第三章效用论习题答案

1、第三章效用论习题答案1、已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的 均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？解：切入点：MRS的定义公式：mrSxy 空iX表示在维持效用不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐X消费时所需要放弃的衬衫Y的消费数量。该消费者在实现关于这两种商品效用 最大化时，均衡点上有:MRSxyPxP则有：MRSxy = 20 =0.25802、假设某消费者的均衡如图 31(即教材中第96页的 图322)所示。其中，横轴 0X和纵轴0X分别表示商品1 和商品2的数量，线段 AB为消费者的预算线，曲线图3 1某

2、消费者的均衡U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点 已知商品1的价格R = 2元。(1) 求消费者的收入；（2）求商品2的价格R;（3）写出预算线方程；（4）求预算线的斜率；（5）求E点的MRS的值。解：（看书上图）切入点：预算线方程 px, F2Xi，斜率一旦P2注意边际替代率公式：P2（1 ）图中横截距表示消费者的全部收入购买商品1的数量为30单位，所以，消费者收入 M = 2 30 = 60元。（2）因为总收入是 60元，纵截距表示消费者收入全部购买商品2的数量为20单位，所以商品2的价格为：P2=M=3元2030（3）由（1），（ 2）可得预算线方程式为：2 i 3 2 =

3、60（4） 将预算线方程整理得：2 2 1 203则预算线斜率为：- 23（5） 在消费者效用最大化的均衡点E上有无差异曲线的绝对值等于预算线的绝对值，贝y：MRS2 =P =2F233、请画出以下各位消费者对两种商品（咖啡和热茶）的无差异曲线，同时请对（2）和 分别写出消费者B和消费者C的效用函数。(1) 消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是 喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。(2) 消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来 不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。(3) 消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶 是无差异的。(4) 消费者D喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。解

4、：注意无差异曲线的特例。设咖啡为X1，热茶为X2(1)消费者A的无差异曲线:热茶咖啡(2)消费者B的效用函数为 UminxiK，无差异曲线:热茶咖啡(3)消费者C的效用函数：U = 2x x2，无差异曲线:(4) 消费者D的无差异曲线:4. 对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者- 定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这 笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分 析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。图3 3解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得 更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可 以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能

5、大的效用。女口 图3 3所示。在图33中，直线AB是按实物补助折算的货币量构成 的现金补助情况下的预算线。在现金补助的预算线AB上，消费者根据自己的偏好选择商品1和商品2的购买量分别为x；和X；，从而实现了最大的效用水平U，即在图3 3中表现为预算线AB和无差异曲线U；相切的均衡点E。而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水 平U。因为，譬如，当实物补助的商品组合为F点（即两商品数量分别为 xii、x；i），或者为 G点（即两商品数量分别为 X1；和x；）时，则消费者能获得无差异曲线Ui所表示的效用水平，显然，Ui A消费着的需7、假定某消费者的效用函数为= xx2 ,两商品的价格分别

6、为Pi, P2,消费者的收入为 M分别求该消费者关于商品 1和商 品2的需求函数。解：切入点：需求函数上每一点都符合消费者效用最大化均衡条件皿 二旦，又知道两商品的价格，就可以得出两商品的MU 2 P2关系式。再结合预算线方程，就可以得出结果。效用最大化均衡条件:MU1 F1MU2 P2根据已知效用函数u = x?xl可得:MU-dTU8dxMU2 二dx283总于是有：85 3上 -x8 x288F2整理得:5x1x23P2(1)将（1 ）式代入约束条件P1x1Bx2 = M5P(x i有: Px1 F2=M3P2解得 为3M8R(2)代入（1）式得:.5MX28P2(3)（2），（ 3）式

7、就是两商品的需求函数。&令某消费者的收入为 M两商品的价格为 Pi、P2。假定该 消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为一 a。求该消费者 的最优商品消费组合。解：mi由于无差片曲线是-純姝所以该脱者的兹优消费歸靓下三种情况.(1) 当MRSiPi/ft时*如国期(必效用城大的均街点E的位置发生在蹴轴它表示此时的 扯优艇一个边血解即X/Pp Xh也就是佻消费者将命部的收入都啊买商品h井由 此达到最人的效用水平，该效用水平在用巾以实线表示的无差界曲线标此显徐该效用水平高 啟狀脚UW上其也任何个帕Ml介所能迖到的效用水平*例如睢川蛾如啲无柚 曲线的效用水平.(2) 当MRSXPi/M，如酊3*测伺大

8、的均術点E的腊发生在纵眦它表示此时的 扯优辭是一个边I解.即X2=M/P? X冋 也就是说.消费者将全制的收入都购买裔品人井由 此达职人的的冰平.该效用水平在阳巾以实蚁示的无差界曲纱标此显褊该效川水平高 任既览的预鄴线上比他仟何个台折能达到的效用水平，例如加些用虐践表艮的无差片 I峨的效用水平.(3) 当MRSiff局為如用33 (ck无差界曲妁鱷髄気效悯她迖到端的以 是硕斛上的任何一点的商品组卸即垠优解为X|况X：X)f且粧PN+PjX刖.此时所 顒wmm平在酣嗾践表示的尤差片曲线标仏显贿该效川水平离t任耽的顶尊 线上贰他任何一条无差井曲线所能达到的效川水平例如那些用心絢的无差昴曲壕的效用水

9、9、假定某消费者的效用函数为U= q0.5 + 3M,其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：(1) 该消费者的需求函数；(2) 该消费者的反需求函数；(3) 当P二*,q=4时的消费者剩余。解：切入点：（1）消费者需求函数都符合消费者效用最大化的均衡条件，M =-，而是货币的边际效用，或者是收入的边P际效用。根据所给效用函数先求出商品的边际效用MU和货币的边际效用 ，再根据竺，就可以得到关于价格和需P求量之间的关系式，这个式子就是需求函数。（2）反需求函数就是需求函数的反函数。（3）消费者剩余是需求曲线上从 需求量从0到q的积分，再减去商品价格与需求量 q的乘积。（1）由题意可得，商品的边际

10、效用为:整理得需求函数为:136 P2货币的边际效用为：:U o3 cM根据消费者均衡条件MU有:PMU =旦=0.5qD50.50.5q=3P由需求函数可得反需求函数为:_1_6：q（3）由以上反需求函数可得消费者剩余:1以pTq = 4代入上式得消费者剩余:CS =1 423114 =12310、设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即 U= xay3,商品x和商品y的价格分别为PX和R,消费者的 收入为M a和3为常数，且a + 3= 1。(1) 求该消费者关于商品 x和商品y的需求函数。(2) 证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变 动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持

11、不变。(3) 证明消费者效用函数中的参数a和3分别为商品X和商品y的消费支出占消费者收入的份额。解：注意：消费者的需求函数必须满足消费者效用最大化条件竺=巴，知道了效用函数，对效用函数分求商品X和Y的mu2 p2导数，把他们带入均衡条件，就得到一个有关X和Y的关系式。又知道预算线约束条件函数。 两者联合就能得到答案。【略】(1)由已知的效用函数U/可得I /； ； dll u-| 0 A/l; t = ca ypdx MU,巴二时严I/* P根据消费者效用最大化的均術条件弊畀叮和越#诚尸将式代入约束条件P“+Pj = M解符：譽严学(2) 证明:机和y的怖以及消费訓收入同腋为繇的k饥躺费者对两

12、觸繃求W)a(kl)x=x此kPy因此,消赭对两觸的需求不变.证明：楸创RUh的消姗广巴P广加仁所以商品x的籾支岫消Pr费呼为知,同理斶删支出占嘶入血糾.牡JO者效脳数巾的第妣和B分别为商品x砒品y的消费支出占消费者收入的份亂11、已知某消费者的效用函数为 U= X1X2,两商品的价格 分别为R = 4, P= 2,消费者的收入是 M= 80。现在假定商 品1的价格下降为Pi = 2。求：(1)由商品1的价格Pi下降所导致的总效应，使得 该消费者对商品1的购买量发生多少变化？(2) 由商品1的价格R下降所导致的替代效应，使得该 消费者对商品1的购买量发生多少变化？(3) 由商品1的价格R下降所

13、导致的收入效应，使得该 消费者对商品1的购买量发生多少变化？解：(1) 本题要理解什么是替代效应，什么是收入效应， 什么是补偿性预算线，以及他们在图形里面的表 达和相应的公式表达。注意替代效应是指效用水 平不发生变化，只因为商品 X1的价格相对于商品X2来说降低了，而增加 X1的购买，体现在图形上 是做一条平行于新的预算线并和原来的无差异曲 线相切的补偿性预算线，均衡点还在原来的无差 异曲线上，但是边际替代率等于新预算线的斜率。 明白了这点，问题应刃而解。(2) 消费者均衡时有： 亜二PMU 2 F2本题中： MU_, =x2,mu2 =x1所以在价格为 r=4,F2=2时X 4有一=,同时有

14、 4久 2X2 = 80，解得： X! = 10,X2 = 202当商品X!的价格下降为2时有：$=2,同时有 2X2X2=80，解得： 人=乂2=20Xi 2所以商品X!价格下降使得该消费者对商品 X!的购买量从 10上升到20,即增加了 10。这就是商品1价格变化引起 的总效应。（3）替代效应是指效用水平不发生变化，只因为商品Xi的价格相对于商品X2来说降低了，而增加 Xi的购买，体现在图形上是做一条平行于新的预算线并和原来的无差异曲线相切的补偿性预算线，均衡点还在原来的无差异曲线上，但是边际替代率 等于新预算线的斜率。所以有：价格没变时总效用 U=XiX2=200同时有：MR% =地 =旦,也就是垒=2MU 2 F2X1