09静电场习题解答.

1、第九章静电场选择题1. 在坐标原点放一正+Q，它在P点（x=+1 , y=0）产生的电场为 E。现在,另外有一个负电荷-2Q,试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度为零？（ ）A . x 轴上 x1。B. x 轴上 x0。C. x 轴上 0x0。E. y 轴上 y0。解：根据电场叠加原理，应选（E）。2. 下列说法中哪一个是正确的？A. 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受的电场力的方向。B. 在以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同。C. 场强方向可由E =F定出，其中q为试验电荷的电量，q可正可负，Fq为试验电荷所受的电场力。D. 以上说法都不正确。（）解：根据电场

2、强度的定义应选（C）。3. 如图，电量为 Q的点电荷被曲面S所包围，从无穷远处引另一电量为的点电荷至曲面外一点，则：（）A. 曲面S的E通量不变，曲面上各点场强不变E. 曲面S的E通量变化，曲面上各点场强不变C. 曲面S的E通量变化，曲面上各点场强变化D. 曲面S的E通量不变，曲面上各点场强变化选择题3图解：根据高斯定理，应选 （D）。4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb （ RaRb）,所带电量分别为Qa和Qb,设某点与球心相距 r，当Ra r 0且为有限常量；（C） W=：（ D） W = 0解：0点的电势为零，0点与无穷远处的电势差为零，所以将试验电荷 +qo 从0点出发沿任

3、意路径移到无穷远处， 电场力作功均为零，故本题应选（D）。7. 在匀强电场中，将一负电荷从A移到B,如图所示，则：（）A. 电场力作正功，负电荷的电势能减少；B. 电场力作正功，负电荷的电势能增加；C. 电场力作负功，负电荷的电势能减少；D. 电场力作负功，负电荷的电势能增加解：根据图示，A点的电势高于 B点的电势，所以负电荷在 B点的电势能P高于A点的电势能，电场力作负功。应选（B EA选择题7图8. 在点电荷q的电场中，选取以 q为中心、R为半径的球面上一点 P处作 电势零点，则与点电荷 q距离为r的P点的电势为 （）qq 11qq 11A.B. () C.D. ()4n qr4n ;0

4、r R4n ;0(r - R)4n ;0 R r解：根据电势的定义可计算出P点的电势应为 (丄_丄)，故选(B )。4n名0 r R填空题1. 把两个相同的小球用同样长度的细绳I悬挂于同一点，小球的质量都为2d很小，则两小球m,带等值同号的电荷 q,如图所示，设平衡时两线间夹角 间的距离x=。解：设细绳的拉力为 T,根据受力平衡可得：T cos v - mg,T sin v12- X-2 ,ta nr : 2 ，由此可得4 n ;0 xlX=(丄2n;mg1)* 4 30 I2q填空题1图-a填空题3图填空题2图2. 位于x轴上的两个点电荷，分别带电量2q和q,坐标分别为a和-a。第三个点电荷

5、qo放在x=处，它所受合力为零。解：第三个点电荷所在处场强为零，设该点的坐标为x,根据题意，-a x0,由此解得:q4 n 0 (x a)22q.2 -1xa = 一(3 - 2. 2)a血+1q d零，故e =（2冗R _d2）q3，场强方向为从4 uSqR8冗 &R0点指向缺口中心点。其对称轴与场强方向一致,S填空题5图+q填空题4图4. 半径为R的半球面置于场强为E均匀电场中,E通量为如图所示，则通过该半球面的解：n R2 E则通过该高斯面的E通量5. 如图，点电荷q和-q被包围在高斯面 S内,- E dS =_，式中E为的场强。-S解：0;高斯面S上面积元dS处。6点电荷qi, q2,

6、 qa和q4在真空中的分布如图所示，图中S为高斯面，则通过该高斯的E通量 E dS =。式中的E是高斯面上任一点-s的场强，它等于点电荷 单独存在时在该点产生场强的矢量和。解：（q 2 +q 4）/ 0 , q 1 , q 2 ,q 3 ,q 47. 图中电场强度分量为 Ex= b x1/2, Ey = Ez = 0,正立方体的边长为 a,则通过这正立方体的 E通量尬=，正方体内的总电荷 Q =_55解：（ 2-1）ba2 ； （ ,2-1ba28. 三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度是 + d，则A, B, C,D四个区域的电场强度分别为：Ea =, Eb =, Ec =,(T

7、+d +BC1(TAD填空题8图i1一:-*E0 /3E0 /3A B填空题9图Ed =。(设方向向右为正)解：每个无限大均匀带电平面产生的场强为二/(2& )，根据场强的叠加原理可得：Ea=七二/ (2 );Eb =-(2 &);Ec=c/(2& );Ed =3；/(2 &)9. A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为Eo,两平面外侧电场强度大小都为Eo /3,方向如图。则A、B两平面上电荷面密度分别为 c a =, cb =。解：根据上题可得：卫 A二Eo,口A，解得：2o2心 3-A = -2 e o Eo / 3 ; -B = 4 & o Eo /

8、 310. 真空中有一半径为 R的半圆细环，均匀带电 Q,如图所示，设无穷远处为电势零点，则圆心点的处的电势 Vo =，若将一带电量为 q的点电荷从无穷远处移到圆心 点，则电场力做功 W=。解：Vo = Q / (4 n e R ); W= -q Q / (4 n e R )填空题11图Q/IR - _填空题io图11. 图示BCD是以点为圆心，以R为半径的半圆弧，在 A点有一电量为+ q的点电荷，点有一电量为-q的点电荷，线段 BA = R,现将一单位正电荷从B点沿半径圆弧轨道 BCD移到D点，则电场力所作的功为 解: vBq q o4 冗 So R 4 nRq4 n ；o(3R)q _ q

9、4 n ；o R6 n ；RVbd -V b -Vdq6 n ；o RWBD12. 质量为m电量为q的小球从电势 Va的A点运动到电势为 Vb的B点, 如果小球在B点的速率为Vb,则小球在A点的速率Va=。解：由能量守恒可求得VA=mVB -2q（VA -Vb）2m三计算题1. 两个点电荷分别为 qi= 2 10-C, q2= / 10-C，相距0.3m。求距qi为0.4m、距q2 为 0.5m 处 P 点的电场强度。（一1 =9.0 109 （N m2 C 2）4 n解: p点与两个点电荷构成直角三角形，分别求岀两个点电荷在p点的场强，然后分解到水平和垂直方向，最后求出 场强大小 0.699

10、 104 NC，场强方向与 x轴正向夹角 51.8。x = a / 2 和 x = - a / 2 处的X和-，求 z轴上任一点2. 如图所示，在x y平面内有与y轴平行、位于 两条无限长平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为 的电场强度。计算题2图解：过z轴上任一点（0，0， z）分别以两条带 电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示 按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强 为E + _= / （ 2 n e 0 r ）式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外朝里，如 图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为E =2E cosB入 a/ 2 _ 2a入2 2n er r n e0 (a

11、2 4z2)方向如图所示或用矢量表示2a丸2 2 :0 (a 4z )3. 一段半径为a的细圆弧，对圆心所张的角为 q，试用a、q、0 0表示出圆心 o处的电场强度。解：取坐标xoy如图，由对称性可知：Ex 二 dEx =00 0，其上均匀分布有正电荷dq 二 dl 二 dEyT cos2 cos4二；0a4二；0a-cos v ad v4 二;0a2E =Ey1cos rd24二；a2二；0a v0sin -22- ；oaSosin24.线电荷密度为的无限长均匀带电线，弯成如图形状，若图弧半径为 试求图中O点场强。解：在o点建立坐标系。半无限长直导线ARR,半无限长直导线i4二；oR圆弧AB

12、在i4 二；R所以合场强OQ0【4二；0 (R2 y2)3/2 Ao在o点产生的场强。-y；0(R2 y2)3/2 jdyij4心 0R4：；. 0RB：在o点产生的场强:R jo点产生的场强为：ooAooo计算题4图E 二Ei4 二；oR5. 一电荷面密度为-的无限大”平面，在距离平面a米远处的一点的场强大小的一半是由平面上一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。解：电荷面密度为-的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为aE =2 ；0以图中0点为圆心，取rir+dr的环形面积, 为dq _ ；2 ndr它在距离平面为a的一点处产生的场强其电量/ 、 i11a二1 o1

13、店i / rZE计算题5图oardr2；0(a2 r2)32则半径为R的圆面积内的电荷在该点处产生的场强为rdrE _2 q 0 (a2 r2)32x3 2aa(1 )2 ；0. a2 R2根据题意，令 E - ： （4 ；0），得到：R h.3a6. 实验证明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均强度为120V/m，方向向下，这意味着地球表面上有多少过剩电荷？试以每平方厘米的 额外电子数来表示。解：设想地球为一均匀带电球面，总面积为S,则它所带总电量为q = ；o E dS 二；oES七S单位面积上所带电量为：；丁 = q = ；0ES额外电子数为：门=二=兰旦=6.64 105（个c

14、m ）e e7. 图示一厚度为d的无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 。试求板内 外的电场强度分布，并画出电场强度随坐标 x变化的图线，即Ex图线（设原 点在带电平板的中央平面上， Ox轴垂直于平板）?x解：作圆柱高斯面 Sp S2,如图1,由高斯定理得1平板内区域（|x|d/2）:12 E2 丛S =丄 P 2d 迪S ,5E2d2 ；o计算题7解图1计算题7解图2PdPd即 xd/2 时 E2, x-d/2 时 E2 :2%28. 一个电荷体密度为 （常量）的球体。（1）证明球内距球心 r处一点的p（2）若在球内挖去一个小球，如题图所示,证明小球空电场强度为E r3心得证.E3 ；oE r

15、3 ；o=r 矢量式（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为:和的电荷球体，形成电荷A、B两点的电势分别为:计算题9图密度分别为：和的大球体和小球体。对腔内任一点卩，由（1）的结果有pp大球 E1Pr ； 小球 E2Pr3昴3気PPE =E1P - E2P （r - F ） a 得证 3Sg3名09. 如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中， 将一电量为q的点电荷从A 点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R远大于电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意一点的电势：3V 二 p r /（4 n ；or3）式中的r为从电偶极

16、子中心到场点的矢径。于是VA =-p/（4n ；0R2）VB =p/（4n ；0R2）q从A点移到B点电场力所做的功为（与路径无 关）:2W （Va Vb） 一qp/（2n ；R2）10. 在盖革计数器中有一半径为R2的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条半径为R的导线，如果在导线与圆筒之间加上U的电压，试分别求(1)导线表面处(2)圆筒表面处的电场强度的大小。解：设导线上的电荷密度为 X,与导线同轴作单位长度的、半径为 r( R1r R2)的高斯圆柱面，则按高斯定理有2 n r E = / e o得到E = / (2n e or)( R1 rv R?)方向沿半径指向圆筒，导线与圆筒之间的电势差：d

17、rE工入2n e o7R1 r2n e o R1则则：导线表面处圆筒表面处r In(R2 / R1)E1UR1 I n R2 / R|)E2UR2 I n R2 / R1)11. 如题图所示，一个均匀分布的带正电球层，电荷密度为p球层内表面半径为R1,球层外表面半径为 R2,求A点和B点的电势(其分别到球心的距离解：以r表示到球心的距离，则电荷的分布情况如下:q1 =0r V&q2 =4 nRr3 R；)耳兰r R2按高斯定理，可得各区域的场强情况B。 R1.R2A rB rA计算题11图E = 0r Rq2：,33.區=2 = (r-R1 )R1rvR24n or3 名orE3 =7侃3 -

18、”)r 沁24 nor3名or:RiR2I：33-33VAEdr 0 dr2(r3-R；)dr2(R；-R；)dr%。，R3；or2Bor22 ；o(R；Ri3)00R2p33吆 p33P22 2R?VB 肯、(R1 )dr R2 肓(R2- R1 )d-；(3R2-rB-e)或解：先求B点的电势。设 B点的半径为r (尺r R2 ) , B点处的电势等于以r为半径的球面内的电荷和该球面外的电荷产生，4：二 33、r(r R1)2 、，3丄 $2 卩 4兀r drV B =4胧 orr4 胧 or.石(3R22d2R；)rVA -Vb入eoR2 dr2 n e oR1A点的电势与内球面的电势相等，即在上式中取r=R1，即P 22VA(R；-R12)2Eo12. 一真空二极管，其主要构件是一个半径R1 = 5 X 1O* m的圆柱形阴极 A和一个套在阴极外的半径 R2 = 4.5X 1O m的同轴圆筒形阳极 B，如图所示，阳极电势比阴极高3OOV，忽略边缘效应，求电子刚从阴极射出时所受的电场力(电 子电量 e = 1.6 X 1O,9C)。解：与阴极同轴作半径为 r ( R1r R2)的单 位长度的圆柱形高斯面， 设阴极上电荷线密度为, 按高斯定理有： 2 n r E =八o得到E = 7 (2 n e 0 r )(