第8章-梁强度与刚度

1、第八章梁的强度与刚度1.矩形截面简支梁受载如图所示，试分别求出梁竖放和平放时产生的最大正应 力。I F=20kNA I B3/kN-m15解：画出梁的弯矩图，最大弯矩在梁跨中截面上。大小为15kNm 梁竖放时产生的最大正应力=180MPaM 15xlO3Nmw7 0.05x0.l2/m3/6梁平放时产生的最大正应力旦=isxio-brm =360Mpa wz 0.1x0.05/m52.外伸梁用No 16a号槽钢制成，如图所示。试求梁内最大拉应力和最大压应 力，并指出其作用的截面和位置。一彳厂V No.l6afa=3lcN用=6 kNiV/kN-mFlNo. 16a12解：画岀粱的弯矩图如图所示

2、，最大正弯矩在C截面，大小为1.2kW-tn; 最大负弯矩在A截面，大小为2.4K-I m；查型钢表，可知恥Ma号槽钢在图示方式放蚩时，中性轴距离上下边 嫁分别为lStnm, 45tnmc结台最丈正负弯矩的大小可知梁内的最大拉应力发生千C截面下边缘，最大压应力发生干A截面下边缘。由应力计算公式有7323xlOX 0 045m = 73-6MPa2.4xlO3N-m733xllm4x0.045m = 147.3MPa3求图示各图形对形心轴z的截面二次矩。X/77/A/纟10/v / / /40解：由平行移轴公式可得，该组台图形对Z轴的截面二次矩为lOrnmx 603mm312+ 2x(40mm+

3、 10mmx40mmx 352inni2)= 116.7xl04mm44求图示各图形对形心轴z的截面二次矩。解：查型钢表，得:1=14g.24cm4由平行移轴公式可得，诊组台图形对Z轴的截面二次矩为712mm x400”mm” . 1O n. 1fl4 4Zz =十4 x(148.24x10 mm+15.618 xl02mm2 x(200 -27.6)2mm2)= 255.6xl06mm45求图示截面对水平形心轴z的截面二次矩。zo解:(1)确定形心和中性轴的位置将组台图形分割为矩形截面减去1个圆形的组舍，采用负面积法确定形心位置62J100 mm x 60mm x 50mm - tt20 m

4、m x 70mm100mm 乂 60mm 一 20Jmm2=44,7mm(2)求各组成部分对水平形心轴z的截面二次矩，按平行移轴公式60mm x 100 mm +(丁】_ 尹乂乂 oomm12/j 2“22+ (y2 Vc) nim x 20 mm=+ (50- 44.7)22 x 60mm x lOOnrni12404mm4 f f 22“22-b (70 - 44.7)2mm2 x 20 mm64= 4.24xl06mm46.外伸梁受均布荷载作用,q=12kN/m, o=160MPao试选择此梁的工字钢型 号。C A.AD77777V777/I 2m I6mi 2m i6 tn问呵M叫牙解

5、；画出梁的弯矩图如图所示，最大弯矩在梁跨中截面上。大小为30kN-m根据弯曲正应力强厦条件有wz w2解得 W2187.5cm3? 查型钢表，选No. 18号工宇钢了7.空心管梁受载如图所示。已知o=150MPa,管外径D=60mm,在保证安全的 条件下，求内经的最大值。2kN 1.2kNm解：画岀梁的弯矩圈如图所示，最大弯矩在梁中C截面上。大小为2.625kJI-m 根据弯曲正应力强度条件有M 2.625 xl05hI m叫=莎=UOMPa呼Z缈2解得 17Jcm3（1刃），代入 D=60mtn,解得：a=0.6465,则 召宓=32.2mntooJ=30MPa,&铸铁梁的荷载及横截面尺寸如

6、图所示，已知Iz=7.63X10-6moc=60MPa,试校核此梁的强度。解：画出梁的弯矩图如图所示，最大正弯矩在C截面，大小为最 大负弯矩左B截面，大小为由截面的几何形状和尺寸可知祷铁梁 图示方式腰蓋时，中性轴距离上下边缘分别为52mtn, 28mmo结合最大 正负弯矩的大小可知梁內的最大拉压应力均发生干B截面，下边塚为全 梁的最大压应力，上边缘为全梁的最大拉应力。由应力计算公式有E石斶=4第MPaWZ%不满足拉应为强度祭件。%jmx = -jyc=12=6X10 N.m4 x 0.088m-69.2MPa(Jcl=60MPa,7.63K10-W不满足压应力强度务件。9简支梁受载如图所示，已

7、知F=10kN , q=10kN/m , /=4m , a=lm ,a=160MPa。试设汁正方形截面和矩形截面(h=2b),并比较它们截面面 积的大小。W c 111r D11么y ； A/%么么%3306一 七J1解:画出梁的弯矩图如图所示，最大弯矩在跨中截面，大小为孔kN如 （1）设计正方形截面根据弯曲正应力强度条件有M 30xl03N.m% = =C d =160MPa解得 10.4cm,面积 A =108.2cm2o（2）设计矩形戳面d）根据弯曲正应力强度条件有M 30xl03N.m 一比涿=刁W a=160MPa解得 &面积 A =6.55cmX 2 X&$旳=85壮彤0（3）比较

8、正方形截面和矩形截面的面积A jg=108.2cm2A%=85.8cm2j 矩形截面节省材料o10由N920b工字钢制成的外伸梁，在外伸端C处作用集中力Fa=160MPa,尺寸如图所示，求最大许可荷载F。No. 20bNo. 20b.10mM/kNmA2F解：画岀粱的弯矩图如囲所示，董大弯矩在E截面，大小为2F(N tn)；查型钢表可得WZ=2 50ctn3根按弯曲正应力强度条件有M%叭解得 F20ki4F=20kN11圧板的尺寸和荷载情况如图所示，材料系钢制，Os=380MPa,取安全系数n=l5试校核压板的强度。解:AA 截面弯矩 Ma= 13.4X0.02=0.308ki4o 许用应力a

9、=cr5/n=253MPaM0= 1 zX 0.01 = 196.4MPQ308 (N - m)0.03 x (0.02 s - 0.012 3/rn +a- = 196.4MPa 150712=21 X106mm4o 1-1截面上点的正应力和切应力K103N-m21PX 0 035m=66MPa1-1截面上0点的正应力和切应力xlO3N-m= v = j刃 IzZlxlOmx0.075m = 12.98MPa因b点位干下边彖故场=013.图示外伸梁采用N916号工字钢制成，求梁内最大正应力和切应力。20kNB士lOkN20kNNo. 16AV 2M2mi jVf/kN m20解：画岀梁的剪力

10、圈、弯矩圈如图所示，宙剪力圈可知，梁的最大切应力 发生干A D段內截面的中性轴上；最大正应力发生于A截面的上下边缘处O查型钢表可知:W2=141cm3, fc=6mtn, t=9.9nun h=160mmo梁的最大切应力：15k103N,旷5-仏 471底=6 0 -17.83MPa(160 -2x9.9) x6xl06m2梁的最大正应力zM = 20xlQN.m)=14184Mpa 啦 WzKlxlO-m514一单梁桥式行车如图所示。梁为N8b号工字钢制成，电动葫芦和起重重量总重F=30kN,材料的o=140MPa, r=100MPao试校核梁的强度。6m解：查型钢表知We 28b号工字钢的

11、参数：Wz=334.29cm3, d= 10.5mm, t=13.7 mm, h= 220tntnc(1)校核粱的正应力强度。当行车运行到粱的跨中间截面时，产生的弯 矩为最大。Mm曲=4$kN tn&= 84.2MPa d=140MPa,仃 -心.45K10s(N.m)mm = Wz = 534.29 KlOm3满足强度要求。(2)校核粱的切应力强度。当行车运行到梁的两端时，产生的剪力最大。Fsn=30kNnu30x 103N(aSO-SxBxlOxlOm2=11.3MPa0MPa理20x103N7= (160-2x9.9)x6xl0-6mm2满足切应力强度条件。可以选择No.16号工字钢。1

12、6用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度Elz为常 量。解；查表g-1可得：(I) C截面挠度 河3、48 刃 z3肝48(2) :B截面转角FZ3 * 3可34 泓 4877刃32454F12_ 用 216E1Z 3EQ13F12=487；17用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EL为常量。f A q 严 ， t H HI H HACco A, 0 AFlgIH H HI HI c解：查表2-1可得2（1）血截面挠度5护皿 48z幽 ZE12治广诃411护应十忑血=一=一坞 48 &鶴 ZE12485/2（2血截面转角理t理ZEIz 6反三1=纭十九24

13、&_1&用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EL为常 量。解；查表g-1可得=（I）C截面挠度5今广q卜羽尸旳417凸*5384 EI2 320384 SI 2（2）占截面转角8a 二役+ % = -19用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EI,为常 量。解： 查轰2-1可得三（1）C截面挠度CF = 一Sfz =乂 & =524 EI23E1z% =捡十_q 十 qa _ 2汕1 Elz 3EIZ3EIZ（2） C截面转角门7対0 _ _亦2延狂=&少十 =Iqa5 张3 _ 为a3 6曲 3S7Z 6EIZ20.简化后的电机轴受荷载及尺寸如图所示。轴

14、材料的E=200GPa ,直径d= 130mm,定子与转子间的空隙（即轴的许用挠度）6=0.35nmi.试校核轴的刚度。F=3.5kN500F=35kNq 1.035kN/m500J解：电机轴的最大变形在跨中C截面。（1）利用叠加法求变形。5xlO35N/mxl4m4384 x 200 xlO9N/m2x 013m4=0.0048 mm334反孑3500N xl3m342x 200 xlO5N/m2 xxl) 13m4=0.026 mmac =尺餌+ Q 购=0.0048 + 0.026 = 0.031mm校核轴的刚度二0.031 mtn 5 = 0.35 tnnt 满足网 U 度条件-&21

15、.工字钢悬臂梁如图所示。已知q=15kN/m , /=2m ,o=160MPa,最大许用挠度c9=4mm,试选取工字钢型号。E=2OOGPa ,ACBL 2 1/2 ”qt mmqACB解：工宇钢悬臂梁的最大变形在自由端B截面。（1）利用叠加法计算E截面变形。将血C段加上向上和向下的分布荷载q。原题图变为上图所示。 向下的分布荷载彳引起的变形：15000N/m x2m4_ _1.5xl07-8x 200 xlO9N/m2x/z Tz向上的分布荷载q引起的变形:ac&cK-128 EIZ 幅 Eg15000N/m x24m4(15000N/m x 24m4128 x 200 xlO9N/m2xZz + 96x200 xlO9N/m2xZ22.1875 x IO-8z= 081十刃=1.2幻 2x10（2）按照刚度条件选择工宇钢型号1.28125 xlO 4=0.004 mZz = 3.2xl03cm4根据旳 查型钢表选择No.22&号工字12=3400cm4o22试求图示超静定梁的支座反力，并画弯矩图，设Elz为已知常数。解：（1）本题为一次超静定间题。将B支座反为阳视为务余约束力，画出 超辭定梁的静定基如图所示。（2）将靜定基与原来的超静定梁进行比较。得变形协调方程3 = 0&