专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨

1、初中学习资料整理总结专题3: 元二次方程根的判别式应用探讨26.不解一元二次方程,判断（证明）根的情况例1 :（ 2012广西河池3分）典型例题:元二次方程x2+ 2x+ 2 = 0的根的情况是【A .有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C .只有一个实数根D .无实数根【答案】【考点】元二次方程根的判别式。【分析】2 x + 2x + 2 = 0 中，a=1，b=2，c=2，2 2 =b -4ac=2 4x1x2=-4v0。 x2 + 2x+ 2= 0无实数根。故选D。例2 :（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【1 -A .方程x+-= -2有两个不相等的实数根xx+-

2、=1有两个不相等的实数根xx+ - =2有两个不相等的实数根x1x+1=a （其中a为常数，且a 2 ）有两个不相等的实数根xB .方程C 方程D 方程【答案】【考点】元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可:A、整理得:x2+2x+1=0，= 0，原方程有2个相等的实数根， 选项错误;B、整理得:-x+1=0 , 2 时， A=a2-40，原方程有2个不相等的实数根，选项正确故选D。练习题:1 （2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程2x +2x+m=0 .（1）当m=3时，判断方程的根的情况;（2）当m= - 3时，求方程

3、的根。2.（2011福建福州4分）一元二次方程x （ x - 2） =0根的情况是A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根3.C、只有一个实数根D、没有实数根（2011福建福州4分）一元二次方程x （ x - 2） =0根的情况是A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根2 14.（2011内蒙古包头3分）一元二次方程x+x+O的根的情况是【D、无法确定A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根.根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围:典型例题:1 : （2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程 kx2 -J2k +1x+1 =0

4、有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【1B. kv 且 k丰02C.- 1 wv 丄2 2D . - - Wk 1 且 kM02 2【考点】【答案】元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。-【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知:kM0;根据二次根式被开方数非负数的条1得 =2k+1 - 4k0。三者联立，解得-丄Wk2故选D。例3:（2012湖南常德3分）若兀二次方程x2+ 2X +m = 0有实数解，则 m的取值范围是【A. m 兰 TB. m2C. m 兰4Dy【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于

5、0,列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围:一元二次方程 X2 +2X +m =0有实数解, =b2 4ac=22 4m0,解得:mfCI。/ m的取值范围是mcl。故选B。（2012江西南昌3分）已知关于X的一元二次方程x2+2x - a=0有两个相等的实数根，则a的值是D .计【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】2 2关于X的一兀二次方程 X +2X - a=0有两个相等的实数根， =2 +4a=0,解得例5:2（2012上海市4分）如果关于X的一元二次方程 X-6x+c=0 （c是常数）没有实根，范围是【答案】c 9。【考点】一元二次方程根的判别式。【分

6、析】2关于X的一兀二次方程 X - 6x+c=0 （c是常数）没有实根， = (- 6) 2- 4CV 0，即 36 - 4c 9。例6:（2012湖北孝感12分）已知关于X的一元二次方程X2+ (m + 3)x + m + 1 = 0.（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;a=- 1。故选 B。那么 c的取值若X1、X2是原方程的两根，且 凶一X2|= 2运，求m的值和此时方程的两根。【答案】 解：（1）证明：由关于X的一元二次方程x2+（m+ 3）x +m+ 1 = 0得 = ( m+3)2- 4 ( m+1) = ( m+1) 2+4,无论m取何值，（m+1 ） 2+

7、4恒大于0,原方程总有两个不相等的实数根。(2). X1, X2是原方程的两根， X1+x2= ( m+3) , X1?x2=m+1。T |X1 X2|= 2 应,.( X1 X2)2=8，即(X1 + X2)2 4X1X2=8。/ ( m+3) 2 4 ( m+1) =8，即 m2+ 2m 3=0。解得：m1 = 3, m2=1 。当m= 3时，原方程化为:X2 2=0，解得：x1 2 , x2= 一寸2。当m=1时，原方程化为:X2+ 4x + 2=0,解得：X1= 2+2 , X2= 2 V2。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析1 (1)根据关于x的一元二次方程 x+

8、(m+ 3)x +m+ 1 = 0的根的判别式 =b2 4ac的符号来判定该方程的根的情况。(2)根据根与系 数的关系求得X1 + X2和X1?x2，由已知条件1X1 X2|=平方后可以得到关于X1+ X2和xi?x2的等式，从而列出关于 m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将 m值代入原方程并解方程。例7：(2011山东潍坊3分)关于X的方程x2+2kx +k1=0的根的情况描述正确的是【k为任何实数，方程都没有实数根 k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 k为任何实数，方程都有两个相等的实数根根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三

9、种【答案1【考点1元二次方程根的判别式。【分析1求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案:一元二次方程根的判别式为= (2k) 2 4X( k 1) =4k2 4k+4= (2k - 1) 2+3 0,不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选例& (2012四川成都4分)有七张正面分别标有数字3, 2, 1 , 0, l, 2, 3的卡片，它们除数字a,则使关于x不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 的一元二次方程X2 -2 a-1对(a a)3= 有)两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数2 2y-x-(a +1)xa

10、+2的图象不经过点(1, 0 )的概率是【答案1 - 2 ( a- 1) - 4a (a- 3) 0,a a 1。将(1, 0)代入 y =x2 -(a2 +1 k a +2 得，a2+a - 2=0,解得 a1=1, a2= - 2。可见，符合要求的点为0, 2, 3。7【考点1二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式, 概率公式。2【分析1 X -2(a-1 k+a(a3)=0有两个不相等的实数根，0。 p （符合要求）练习题:1（ 2012四川广安3 分)已知关于x的一元二次方程（a- l） X2- 2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范

11、围是【A . a2B. av 2D.av - 22.（ 2012山东日照4分）已知关于X的一元二次方程(k 2)2x2 + (2k + 1)x + 1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【3.3(C) k 且 kM2423(D)k 且 kM244（A） k 且 kM23（2012四川泸州2分）若关于X的一元二次方 程X2 4X + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【(B)k 4 且 kM23A、k 2B、kW2C、k -2D、k v -24.（2012山东东营3分）方程（k -1卜2 -寸PkX+ 1=0有两个实数根，则 k的取值范围是【】.5.（2012北京市4分）若关于6.

12、（2012四川资阳3分）关于7.（ 2012湖北鄂州8分）关于C.k1D.k0. /.k -4.xi+g尸-(3k+1)f ziX2=l - 2*又丫適召崔2三1,二（瓦1+卑）2 - 2旳眾=11-/. C2k+1） 2一 2 （k- 3） =11,解得心1 或-工例2: （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x 2,化简得到： m +m - 2=0，解得 m1= - 2, m2=1。 当m= - 2时，方程为：X2 - 2x+4=0，其判别式 =b2-4ac= - 12v 0,此时抛物线与 x轴没有交点，不符合题意，舍去;-（ m2- 2） x - 2m的图象与x轴交于点A （X1,

13、0）和111点B (X2, 0), X1V X2，与y轴交于点 C,且满足 一 + 一=。X1X22（1）求这个二次函数的解析.式;（2）探究：在直线 y=x+3上是否存在一点 P,使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标;如果没有，请说明理由。【答案】解：（1 ）二次函数y0X(m2- 2)2y=x -X-2m的图象与x轴交于点A（ xi，0）和点B（X2, 0）,X1 V X2,令 y=0,即X2 -2(m - 2)2X - 2m=0 ，则有：Xi+X2=m - 2, xix2= 2m。_ x1+X2 _ m2 -11 1.+=X1 X2 X1X2-2m当m=1时，方程为：x2

14、+x - 2=0 ,其判别式 =b2-4ac=9 0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。- m=1。抛物线的解析式为 y=x2+x - 2。(2)存在。理由如下:假设在直线y=x+3上是否存在一点 P,使四边形PACB为平行四边形。如图所示，连接 PA. PB. AC . BC,过点P作PD丄x轴于D点。2抛物线y=x +X - 2与x轴交于A . B两点，与y轴交于C点, A (- 2, 0), B (1, 0), C (0, 2)。 OB=1 , OC=2。/ PACB 为平行四边形， PA / BC, PA=BC。/ PAD= / CBO , / APD= / OCB。在 Rt

15、 PAD 与 Rt CBO 中,/ PAD= / CBO , PA=BC , / APD= / OCB , Rt PAD也 Rt CBO (AAS )。 PD=OC=2，即 yp=2。直线解析式为 y=x+3 , xp= - 1。.P (- 1,2)。在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(-1, 2 )。【考点】二次函数综合题，二次函数与 x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值.根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得

16、m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到 P点的横坐标，从而求得 P点坐标。练习题:1. ( 2012湖南怀化10分)已知x1,X2是一元二次方程(a 6)x2+2ax+a=0的两个实数根。(1)是否存在实数a,使-X1 + X1X2 = 4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明理由;(2)求使(x1 +1)(X2 +1)为负整数的实数a的整数值。2 _ _ 22. (2007湖北襄阳7分)已知关于x的方程x - 2 ( m- 2) x+ m =0

17、.问是否存在实数 m，使方程的两个A . 64B. 48C. 32 -16实数根的平方和等于 56,若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由。四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数:典型例题:则常数 k等于【】例1 :（ 2012江苏南通3分）已知X2+ 16x + k是完全平方式,【答案】【考点】完全平方式。【分析】 X2 + 16X + k是完全平方式,=0。对应的一元二次方程X2+ 16X + k=0根的判别式 =162- 4X 1X k=0解得 k=64。故选 A。2例2: （2012贵州黔东南4分）二次三项式X - kx+9是一个完全平方式，则 k的值是 。【答案】 6。【考

18、点】完全平方式。【分析】 X2- kx+9是完全平方式,9对应的一元二次方程 X - kx+9=0根的判别式 =0。k 一1 y=丄的解析式X =k2 4X1 9=0，解得 k= 6。例3: （2012湖北荆州3分）已知：多项式X2- kx+1是一个完全平方式，则反比例函数【答案】【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。【分析】多项式X2- kx+1是一个完全平方式,对应的一元二次方程 X2- kx+1=0根的判别式 =0。 =k2 4XIX1=0，解得 k= 2。k 1把k= 2分别代入反比例函数 y= 的解析式得:X1十3y=或 y= 一。XX练习题:1.（ 2011云南玉溪3分

19、）若x2+6x+k是完全平方式，则C. 9D . 32.（2010广西南宁3分）下列二次三项式是完全平方式的是【2 2 2A . X 8x 16 B . x+ 8x + 16 C . x 4x 16】2D. X + 4x + 16五. 判断双曲线与直线的公共点个数:典型例题:k（2012江苏南京2分）若反比例函数y=-与一次函数y=x +2的图像没.有 交点，贝U k的值可以是xA. -2B. -1C. 1 D.2【考点】【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可:反比例函数ky = 与一次函数y=x+2的图象没有交点,xH

20、b =x +2 无解,k2即一=x+2无解，整理得 x2+2x-k=0 ,x=4+4k 0,解得四个选项中只有-20，二x 2 + x- 1 = 0有两不相等的实数根。1直线y= x+ 1与双曲线y=有两个父点。故选 A。x【答案】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。例（1UJ2广西南宁5分）已知二次iS散尸詔+血+1, 7=k （X 1） !若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a, b的值分别为【B. a=li b=-3C. a=- h b=2D. a=-l) b=-3【苔案】B,【考点】二谀函数的性质，一元二次方程根的判别式，解二元一次方程组【分析】由yH

21、-bx+1和（X才组成的方程组，消去y.整理得，詔+ (b-k)茎+l+k+ -0,4T它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点.，则行程组貝有一组解,二关于E的方程曲+ Cb-k） H+l+k+=0有两相等飽实数根,4即 (bk)4a ( l+k+ )(1a) k：2 (3a+bi) k+b4a0-AT对于任意的实数k都成立，二i-xO2a + b = 0 ,解得 b-4a = 0二厂故选吐例4: （2012四川资阳8分）已知：一次函数y=3x 2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1 。(1)（3分）求该反比例函数的解析式;(2)（3分）将一次函数y=3x 2的图象向上平移4

22、个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交.点 坐标;（2分）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:函数的图象能由一次函数y=3x 2的图象绕点（0, 2）旋转一定角度得到;函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。【答案】 解：（1 ）把x=1代入y=3x 2，得y=1。k=1。设反比例函数的解析式为 y=k，把（1, 1）代入得,x该反比例函数的解析式为y=-x（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x 2+4,即y=3x + 2,1联立y=3x + 2和y=-，得,x厂r 解得卜=3或产-1 O 厂Xb=3宀11二平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（-,3）和（一1, 1） O3

23、（3）y= 2x 2 （答案不唯一）。【考点】与平移、旋转变换。【分析】先求出两函数的交点坐标，禾U用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，从而求得交点坐标。(3)函数的图象由一次函数y=3x 2的图象绕点（0, 2）旋转一定角度得到,可设所求函数解析式为 y=mx 2，则由jy =mx 2 1得 mx?- 2x 1=0 OIy=x 函数的图象与反比例函数的图象没有公共点, =4 4 m ( 1) 0,解得 m2。又双曲线在二、四象限， m 3 0。.m 3。m的取值范围为:2v m 0, b 0）与反比例函数 y=-的图象有唯一的公x

24、共点。（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式;（2）证明：k取任何正实数时，直线 y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。4. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数典型例题:例1：（：012山东日照4分）二次函数尸返2+临+u*0!）的图象如图所示，给出下列结论：b-4ac0； 3a+b0,.选项正确又丁对称轴为直线x=l, gP- = l, .2a+b凯 选项错误 2a丁由图象知，2对应的函数值为负数！二当2时，2b+c 0, 一 =，即 b2 =12a。4a一元二次方程 ax2 +bx +m =0有实数根,2:, -

25、 b 4am0,即卩 12a-4am0,即卩 12-4m0，解得m 3。二m的最大值为3。故选B。例3:（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y= （ k - 1） x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点。（1）求k的取值范围;（2）若X1, X2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k - 1）2X1 +2kx 2+k+2=4x 1x2-求k的值；当k0,解得k2.即kW2且kMl。综上所述，k的取值范围是k2(2)xix,由(1 )知 k 2 且 kMl。2由题意得(k - 1) X1 + (k+2) =2kx 12将(* )代入(k - 1) X1 +2kx 2+k+2=4x

26、 1x2 中得：2k (X1+X2) =4x1x2。(*),又 X1+X2=2L i X1X2=k+2，二 2k?丝=4?竺k-1k-1k-1 k-1解得：k1= - 1, k2=2 （不合题意，舍去）。二所求k值为-1。【考点】抛物线与21如图， k1=- 1 , y= - 2x +2x+1= - 2 ( x-) 2由图象知：当x= - 1时，y最小=-3;当x=时，23 y.的最大值为- i最小值为-3。2亦1IIIb1-1:严 1 1 L-3X2 32+-，且-1 w x02 根据(k - 1) X1 +2kx2+k+2=4x 1X2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利

27、用图象，直接得出 y的最大值和最小值。例4:(2012福建福州14分)如图，已知抛物线 y = ax2+ bx(a丰(经过A(3 , 0)、B(4 , 4)两点。(1)求抛物线的解析式;的坐标;将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D如图，若点N在抛物线上,且/ NBO =/ ABO，则在的条件下，求出所有满足 PODsA NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、.B 对应)。【答案】解：A(3 , 0)、B(4 ,4).弋+t=04,解得：fc 3。抛物线的解析式是 y= x2 3x。设直线OB的解析式为y = kix,由点B(4 , 4)

28、,得：4= 4ki，解得 ki = 1。直线OB的解析式为y = x。直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y= x m。点D在抛物线y = x2 3x上,可设 D(x , x2一 3x)。又点D在直线y= x m 上, x2 3x = x m,即卩 x2 4x+ m= 0。抛物线与直线只有一个公共点, = 16 4m= 0,解得：m= 4。【考点】判别式,【分析】此时 X1 = X2= 2, y = X2 3x = 2 o D 点坐标为(2, 2)。/直线0B的解析式为y= X,且A(3 , 0),点A关于直线0B的对称点A的坐标是(0, 3)。设直线AB的解析式为y= k2x+ 3，过

29、点B(4 ,4), 4k2 + 3= 4,解得： = 4。1直线AB的解析式是y= 1X + 3。/ NBO =/ ABO，点 N 在直线 AB 上。设点N(n , 4n + 3)，又点N在抛物线y= X2 3x上,123- 4n + 3 = n2 3n,解得：山=4,门2= 4(不合题意,点N的坐标为(一3,薯)。416如图，将 NOB沿X轴翻折，得到 NiOBi,血 M 345则 N1( 4, 16), B1(4, 4)。 O、D、Bi都在直线y = X上。 PlODsA nob , PlODsA NiOBi。0N1=OBt 1。点P1的坐标为(3翁。将OP 1D沿直线y =-X翻折，可得

30、另一个满足条件的点综上所述，点P的坐标是(一8,翁或(4|, 8)。453巳，8)。二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 根据已知可求出 0B的解析式为y= X，则向下平移 m个单位长度后的解析式为：y= x m。由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将NOB沿X轴翻折。(或用旋转)求出PP点有两个。点坐标之后，该点关于直线 y=

31、 X的对称点也满足题意，即满足题意的练习题:1 （2011江苏南京7分）已知函数 y=mx2-6x+1 （ m是常数）。求证：不论 m为何值，该函数的图象都经过 y轴上的一个定点;若该函数的图象与 x轴只有一个交点，求 m的值。22. （2011甘肃兰州4分）如图所示的二次函数 y=ax +bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:2（1） b - 4ac 0; （2） c 1;A、2 个 B、3 个 C、3. （ 2011四川雅安3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴 x= - 1，给出下列结果b24ac;abc0;2a+b=0 :a+b+c0 :a- b+cv 0,则