格林公式及其应用教案

1、精品好资料学习推荐丽水学院教案课程名称： 高等数学课程代码：B2 授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清院别：理学院2013年5月13日一、授课题目10.3 格林公式及其应用二、教学时间安排：共3课时三、教学目的、要求1了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。2熟练掌握格林公式及其简单的应用。3理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。4会求全微分的原函数。四、教学重点和难点重点: 格林公式的应用难点:灵活应用格林公式进行简化计算。五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。六、教学过程设计准备知识1单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围

2、的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.2边界曲线的正向：对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.（一）格林公式1定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中L是D的取正向的边界曲线.2简要证明分析:先就D既是X型的又是Y型的区域情形进行证明.设D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.因为连续,所以由二重积分的计算法有.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有.因此.设D=(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd.类似地可证

3、.由于D既是X型的又是Y型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得.注意:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.3格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1 例1/设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明.证:令P=2xy,Q=x2,则.因此,由格林公式有. (为什么二重积分前有“”号？ )（2）化二重积分为曲线积分例2.计算,其中D是以O(0, 0),A(1, 1),B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.分析: 要使,只需P=0,.解:令P=0,则.因此,由格林公式有.（3）计算平面区域面积设区域D的边界曲线为L, 取P=-

4、y,Q=x,则由格林公式得, 或.例3.椭圆x=a cosq,y=b sinq所围成图形的面积A.分析:只要, 就有.解:设D是由椭圆x=acosq,y=bsinq所围成的区域.令, 则.于是由格林公式,=pab.4注意格林公式成立的条件：例4计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解: 令,.则当x2+y20时,有.记L所围成的闭区域为D.当(0, 0)D时,由格林公式得;当(0, 0)D时, 在D内取一圆周l:x2+y2=r 2(r0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得其中l的方向取逆时针方向.于是=2p.注：计算结果与L围成的区

5、域是否包括原点有关！因为P、Q的偏导数在原点不连续。（二）平面上曲线积分与路径无关的条件1定义：设G是一个开区域,P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2,等式恒成立,就说曲线积分在G内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分在G内与路径无关,L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有,于是有,所以有以下等价的结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零.2定理2 设开区域G是一个单连通区域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在

6、G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式在G内恒成立.（证明略）注意:定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立.如前例4: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点(0, 0)不连续.因为当x2+y20时, 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内,则结论成立,而当(0,0)在L所围成的区域内时, 结论不成立，因而计算结果与积分路径有关. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.3定理2的应用：若在某

7、区域内，恒有成立，则1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线转化为闭曲线）;3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数（放第3课时教学）例5计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧.解:因为在整个xOy面内都成立,所以在整个xOy面内,积分与路径无关.于是，有.又如课件中例5（三）二元函数的全微分求积（第3课时） 曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0,y0)与终点(x,y)有关. 如果与路径无关,则把它记为即.若起点(x

8、0,y0)为G内的一定点,终点(x,y)为G内的动点,则u(x,y)为G内的的函数. 二元函数u(x,y)的全微分为du(x,y)=ux(x,y)dx+uy(x,y)dy. 表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy与函数的全微分有相同的结构,但它未必就是某个函数的全微分.那么在什么条件下表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3 设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是等式在G内

9、恒成立.简要证明:必要性:假设存在某一函数u(x,y),使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则有,. 因为、连续, 所以,即.充分性: 因为在G内, 所以积分在G内与路径无关.在G内从点(x0,y0)到点(x,y)的曲线积分可表示为考虑函数u(x,y).因为 u(x,y),所以 . 类似地有,从而du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.即P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某一函数的全微分.并且有求原函数的计算公式:,.例6 验证:在右半平面(x0)内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解: 这里,. 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有, 所以在右半平面内,是某个函数的全微分. 取积分路线为从A(1,0)到B(x,0)再到C(x,y)的折线, 则所求函数为.问:为什么(x0,y0)不取(0, 0)? 例7验证:在整个xOy面内,xy2dx+x2ydy是某个函数的