个列向量都是以 A为系数矩阵的齐次线性方程组(3.2 )或(3.4 )的解向量若B = 0，则A的列向量组线性相关；(2) 、A的每一个行向量都是以 BT为系数矩阵的齐次线性方程组( 3.2 )或(3.4 )的 解向量(由AB =0得BTAT =0 ).若A = 0，则：BT的列向量组也是 B的行向量组线性 相关；

19、(3) 、因为Ax = 0的基础解系恰有n - r(A)个线性无关的解向量，所以：r(B)乞 n - r(A)，即:r(A) r(B)乞 n.讨论线性方程组(3.1 )有解与无解的步骤、求出(3.1 )的增广矩阵 A = (A b)，A为系数矩阵;(2) 、对A进行行初等变换化为行阶梯型矩阵；(3) 、禾U用行阶梯型矩阵求出A与A的秩，下结论.讨论线性方程组(3.2 )是否存在非零解的步骤、求出(3.2 )的系数矩阵 A ;(2) 、对A进行行初等变换化为行阶梯型矩阵；(3) 、利用行阶梯型矩阵求出A的秩，下结论例3.3( 90, 3分)若线性方程组L* x? = X2 11 x = a 2X

20、3 +X4 = p有解，则常数 印82 83月4应满足条件本题应填aia2a3a4 =0 ；解方程组的增广矩阵A =(A b)=1100_a11100-a1一0110a2经过行初等变换0110a20011一 a30011一 a3001a4 _1 11000ai + a2 + a3 + a4当 ai a2 a3 aj 0时,r(A) =3 ： r(A) =4，线性方程组无解;当 a1 a2 a3 a4 = 0 时,r(A)二r(A) =3，线性方程组有无穷多组解2、利用克拉默法则注意：齐次线性方程组(3.4 )有非零解时，也意味着(3.4 )有无穷多组解，反之亦然. 利用该方法讨论线性方程组的解

21、的情况时，通常题目中含有参数，此时解题步骤是：(1) 、求出系数行列式D ；(2) 、由D工0求出的参数便是线性方程组有惟一解的参数；(3) 、令D = 0，解出参数的值再代入原方程组中利用方法1的解题步骤讨论.例3.4设有线性方程组(k 3)x1 x2 2x3 = k kxi +(k _1)x2 +x3 = kQ(k +1)x1 +kx2 +(k+3)X3 =3试讨论其中k的取值范围与其解之间的关系k +312解D =kk 11=k2 (k -1)3(k +1)kk+3当k = 0且k -1时，D = 0，此时线性方程组有惟一解; 当k =0时，方程组的增广矩阵_3A= 0301经过行初等变

22、换-1 1 0 01-101100r( A) =2 : r( A) =3，线性方程组无解;当k =1时，方程组的增广矩阵4 1A= 10I6 111经过行初等变换011-2001 1-30r(A) =r(A) =2，线性方程组有无穷多组解现在我们介绍两个线性方程组同解的概念及常见的性质我们称两个线性方程组 Ax与Bx=b2 (此时两个方程的变元个数必须相同)同解, 如果它们都无解或都有解，且有解时它们具有完全相同的解性质3.1( 1)如果Ax与Bx=b2同解且它们都有解，则r(A) =r(B)；特别Ax = 0与 Bx =0 同解，贝U r(A)二 r(B)；(2)齐次线性方程组 Am n=

23、0与Btnx=0同解的充分必要条件是：r(A) = r(B) = n(此时它们均仅有零解) 或r(A) =r(B) ： n且Am nx =0的一个基础解系中的解向量一定是Bt nx二0的解向量，因而也是 Bt nx二0的一个基础解系；例3.5 ( 05, 13分)已知齐次线性方程组X + bx2 + cx3 = 0 (II)丿 2gXr +b X2 +(C + 1)X3 = 0x1 2x2 3x3 二 0(I) 2x-| 3x2 5x3 = 0x1 x2ax3 二 0同解，求a,b,c的值.，(II)的系数矩阵为BV1； c：；，利用(I)123分析(I)的系数矩阵为A=235J1a 一与(I

24、I)同解可得：r(A)二r(B)，由此不难求出a，进而求出(I)的基础解系，利用性质 3.1 将求出的基础解系中的解向量代入 (II)便得关于b,c的方程，结合r(A)二r(B)的条件解之 便可求出b,c.12解因为(I)的系数矩阵A =2311I001 11 ，所以 r(A) A2，但(II)的系数矩阵A；：2 cj(2，由题设与)同解可得:r(A) =r(B) =2 ,因此：a =2，且(-1,-1,1)丁是(I)的一个基础解系，代入(II)得:_b+c=O2，于是 c = b+1,b(b1)=0，所以 b = 0 或 b = 1 ；2b +c+1=0当b =0时，c =1，此时B =门

25、|t_2 01,r(B) =1 与 r(B) =2 矛盾;当 b =1 时，c=2，此时 B= 111,r(B)=2 ；|2 1 3故：a =2,b =1,c = 2 .3、利用线性方程组解的性质与解的结构定理例3.6 ( 00，3分)设 冷，2,3是4元非齐次线性方程组AX二b的三个解向量，且r(A) =3/1 =(1,2,3,4)t,：七：3 = (0,1,2,3)t，c为任意常数，则线性方程组AX = b的通(A)3本题应该选择(C)；(B)(C)(D)分析由题设结合性质3.6知2：与2 * 3均为非齐次线性方程组Ax = 2b的解向量，从而2r -(2 *3) =(2,3,4,5)丁是

26、齐次线性方程组Ax = 0的一个非零解向，量，而秩(A) =3，所以(2,3,4,5)丁构成Ax =0的一个基础解系，故由性质3.8知：(1,2,3,4)Tc(2,3,4,5)T 是 Ax 二 b 的通解，故选择(C)正确。例3.7( 06,9分)已知非齐次线性方程组x-i x2 x3 X4 - -1 4捲 +3x2 +5x3 _x4 =_1a% +x2 +3x3 + bx4 =1有三个线性无关的解。(1) 证明方程组系数矩阵 A的秩r(A) =2 ;(2) 求a,b的值及方程组的通解。证明1)因为A有一个二阶子式r(A) 一2，又设1,2,3是题设方程的三个线性无关的解，则1 -二21 -二

27、3是齐次线性方程组Ax =0的两个解。我们断言2 - ： 3线性无关，否则设有两个不全为零的数k1, k2，使得：&： 2) k2(：r 八 3)=0，即(匕 k2)：r - k2 - k2： 3 =0 与：2, ： 3 线性无关矛盾。所以:1 2, ：1八3线性无关，于是4 r(A) _2，即得 r(A)乞 2，故r(A) =2._ -1111-11(2) A =(A b )=435-1-1ia13b1 一1 02-420 1-15-30 04 2a b*4a5 42a因此 a =2,b = -3，此时 r(A) =r(A) =2.1 =(-2,1,10)t, 2 =(4,-5,0,1)t是

28、 Ax = 0的基础解系，一：=(2,-3,0,0)丁是 Ax 二 b的一个 特解，故X =(2,-3,0,0)丁匕(-2,1,1,0)k2(4,-5,0,1)T( 出为任意常数)是方程组的通解. 2.2向量的线性相关与线性无关的判定 1、利用定义例3.8已知向量组12,，s线性无关，1,2,，s：线性相关，则可由:)，惟一线性表示.证明 因为12,，线性相关，所以存在不全为零的数匕,ks,k使得：& _：比g-ks-：% k - - 0 ,若k = 0，则k1/ ,ks不全为零且 匕二mkss = 0，与 1,2,，s线性无关矛盾，所以 k =0，于是任k1ksO Si (Askk即：可以由

29、：，s线性表示，若:=亦1亠亠ass且-bi诰時七$s则有： -bi)： i(as -bs)： s =0而冷，2,，s线性无关，故：abi/ ,a bs.例3.9设r维向量:i =仙，耳2,a)，i =1,2, ,m，t维向量-i =佝12,aj,i =1,2，,m，t r .如果12,Cm线性无关，则 S2,-m线性无关证明 如果一：12,m线性相关，则存在不全为零的数匕,km使得：ki ：1k2：2km:m =0，从而krikkmm =0，故：i2 ,，m 线性相关，与：i2,，m线性无关矛盾所以和2,，线性无关说明：本题的等价说法是：如果，：2,，：m线性相关，则：2,m线性相关2、利用

30、线性相关与无关的性质例3.i0(88,3分)n维向量组i,2,，s(3乞s空n)线性无关的充分必要条件是(A) 存在一组不全为零的数 ki,k2/ ,ks，使kV i kks = 0(B) i,2，,：s中任意两个向量都线性无关(C) i2,s中存在一个向量，它不能由其余向量线性表出(D) 1,2,，s中任意一个向量都不能由其余向量线性表出应该选择(D).说明本题主要考察正确理解性质2(2)，考生要注意性质3.2中带有“圆点”的字，即 (1)中的“任何”与“某个”，(2)中的“至少”与“任何”，务必明确它们对应的条件与结论； 取1 =1 O, 。IhH 1 ,易见1,2,3两两线性无关，但1,

31、1 2, 3线性相关，由此知选项(B)不对，同时也说明性质3.2中(1)对应的逆命题不成立； 利用定义可知，把选项(A)中的“存在一组”改为“对任何”，则选项(A)也正确.例3.11( 92,7分)设向量组：“，:,线性相关，向量组：-23 4线性无关，问：(1) ：1能否由：-2 3线性表出？证明你的结论；能否由1,2,3线性表出？证明你的结论分析 2,3,4线性无关，利用性质 3.2(1) ：2/3线性无关，又1,23线性相关，结 合例3.1的结论知：1能由：2/3线性表出，问题得证(此时已将例3.1的证明方法应用 于此)若：4能由1,23线性表出，结合(1)的结论，4能由23线性表出，利

32、用性 质3.2(2)知2，3，4线性相关，与题设矛盾.证明(1)因为2,3,4线性无关，所以2,3线性无关；又1,2,3线性相关，故：1能由2, 3线性表出；(2) 由(1)知1,23能由线性表出，若：4能由1,线性表出，则能由 2,3线性表出，从而2,3,4线性相关，与题设矛盾，故4不能由12,3线性表出3、利用线性方程组的理论例 3.12( 99,8 分)设向量组：= (1,1,1,3)丁，： 2 =(-1，-3,5,1)丁，： 3 = (3,2,-1, p 2)T，:4 =(-2,-6,10, p)T，(1) p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量:-=(4,1,6,10)丁用1,

33、234线性表出；(2) p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组解卩-13-24、00002 1-32-6101021（%。2, a3 ,a4，a）=、15-1106001011P+2p10丿1。00P-21- P（1） p 式 2 时，秩（口“口？,3，口4）= 4，因此01,02/3,4线性无关,且3p 41 -p:=2 1 2 亠二 3 4 ；p-2p-2 p =2 时，秩（：1 , ： 2, ： 3, ： 4）=3，因此1,23,4 线性相关，且：-12-3是该向量组的一个极大无关组 利用方法3讨论向量组的线性相关与线性无关性通常还伴随有将某些向量表为这个向

34、 量组的线性组合（此时该向量组线性无关）；或求该向量组的秩与一个极大线性无关组并将其余向量表为这个极大线性无关组的线性组合（此时该向量组线性相关）4、利用行列式例 3.13 （02,3 分）设向量组=（a,O,c）, 2 =（b,c,o）,3 =（o，a,b）线性相关，则 abc 必满足关系式本题应填abc=O.1a 0 c解=b c 0 =2abc，故由题设知30 0babc 二 0 .5、利用替换定理例3.14（03,4分）设向量组（I ）：:,：2 ,r可由（II ）, :2 / , - s线性表示，则（A）当r : s时，向量组（II ）必线性相关；（B）当rs时，向量组（II ）必线

35、性相关；（C）当r : s时，向量组（I）必线性相关；（D）当r s时，向量组（I）必线性相关应该选择（D）. 2.3矩阵与向量组的秩及其极大无关组的计算与判定1、利用矩阵的初等变换利用矩阵的初等变换求向量组的秩及其极大无关组的步骤该问题通常伴随有把其余的向量用求出的极大无关组线性表示（1）以，m为列向量组构造矩阵A，即A =（！，： 2,，m）；（2）利用行初等变换将A化为如下形式的行阶梯型矩阵j00c1,r -#C1m01厶a0C2,TaC2ma001Cr,r卑Crm090a00 a090000 0(3.9)（3）下结论：向量组的秩为A * 1, ： 2,03经过行初等变换m） | 00C

36、22900.0 033icrr000aaa000(3.10)r，r,2,，：为该向量组的一个极大无关组，且：r 1 =5 lQ7G,r 1r,2 =5 21 Cr,r 2r ,m 二 1r说明有时需要交换两列的位置，才能将 A化为（3.9 ）的形式，此时与（3.9 ）对应的 列向量组r2,，rr彳，m已是:1/2/ /m的一个重排，考生应留意以免误下结 论（参见例3.）；当1 = 2，m为行向量组，应构造矩阵A二（：2T,/ mT ）；当1,2，/ m中含有参数时，此时问题通常为确定参数的值，使向量组线性无关、线 性相关，并在相关时求向量组的秩及其极大无关组，把其余的向量用求出的极大无关组线性

37、:-用12,n线性表示（当m=n且仆:七,，n线性无关时，还有可能将另一向量表示，参见例3.17） 解题步骤为此时”代表的数和qQ =1,2/ r）有可能是含有参数的表达式，通过讨论确定参数的值，使向量组线性相关、线性无关，并在相关时继续把（4.2 ）通过行初等变换化为（4.1 ）并按前面的方法讨论即可.但在用行初等变换将 A化为（4.2 ）的形式时，要注意含有参数的数一 般不能作分母，否则会发生错误.当m二n时，也可以先求出行列式|A|,根据|A|=0与|A|=0求出向量组线性无关与线性相关的参数值，再分别讨论仅求一个矩阵 A的秩时，可利用矩阵的初等变换，即经过初等变换A阶梯型矩阵则A的秩等

38、于阶梯型矩阵中非零行的行数.说明 矩阵的行秩（即行向量组的秩）等于列秩（即列向量组的秩）等于矩阵的秩； 求一个向量组的秩， 可以这个向量组为行向量 （当为行向量时），也可以这个向量组为列 向量（当为列向量时）构造相应的矩阵求出矩阵的秩便是向量组的秩例 3.15 ( 07, 4 分)设矩阵00010，则3A的秩为本题应填1；00 0 100 0 100 0 0 10 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0一J30 0 0_10 0 0 0一0100111A3 =AA20 0 100 0 0 10 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0J3 0 0 0一卫 0 0 0一

39、i0 0 0 0一，所以A3的秩为1.例 3.16( 90,3 分)已知向量组 冷=(1,2,3,4),： 2 = (234,5),： 3 = (34,5,6),： 4 = (4,5,6,7)，则该向量组的秩为本题应填2；345641-15经过初等变换 03 412 30 00 0故向量组的秩为2.例 3.17 设 r =（1,2,1）,：2 =（2,4a,2）,5 =（1,3,a）,：4=（-2,-2,-1），（1）问a为何值时，12,3线性无关？并在此时将4表为12,3的线性组合；（2）问a为何值时，123线性相关？并在此时求：121, 2,，m线性表示且表示不惟一二 R（1,2，m）=R

40、（12,，m）=r : m=线性方程组Ax=-有无穷多解；讨论一个向量1能否由12m线性表示且表示是否惟一 （当12,m均 为n维行向量，可对它们的转置进行讨论）一般是把问题转化为线性方程组是否有解，解是否惟一的讨论.例 3.21 已知：(1,4,0,2)T(2,7,1,3)T (0,11,a)T = (3,10,b,4)T ,(1 )问a,b为何值时,一：不能由宀宀宀线性表示？(2)问a,b为何值时，一：能由宀，：,：,线性表示？并写出此表达式解考虑线性方程组 Ax，此处A = (m2，3)，增广矩阵A =(A, J2713031j02-1110经过行初等变换01-12-1b00a -10a

41、4 _1 1000b 2 一:不能由:“：七二七线性表示;(1)b = 2 时，R(A) ： R(A)，线性方程组 Ax 二-无解,(2)b =2且a=1时，R(A)二R(A)=3，线性方程组Ax = 一：有惟一解，能由 ，:七，：/惟一线性表示，且-匚、，：一： ； (3)b =2且a =1时，R(A)二R(A)二2，线性方程组 Ax二有无穷多解，其一般解为(-1,2,0)丁 k(-2,1,1)T =(-1-2k,2 k,k)T，能由宀宀宀线性表示，且-(1 2k 1(2 k 2 3( k 为任意常数) 2.4矩阵与向量组的等价性质3.4 ( 1)矩阵的等价关系满足自反性，对称性，传递性；(

42、2)两个m n矩阵A,B等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得B = PAQ ；(3) 两个m n矩阵A, B行等价的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P，使得B二PA ；(4) 两个m n矩阵代B等价的充分必要条件是：存在 n阶可逆矩阵Q，使得B二AQ .两个向量组12,m， -1, -2/ , -s称为等价的，如果它们可以互相线性表示.因此我们有如果设A=(：1,：2, m)，B = ( |,匕,：s)，(A,B) =(： j： 2,，: m, 5 d , s)，这里的向量均视为列向量，若为行向量，就取它们的转置，则有性质3.5 ( 1)两个n维向量组(I) mUm，

43、(II)2,，3等价的充分必要条件是：R(A)二 R(B)二 R(A,B)；(2) n维向量组(I) i,2，m能由(II) -l/-2/ , -s线性表示的充分必要条件是：R(B) =R( A,B);(3) n维向量组(I)肾2,能由(II) 1宀，Cm线性表示的充分必要条件是：R(A)二 R(A,B);我们仅对性质3.5 (2)给出证明，(1), ( 3)不难仿此证明.证明必要性的证明”因为向量组(I)宀，,，m能由(II) 5 ：2,，:s线性表示， 因此：向量组伸)1,2,，m，-1, -2 , s中的所有向量都能由(II)ST,宀线性表示，而(II)中的所有向量显然能由(III):仆

44、律宀，订, 厶线性表示，所以 这两个向量组等价，故：R(B)二R(代B)；“充分性的证明” 因为R(B)二R(A,B)，而(II)的极大无关组显然是(III)的线性无关向量组，因此也是它的一个极大无关组，所以(III)中的向量均能由这个极大无关组线性表示，特别 中的向量i,2,_,m也能由它线性表示，因而能由(II)，,s线性表示利用性质3.5，讨论两个n维向量组:仆：七,， ，七,，：s是否等价的步骤可以归纳为：(1) 构造矩阵 C =(A,B)=Ci，2/m，-1, -2/，-s)；(2) 利用行初等变换将C化为行阶梯型矩阵经过行初等变换Ck C1 = (A1, BJ此时A 一定是行阶梯型

45、矩阵，B1不一定是行阶梯型矩阵；(3) 若B1不是行阶梯型矩阵，则对B继续进行行初等变换化为行阶梯型矩阵B2 ；(4) 讨论并下结论：若R(A)二R(B)二R(A, B)，则两个向量组等价，否则不等价.例 3.22( 03, 13 分)设有向量组(I): :-1 =(1,0,2)t,： 2 =(1,1,3)T,： 3 =(1,T,a 2)t(II) :-(1,2,a 3)t,-(2,1,a 6)T, -(2,1,a 4)T.试问：当 a 为何值时，向量组(I)与向量组(II)等价？当a为何值时，向量组 与向量组(II)不等价？-11112(代 B)=01-121i23a +2a +3a +6解令 A =C 1, ： 2, ： 3)，B =(：1, ：2, ：3)211 2经过行初等变换111-10 a 112a -12211a + 1 a12经过行初等变换1221 011a 一1- 】001一a 42 1a1 a +1(1)当 a = -1 时,R(A) =R(B)二R(A,B) =3，故：向量组(I)与向量组(II)等价;(2)当a - -1时，R(A) =2, R(B) =3，故：向量组(I)与向量组(II)不等价. 3例题选