第一章试验数据的误差分析.

1、第一章 试验数据的误差分析 （I）教学内容与要求 （1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法； （2）理解误差的基本概念及表示方法； （3）理解试验数据误差的来源及分类； （4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度； （5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑 数据的取舍规则； （6）理解有效数字的含义、有效数字的运算； （7）掌握误差的传递的基本原理； （8）了解Excel在误差分析中的应用。 （II ）教学重点 可疑数据的取舍规则，误差的传递。 （III ）教学难点 误差的传递。 通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实

2、验中由于测量仪表和人的观 察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。因此, 研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差， 以得到准确的实验结果，对于寻找事物的 规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。 误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清 误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过 程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。 目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础 实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。 1.1

3、实验数据的真值和平均值 1.1.1真值 真值是指某物理量客观存在的确定值。对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、 环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免， 故真值是无法测得的，是 一个理想值。在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值： （1）实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。如理论上证实的值，像 平面三角形内角之和为 180又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位 绝对零度等于273.15K;或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。 （2）平均值是指对某物理量经多次测量算出的平均结果，用它替代真值。当然测量次数 无限多时，算出的平均值

4、应该是很接近真值的，实际上测量次数是有限的（比如10次）， 所得的平均值只能说是近似地接近真值。 1.1.2平均值 在化工领域中，常用的平均值有下面几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。设、；=、代表各次的测量值，代表测量次数，则 算术平均值为 InLn乃 耳1一勺 (1-3) 两个量的对数平均值总小于算术平均值。若 平均值，引起的误差不超过 4.4%。 (4) 几何平均值几何平均值的定义为 1 1 J 103 3. 236 13 2. 331 2.442 t. 807 31 2, 759 2. 924 3. 119 鸠 rt z爭I 2L 507 2.備勺 裁 773 ?.勺阳 3.

5、135 3 卜 27( 15 2. 409 衣549 2- 70S 2 806 33 2. 786 2_ 952 350 3fa lt 443 2. 585 2. 7K B皐1 駅 2.伽 監90S 3. J. 3vl 17 1. 4T5 2- 620 2. T85 曲4 35 2. S11 2. 9*79 3. 178 3- 316 IS 2. 504 2.651 2.821 932 36 2 82 m 2. 91 3, 191 3 r 330 2. 5JZ 監關1 赴&54 968 3T Z. 835 3, 003 3i 2Q4 343 2D 2. 557 2. 70S LIS4 3. 0

6、01 2. S4 6 3.014 3.214 3, JS6 1.533 狄克逊(Dixon)准贝U 将n个实验数据按从小到大的顺序排列，得到： x1 x2 -f( an)，则应该剔除x1或xn。临界值 f( a ,与显著性水平 a及试验次数n有关。可见狄克逊准则无需计算S和x，所以计算量较 小。 在用这种准则检验多个可疑数据时，应注意以下几点： (1) 可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。这是因为不同数据的可疑程度是 不一致的，应按照与偏差的大小顺序来检验，首先检验偏差最大的数，如果这个数不被剔 除，则所有的其他数都不应被剔除，也就不需再检验其他数了。 (2) 剔除一个数后，如果还要检验

7、下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。 例如，在用拉依达和格拉布斯准则检验时，和s都会发生变化；在用狄克逊准则检验时，各 实验数据的大小顺序编号以及fO, f( a ,也会随着变化。 (3) 用不同的方法检验同一组试验数据，在相同的显著性水平上，可能会有不同的结 论。 秋克逊(Diwn)检验的临界值九；值及人计算公式 h fl=0.01 TQ5 咼可斛斗可IW 0. J94 (K97C 气 0.926 0.32& $ 1321 0.710 工匚引鬲珀】 工一逊竝一工i 6 0.6加 0.56S S 0.717 0.608 9 % m 10 0.530 T.-I 11 *605 0.502

8、 斗1 XI斗p? 12 0-579 0.479 狄克松检验的要点如下： (1) 当试验数据较多时，使用拉依达准则最简单，但当试验数据较少时，不能应用； (2) 格拉布斯准则和狄克逊准则都能适用于试验数据较少时的检验，但是总的来说， 还是试验数据越多，可以数据被错误剔除的可能性越小，准确性越高； (3) 在一些国际标准中，常推荐格拉布斯准则和狄克逊准则来检验可疑数据。 1.6有效数字和试验结果的表示 1.6.1有效数字 在实验中无论是直接测量的数据或是计算结果，到底用几位有效数字加以表示，这是 一项很重要的事。数据中小数点的位置在前或在后仅与所用的测量单位有关。例如762.5mm， 76.25

9、cm, 0.7625m这三个数据，其准确度相同，但小数点的位置不同。另外，在实验测量 中所使用的仪器仪表只能达到一定的准确度，因此，测量或计算的结果不可能也不应该超越 仪器仪表所允许的准确度范围，如上述的长度测量中，若标尺的最小分度为1mm，其读数 可以读到0.1mm (估计值)，故数据的有效数字是四位。 实验数据(包括计算结果)的准确度取决于有效数字的位数，而有效数字的位数又由 仪器仪表的准确度来决定。换言之，实验数据的有效数字位数必须反映仪表的准确度和存在 疑问的数字位置。 在判别一个已知数有几位有效数字时，应注意非零数字前面的零不是有效数字，例如 长度为0.00234m，前面的三个零不是

10、有效数字，它与所用单位有关，若用mm为单位，则 为2.34mm，其有效数字为3位。非零数字后面用于定位的零也不一定是有效数字。如1010 是四位还是三位有效数字， 取决于最后面的零是否用于定位。为了明确地读出有效数字位数， 应该用科学记数法， 写成一个小数与相应的10的幕的乘积。若1010的有效数字为4位，则 可写成1.010 103。有效数字为三位的数 360000可写成3.60 XI05,0.000388可写成3.88 10-4。 这种记数法的特点是小数点前面永远是一位非零数字，“ X乘号前面的数字都为有效数字。 这种科学记数法表示的有效数字，位数就一目了然了。 例1-2 数 有效数字位数

11、 0.00442 0.0044004 8.700 1034 8.7 1032 1.0004 3800可能是2 位,也可能是 3 位或 4 位 1.6.2 数字舍入规则 对于位数很多的近似数，当有效位数确定后 ,应将多余的数字舍去。舍去多余数字常 用四舍五入法。这种方法简单、方便，适用于舍、入操作不多且准确度要求不高的场合，因 为这种方法见 5 就入，易使所得数据偏大。下面介绍新的舍入规则是： （1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1； （2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变； （3）若舍去部分的数值， 等于保留部分的末位的半个单位， 则末位凑成

12、偶数。 换言之， 当末位为偶数时，则末位不变；当末位为奇数时，则末位加1。 例 1-3 将下面左侧的数据保留四位有效数字 3.14159 t 3.142 2.71729 t 2.717 2.51050 t4.510 3.21567 t3.216 5.6235 t5.624 6.378501 t6.379 7.691499 t7.691 在四舍五入法中，是舍是入只看舍去部分的第一位数字。在新的舍入方法中，是舍是 入应看整个舍去部分数值的大小。 新的舍入方法的科学性在于： 将“舍去部分的数值恰好等 于保留部分末位的半个单位” 的这一特殊情况， 进行特殊处理， 根据保留部分末位是否为偶 数来决定是舍

13、还是入。因为偶数奇数出现的概率相等，所以舍、入概率也相等。在大量运算 时，这种舍入方法引起的计算结果对真值的偏差趋于零。 1.6.3 直接测量值的有效数字 直接测量值的有效数字主要取决于读数时能读到哪一位。如一支50 ml 的滴定管，它 的最小刻度是 0.1 ml ，因读数只能读到小数点后第 2 位，如 30.24 ml 时，有效数字是四位。 若管内液面正好位于 30.2 ml刻度上，则数据应记为30.20 ml,仍然是四位有效数字（不能记为 30.2 ml）。在此，所记录的有效数字中，必须有一位而且只能是最后一位是在一个最小刻度 范围内估计读出的， 而其余的几位数是从刻度上准确读出的。 由此

14、可知， 在记录直接测量值 时，所记录的数字应该是有效数字，其中应保留且只能保留一位是估计读出的数字。 图1-3不同坐标分度的读数情况 如果最小刻度不是1 (或1X101)个单位，如图1-3 (a)( b)( c)( d)所示，其读 数方法可按下面的方法来读： 读数 绝对误差 有效数字位 巳 & (a) 3.3 5.5 0.5 2 (b) 0.6 4.5 0.25(0.3) 1-2 (c) 0.3 4.75(4.8) 0.2 1-2 (d) 1.4 5.7 0.1 2 (e) 2.80 5.11 0.05 3 164非直接测量值的有效数字 (1) 参加运算的常数 n e的数值以及某些因子如 $、

15、1/3等的有效数字，取几位 为宜，原则上取决于计算所用的原始数据的有效数字的位数。假设参与计算的原始数据中， 位数最多的有效数字是 n位，则引用上述常数时宜n+2位，目的是避免常数的引入造成更 大的误差。工程上，在大多数情况下，对于上述常数可取56位有效数字。 (2) 在数据运算过程中，为兼顾结果的精度和运算的方便，所有的中间运算结果，工 程上，一般宜取 56位有效数字。 (3) 表示误差大小的数据一般宜取1(或2)位有效数字，必要时还可多取几位。由于误 差是用来为数据提供准确程度的信息，为避免过于乐观，并提供必要的保险，故在确定误差 的有效数字时，也用截断的办法，然后将保留数字末位加1,以使

16、给出的误差值大一些，而 无须考虑前面所说的数字舍入规则。如误差为0.2412,可写成0.3或0.25。 (4) 作为最后实验结果的数据是间接测量值时，其有效数字位数的确定方法如下：先 对其绝对误差的数值按上述先截断后保留数字末位加1的原则进行处理，保留 12位有效 数字，然后令待定位的数据与绝对误差值以小数点为基准相互对齐。待定位数据中，与绝对 误差首位有效数字对齐的数字，即所得有效数字仅末位位估计值。最后按前面讲的数字舍入 规则，将末位有效数字右边的数字舍去。 例1-4 （1 ）=9.80113824, -1 - =0.004536 （单位暂略） 取亠-=0.0046 （截断后末位加1，取两位有效数字） 以小数点为基准对齐9.801 : 13824 0.004 : 6 故该数据应保留4位有效数字。按本章讲的数字舍入原则，该数据匸=9.801。 （2）=6.3250 ：T0-8, =0.8 10-9 （单位暂略） 取。）=0.8X 10-9=如仗乂 10-8 （使和卩者E是x 10-8） 以小数点为基准对齐6.32 : 50：T0-8 0.08 : : 10-8 可见