线性代数笔记

1、线性代数笔记第一章 行列式 1第二章 矩阵 5第三章 向量空间 32第四章 线性方程组 49第五章 特征值与特征向量 错 误!未定义书签。第一章 行列式1.3.1 行列式的性质给定行列式, 将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即（这个性质表明：行列式对行成立的性质 对列也成立，反之亦然）性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质3行

2、列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。性质4若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个 行列式的和，注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。范德蒙德行列式例10范德蒙行列式=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理142惟一的解：如果n个未知数，n个方程的线性方程组 的系数行列式 Dm0,则方程组有定理

3、143如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式 Dm0,则该方程组只有零 解，没有非零解。推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。第二章矩阵一、矩阵的运算1、矩阵的加法设 A= (aj)B= (bij) mixn，则A+B= (aij+bij) rrKn矩阵的加法适合下列运算规则：(1 )交换律：A+B=B+A(2 )结合律：(A+B ) +C=A+ (B+C )(3) A+O=O+A=A此处0表示与A同型的零矩阵，即 A=(丙)mn , O=Omn(4) 矩阵 A= ( aij) mxn，规定-A= ( -aij) mx n,(称之为 A 的负矩阵)，则有 A+ (-A)

4、 = (-A )+A=0 2、矩阵的数乘设 A= ( aij) nn , K 为数，则KA= ( Kaij) nn矩阵的数乘适合下列运算规则：(1) K (A+B ) =KA+KB(2) ( K+L ) A=KA+LA(3) ( KL ) A=K ( LA )(4) 1*A=A(5) 0*A=0 (左端的零是指数 0,而右端的“ 0”表示一个与 A行数列数相同的零矩阵。)3、矩阵的乘法设 A= (a(j) nn , B= ( bjk ) n 向量维数时，向量组必线性相关；(5) 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关;(6) 若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；向量组的秩=所

5、(7) 向量组线性无关含向量的个数，向量组线性相关的个数；向量组的秩 所含向量(8)向量组必要条件是齐次方程组线性相关(无关)的充分有(没有)非零解向量组的秩个向量组a 1 ,a 2,a m的部分组a il ,a i2，a ir满足如下条件：(1 ) a ii , a i2，a ir线性无关(2 )该向量组任意一个向量添加到这个部分组后得到的向量组线性相关 则称a i1,a i2,，a ir为向量组a 1 ,a 2,a m的极大线性无关部分组。性质：(1 ) 一个向量组的任意向量可由极大无关组线性表示且表示式系数唯一；(2 )一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。一个向量组a 1,a 2

6、,a m的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作 r (a 1 ,a 2,a m)。一个mx n矩阵A，其行向量组的秩称为矩阵A的行秩；列向量组的秩称为矩阵 A的列秩。性质：(1) 一个mx n矩阵A的行秩等于列秩等于矩阵 A的秩。(2) 对mx n矩阵进行初等变换不改变列向量之间的线性关系，进行初等列变换不改变 行向量之间的线性关系，因此可以用初等行变换求一组列向量的极大无关组并将其余向量用 极大无关组线性表示。三、向量组的极大无关组及秩1. 极大无关组的定义2. 向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的 的方法四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下

7、的坐标3.4.1向量空间的概念定义3.4.1 n维实向量的全体构成的集合称为实n维向量空间，记作的一个非空子集,定义342 设V是满足的子空间。则称V是，由它们定义343对任意的一组n维向量的全体线性组合组成的集合生成的子空间343基，维数，坐标定义344设V是的一个向量空间（子空间）。若V中的向量组(2)V中的任意一个向量 a,都能由性表出(a.线性相关，且表示法惟一)，即存在惟一 一组数则称向量组为V的一个基，称r为向量空间V的维数，称为向量a在这个基下的坐标。没有基，定义为0维。第四章线性方程组一、线性方程组的三种表示方法二、齐次线性方程组1. 齐次方程组解的性质设a , 3都是Ax=

8、0的解，贝U C a + C2 B也是Ax= 0的解（C, C2为任意常数）2. 齐次方程组有非零解的条件1） 齐次方程组 AX= 0有非零解的充分必要条件是r （A） v未知数的个数（即矩阵 A的 列数）.2） n个未知数n个方程的齐次方程组 AX 0有非零解的充分必要条件是|A| = 0.3）设A是mxn阶矩阵.若mvn,则齐次方程组 AX 0必有非零解.（这是齐次方程组 有非零解的充分条件但不必要）3. 齐次方程组解的结构1）齐次方程组A）= 0的基础解系的概念重要结论：齐次方程组 A）= 0的任意n- r （A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的 基础解系；2）齐次方程组A）= 0的基

9、础解系的求法3）齐次方程组A）= 0的通解公式三、非齐次方程组1. 非齐次方程组解的性质(1) 设n 1, n 2都是Ax= b的解，贝U n 1 n 2是它的导出组 Ax= 0的解.(2) 设n 1, n 2都是Ax= b的解，则当k1 + k2= 1时，k1 n 1 + k2 n 2也是Ax= b的解.是它的(3)设n是Ax= b的一个解,导出组Ax= 0的解，则是Ax=b的解.2. 关于非齐次方程组解的讨论定理：n个未知数，m个方程的线性方程组 AX=3中，(系数矩阵 A是mKn阶矩阵)是增广矩阵则1）当且仅当程组AX3有惟一解;（未知数的个数）时，方（未知数的个数）时，方2）当且仅当程组AX3有无穷多解;3）当且仅当时，方程组AX=3无解从以上定理可见1 ） 线性方程组 AX