第74讲--几何证明与计算(K字型妙用)

1、第二轮复习 第74讲几何证明与计算 (“ K ”字型的妙用) 三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内 容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻 辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特 殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相 关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。 学习目标： 1. 学会识别、构造“ K字型，积累作辅助线的数学经验 2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力 学习重点：会用 “K字型的性质解决问题 学习难点：“K字型的构造 学习过程:

2、、温故知新 观察下列基本图形，你能得出什么结论？ (1)如图，已知：点 B、C、D在同一直线上，AC丄EC, AB丄BD，ED丄DB. 追问1:这个图形有什么特征? 追问2:若AC=CE，若AOCE，你有什么新的发现? (2)如图，已知：/ ABC= / ACE= / D，问：/ A、/ ECD有何关系? (3)“K字型呈现形式: 矩形基架 正方形、拒球、 直角梯形、坐标 系等 等腰三角册、箋 边三角球、等腰 梯形等 、自主练习: 1 如图，等边 ABC的边长为9, BD=3，/ ADE=60度，则AE长为. 2 .如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角 线AC于

3、点E，连接BE，FE，则/EBF的度数是( ) A. 45 B. 50 C. 60 D .不确定 三、经典例题: 例：如图，在 ABC中，.ABC =90，过点C作AC的垂线CE,且CE=CA, 连接AE、BE. 虫、 (1)若tanBAC, AE = 2，求四边形ABCE的面积; 3 (2)若 EA 二 EB，求证 AB 二 2BC . 四、赢在中考: 1 小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a b上（如 图），已知/ 2=35,则/ 1的度数为（ ）. A . 55B . 35 C. 45 D . 125 2 如图，在平面直角坐标系中，正方形 在x轴上，对角线AC, BD交

4、于点M , ABCD顶点A的坐标为（0, 2），B点 OM=3 2，则点C的坐标为. 3.正方形 ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF丄CE交AB于点 F.若 BF=2，BC=6,求 FE 的长. D 五、感悟数学: （发现） 题呂具备基本图形 亠所有特征*可直接 通过基本图形性质 作答的简单应用Q 1 基本 图形 1构造 丄题目具备基本图形 畔部分特征*可稍作 变形才能求解。 篩用） 基本图形的运用只 是求解的一个重要 吟环节，运用转化恩 想可化难为易。j 六、课后作业: 1.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y = X的图象上，第二象限内的 入 点B在反比例函数y =-的图象

5、上，且OA丄OB , tanB= -3 , X3 则k的值 2.如图，在Rt ABC中，.ABC =90，点B在x轴上，且B -1,0 , A点的横坐 标是2， AB=3BC，双曲线y = 4m x m0经过A点，双曲线y二-卫经过C点, x 则m的值为（） A. 12 B. 9 C. 6 3. 如图，矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数y= (x . 0)的图象上，顶点 x AB C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且 =2，再在其右侧作正方形 DEFG、 BC FPQR (如图所示)，顶点F、R在反比例函数y =(x 0)的图象上，顶点E、 x Q在x轴的正半轴上，则点R的坐标为. 4 .已

6、知：在 ABCD中，AE丄CD，垂足为E,点M为AE上一点，且 ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F. (1) 若点E是CD的中点，求证： ABC是等腰三角形. (2) 求证：/ AFM=3 / BCF . B 德中命制人：邓宏书审稿人：刘加勇 “K”字型的妙用参考答案 、自主练习: 1. 7 2. 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质. 【专题】几何图形问题. 【分析】 过E作HI / BC,分别交AB、CD于点H、I，证明Rt BHE也Rt EIF，可得 / IEF+ / HEB=90 再根据 BE=EF即可解题. 【解答】解：如图所示，过 E作HI / BC,分别交

7、AB、CD于点H、丨，贝U / BHE= / EIF=90 / E是BF的垂直平分线 EM上的点， EF=EB , E是/ BCD角平分线上一点， E到BC和CD的距离相等，即 BH=EI , 亍亠 (EF=BE RtA BHE 和 Rt EIF 中，*, lBR=EI Rt BHE 也 Rt EIF ( HL ), / HBE= / IEF , / HBE+ / HEB=90 / IEF+ / HEB=90 / BEF=90 / BE=EF , / EBF= / EFB=45 故选：A. 【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判 定，全等三角形对应角相等的

8、性质. 三、经典例题: 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角 形. 【分析】(1)易求得AC的长，即可求得 BC, AC的长，根据四边形 ABCE的面积 =SABC+SACE 即可解题； (2)作ED丄AB , EF丄BC延长线于F点，易证/ BAC= / ECF，即可证明 ABC CFE,可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可 解题. 【解答】 解：（1 ） AC丄CE, CE=CA , ac=ce7Tae=.:, / tan / BAC= / BAC=30 BC= AC=:, 2 2 AB= 書BC出, 2 四边形 A

9、BCE 的面积=Sabc+Saace= AB?BC+ AC?CE + 1 _ _ 2 2 则四边形BDEF为矩形， EF=BD , / ACB+ / ECF=90 / ACB+ / BAC=90 / BAC= / ECF, rZABC=ZF=90 在 ABC 和厶 CFE 中，* ZBQZBCF lac=ce ABC BA CFE,( AAS ) EF=BC , / ABE 中，AE=BE , ED 丄 AB , AD=BD , AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC , 即 AB=2BC . 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证 ABC ba CFE是解题

10、的关键. 四、赢在中考: 1. 【考点】平行线的性质；余角和补角. 【分析】根据/ ACB=90 / 2=35。求出/ 3的度数，根据平行线的性质得出/仁/ 3,代 入即可得出答案. 【解答】 b / ACB=90 / 2=35 / 3=180 - 90- 3555 a/ b, / 1 = / 3=55 故选A . 【点评】 本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出/3的度数和得 出/仁/ 3，题目比较典型，难度适中. 2. 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】 过点C作CE丄x轴于点E,过点M作MF丄x轴于点F, MP丄y

11、轴，根据正方形 的性质可以得出 MB=MA，可证明 AMP BMF，就可以得出 PM=MF，就可以证明四 边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出 出C点的纵坐标. OF的值，再由 AOBPBECF，从而得 【解答】 解：过点C作CE丄x轴于点E，过点 M作MF丄x轴于点F，连结EM， / MFO= / CEO= / AOB= / APM=90 四边形POFM是矩形， / PMF=90 四边形ABCD是正方形， / ABC= / AMB=90 AM=BM， / OAB= / EBC，/ AMP= / BMF， AMP BMF (AAS )， PM=FM，PA=BF， OP=OF= OM 四边

12、形POFM是正方形， A （ 0，2）， OA=2， AP=BF=3-2=1， OB=3+1=4， 在 AOB 和 BEC 中， fZCE0=ZA0B “ Z0AF=ZEBC， lab=bc AOB BEC （AAS ）， OB=CE=4，AO=BE=2 . OE=4+2=6， -C （6，4）. 故答案为：（6，4）. 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分 线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键. 3. 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质. 【分析】 连接CF，由正方形的性质得出/ B=90 再由EF

13、丄CE，证得 MEF NCE， 得出 CEF为等腰直角三角形，求得 EF=）=1CF，再由勾股定理求得 CF即可. 【解答】解：连接CF,过点E作MN / AD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示： 四边形ABCD为正方形， 可得四边形AMND为矩形， MN=AD=CD / DNE=90 / BDC=45 DN=EN ME=CN / EF 丄 CE, / CEF=90 / MEF= / ECN 且/ FME= / ENC=90 MEF NCE (ASA ), EF=CE CEF为等腰直角三角形, EF= 由勾股定理得：cf= .I， D N- C 【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的

14、性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形 的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键. 六、课后作业： 1. 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征._ 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得:根据tanB=9，可得 OB OC BCOB 3 根据待定系数法，可得答案. OC BC 3 【解答】 解：作AD丄x轴于点D，作BC丄x轴于点C,设A点坐标是（x, y） / C=Z D=90 / AOB=90 / BOC+ / AOD=90 / AOD+ / OAD=90 , / BOC= / OAD , 又/ D= / C, OAD s BOC , O

15、A AD_OD OBOCBC / tan B=: OB 3 第一象限内的点 A在反比例函数y=:的图象上， x xy=OCX BC=2 , 33 k=OC?BC=2 3=- 6, 故答案为：-6. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三 角函数，待定系数法求函数解读式. 2. 【考点】反比例函数系数k的几何意义. 且在双 【分析】 过点A作AE丄x轴于E,过点C作CF丄x轴于F,由A点的横坐标是2, 4m 曲线y= 上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程 x 求解. 【解答】 解：过点A作AE丄x轴于E,过点C作CF丄x轴于

16、F, / A点的横坐标是2,且在双曲线y=4m上， x A (2, 2m),/ ABC=90 / ABC+ / CBF= / ABC+ / BAC=90 / ABC= / FCB , ABE BCF , -讦=；l=3 CF=1, BF= 2m 3 C (- 1 - 2m 3 .双曲线y= m经过c点, x 2m 1 _= - m, 3 m=3 , 故选D . 【点评】本题考查了根据函数的解读式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线 上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形. 3. 【考点】反比例函数综合题. 【专题】综合题. 【分析】 过D作DM丄x轴，FN丄x轴，RI丄FN

17、 , RH丄x轴，由ABCD为矩形，利用对称 性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角 形相似，且相似比为 1: 2,设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例 解读式求出a的值，确定出 D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角形DME与三 角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN , DM=EN，设F纵坐标为b，代 入反比例解读式得到横坐标为 二由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于 b的 b 方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形 RFI与三角形RQH全等，设

18、R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将 R坐标代入反比 例解读式求出c的值，即可确定出 R坐标. 【解答】 解：过D作DM丄x轴，FN丄x轴，RI丄FN，RH丄x轴， ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且 AB=2BC， / BCD=90 / OBC= / OCB=45 / MCD= / MDC=45 BOCCMD，且相似比为 1 : 2， 设 OC=OB=a，贝U CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a， D （3a， 2a）， | 2 2 将D坐标代入反比例y=中得：6a =6，即a =1， x 解得：a=1 （负值舍去）， DM=2，OM=3， / DEFG为正方形，

19、 DE=EF，/ DEF=90 / MDE+ / MED=90 , / MED+ / NEF=90 , / MDE= / NEF， 在厶DME和 ENF中， rZMDE：=ZNEF “ ZDME=ZENF=90， lde=ef DME ENF (AAS ), DM=EN=2 , FN=ME , 设 F ( , b)，贝U FN=ME=b , ON=OM+ME+EN=3+b+2 b 可得 5+b=,即 b2+5b - 6=0,即(b+6)( b - 1) =0 , b 解得：b=1或b= - 6 (舍去)， F (6, 1), 即卩 ON=6 , FN=1 , 同理 RFI RQH , 设 RH=RI=NH=c，即 R (6+c，c)， 将R坐标代入y=2中得：c (6+c)