三角函数综合应用解题方法总结(超级经典

1、课 时 数： 3 学科教师：年 级：高三精锐教育学科教师辅导教案授课类型T 同步：三角函数的化简、 计算、证明的恒等变形T 同步：三角函数周期的求法T 同步： 三角函数图象变换 及解三角形星级1. 三角函数整个知识是高考的重点，学生不仅需要掌握基本概念，也需要掌握一定的教学目标技巧方法；2. 掌握三角函数的整体知识体系，能够熟练运用。授课日期及时段2013/4/22 10:10-12:10学员编号： XA0002390 学员：辅导科目：数学教学容T 同步：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形 课堂引入： 我们在三角函数整个知识方面不仅需要掌握所有的知识体系，在做题方面我们通常不知道如何下手，那

2、么题目我们就没有办法了吗？接下来老师和你分享一些解题的技巧方法。知识讲解：基本思路是 ：一角二名三结构。 首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 :一巧变角 ：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 .如 ( ) ()，2( ) ( )， 2()(），2，2，222典例精讲：例题 1. 已知 tan( )2，tan(1，那么 tan( )的值是 _ 。5444例题 2. 已知 0，且 cos() 1， sin() 23 ，求

3、cos(）值。22 9 23例题 3. 已知 , 为锐角，sinx,cosy， cos( )3 ，则 y 与 x 的函数关系为3239(答： 1) ；2)； 3)22729二三角函数名互化 ( 切化弦 ) ， 例题 3. 求值 sin 50o(1 3tan10o)x2 4 x(3 x551)答： 1)；例题 4. 已知 sin cos1 cos21,tan(2 ，求 tan( 23) 的值1答： 1 )8三公式变形使用 。例题 5. 已知 A、 B为锐角，且满足 tan A tan B tanA tanB1，则 cos(AB)答： 22 )；例题 6.设 ABC中， tanA tanB 3 3

4、 tan Atan B ， sin AcosA 43，则 ABC 是三角形答：等边)四三角函数次数的降升3例题 7.若 ( ,32)，化简为答： sin 2)；例题 8. 函数 f( x)5sin xcos x 5 3cos2 x52 3(xR) 的单调递增区间为答： k12,k12(kZ)五式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化同)。例题 9. 求证： 1sin1 2sin2 21 tan2；1 tan22cos4 x 2cos2 x例题 10. 化简：2tan(x)sin 2(x)44答：1cos2x )22六常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sienc2 xctaons2 xta

5、nx cotxtan4 sin 2 L等)，例题 11. 已知 tan2，求 sin2 sin cos3cos2答： 35).七 正余弦三兄妹 sinx cosx、 sin x cosx ”的存联系例题 12. 若sinx cosx t ，则sin xcosx知一求二” ，答： t 22 1 ) ，特别提醒 ：这里 2, 2 ；例题 13. 若1(0, ),sin cos 2，求 tan 的值。答： 4 7 )；3例题 14. 已知sin2 2sin 21 tan2），试用 k表示sincos 的值答： 1 k ）。（ 其中 角所在的象限由 a, b 的符例题 15. 当函数 y2cosx3s

6、in x 取得最大值时，tan x的值是 (3 答： ） ；2例题 16. 如果 f xsin x2cos(x ) 是奇函数，则 tan =(答： 2） ；答： 2,2 ）；八辅助角公式（收缩代换）的应用 ：asinx bcosx a2 b2 sin x 号确定， 角的值由 tanb 确定 ） 在求最值、化简时起着重要作用。a例题 14.若方程 sinx 3cosx c 有实数解，则 c的取值围是 例题 17. 求值：3sin2 2012264sin2 20 cos2 20(答： 32)课后总结：T 同步：三角函数周期及最值 教学目标：知识讲解：一三角函数周期的求法1定义法 ：定义：一般地 f

7、（x） ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域的每一个值时， （ T）（）都成立，那么就把函数（） 叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说， 如果在所有的周期中存在着一个最小的正数， 就把这个最小的正数叫做最小的正周期。 下面 我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1 求函数 y=3sin （x3)3的周期解：y=f ( x)=3sin(2x）2=3sin ( x+2 )333322=3sin (x2) =3sin(x 3 ) 3333x+3 )这就是说，当自变量由增加到 x+3 ，且必增加到 x+3 时，函数值重复出现。 2函

8、数 y=3sin （ x ）的周期是 T=3 。332公式法：（ 1）如果所求周期函数可化为 y=Asin （ x）、y=Acos（ x为常数，且 A 0、0、R），则可知道它们的周期分别是： tan （ x ）形成（其中 A、 2例 2 ：求函数y=1-sinx+ 3cosx 的周期解： y=1-21 sinx-3 cosx )22=1-2cos sinx-sin cosx )33=1-2sin这里 =1( x- )3 周期 T=22）如果 fx）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、 cos x、tanx 的形式，再确定它的周期。例 3：求 f （ x）=sinx cosx

9、的周期1 解： f （x） =sinx cosx= sin2x2 这里 =3， f （ x） =sinx cosx 的周期为 T= 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）例 4 求函数 y 2 3sin xcosx 2sin2 x 的周期解： y 2 3 sin x cos x 2sin2 x3sin2x cos2x 12( sin2x21cos2x) 1 2sin(2x ) 126例 5 已知函数f (x) sin x(sin x cos x), 求周期3 3 32xxx12x12x解：f (x) sinsincos(1cos) sin3332323112x2x

10、122x(sincos)sin(223322344、遇到绝对值时，可利用公式|a| a2 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 y | cos x |的周期解： y |cosx|cos2 x1 cos2x2T2、三角函数最值问题的几种常见类型1. 利用三角函数的有界性求最值 利用正弦函数、 余弦正数的有界性： sinx 0, 0) 的函数最值 .1 2 3y=2 cos x+ 2 sinxcosx+1,x2 1 32x-1)+ 4 + 434 1, cosx 1, 可求形如 y=Asin( x+),y=Acos(Asin( x+ )(A例 1: 已知函数R,当函数 y取得最大值时，求自变量x

11、的集合 .1 解： y=4 (2cos(2sinxcosx)+114 cos2x+sin2x+1512 sin(2x+ 6 )+54y 得最大值必须且只需2x+ = +2k， k Z. 即 x= +k , k Z. 6 2 6所以当函数 y 取得最大值时，自变量 x 的集合为 x|x= + k , k Z.62. 反函数法例 2: 求函数 分析 此为 yccosx角函数的有界性去解。2cosx 1 的值域2cosx 1acosx b 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 d同角，先用反解法，再用三解法一：原函数变形为cosx解法一：原函数变形为cosx2cosx 1y12 y 1

12、cosx 1,1 ，可直接得到： y 3或y12 y 11, y 3 或3. 配方法转化为二次函数求最值13例 3 ：求函数 y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1 的最值 .325解 f(x)=(cos2x- ) - ,24当 cos2x=1, 即 x= k ,(k Z) 时， y=min=-1,当 cos2x=-1, 即 x= k + ,( k Z) 时， y=max=5.2这里将函数 f(x) 看成关于 cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1 ，1 上的最值值问题了 .4. 引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角 ，化为 y= a2 b

13、2 sin ( x+ ), 利用函数 sin x 1 即可求解。22Y=asin x+bsinxcosx+mcos x+n 型亦可以化为此类。例 4 ：已知函数 yx 的集合。1cos2 x3sin x cosx 1 x R 当函数 y 取得最大值时，求自变量22 分析 此类问题为 yasin2 x bsin x cosxccos2 x 的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为y asin x bcosx 型求解。1 1 cos2x3sin2x1351135y1 cos2xsin2xcos2xsin2x22解：2244422241sin 2x5,2x2k , xkkz,ymax264626

14、5. 利用数形结合sin x例 5： 求函数 y 的最值。2 cosx解：原函数可变形为sinx 0cosx ( 2)这可看作点 A(xcos， sin xB) 和 (2，0) 的直线的斜率，而A是单位圆1上的动点。由下图可知，过 B( 2，0) 作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，ymax3，3 ， ymin6、换元法例 6 ：若 0x ，求函数21y=(1+ sinx )(1+co1sx ) 的最小值 .cosx1解 y=(1+ sinx )(1+1cosx )sinx+cosx+1=1+sinxcosx令 sinx+cosx=t(1t 2 ),t 2-1则 sinx cosx= 2 ，

15、2t 1 t 2+2t+1 t+1 y=1+ = 2 =2t2 1t 2-1t-12=1+t-1 ,由 10,a1 ，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区sin x间的单调性来求解。设 sin x t, 0 t 1,y1 ，在( 0，1)上为减函数，当 t=1 时， ymin3。8. 利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例 8 ： 求函数 y解： y12sin x142 2 的最值。 sin 2 x cos2 x4 2 2 2 22=1cot 2 x41 tan2 x5 cot 2 x4tan2x 5 2 2 9co

16、s2 x当且仅当2cot2 x4 tan2 x,即cot x 2时，等号成立，故 ymin9。9. 利用图像性质例 9 ：求函数 f (x) 2 4asinx cos2x 的最大值和最小值。分析：函数 f (x) 的解析式可以变换成关于 sinx 的二次函数， 定义域为 1，1 ，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1， 1 的位置，才能确定其最值。2 2 2解： y f (x) 2sin2 x 4asinx 1 2(sin x a)2 1 2a2.设 sinx t，则 1 t 1， 并且y g(t) 2(ta ) 2 1 2a2.当a1时， 如下图所示，有 ymax g(1) 3

17、4a， ymin g( 1) 3 4a.1由 y ,tanx 1, x k311. 分类讨论法,y 1,ymin43含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 11 ： 设fx2cos xasin x a 1 042，用 a 表示f(x)的最大值 M(a).解： f xsin 2asin x1. 令 sinx=t,2则01,t2at a 1421. 当 a21，即a2,g t 在0 ， 1 上递增，Ma3a42. 当 01, 即 0 a2时，g t 在0 ， 1上先增后减，a 1;4 2;3.当a20,即0,g t在 0 ，1 上递减， M a g 0422 aa441a3a12112

18、,04,a 2a2附：1 y=asinx+bcosx 型的函数特点 含有正余弦函数，并且是一次式(2005 年高考第 15 题)6k 1f(x) cos( 2x)322 y=asin x+bsinxcosx+cos方法 解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可： y= a2 b2 sin(x+ )，其中 tg =b .6k-1cos( 2x) 2 3sin( 2x) 值域 2x 型的函数。特点 含有 sinx, cosx 的二次式1 的形式来解。cos2 何值时面积最大？方法 处理方式是降幂，再化为型 2005 高考 18 题 S=2sin cos

19、23 y=asin x+bcosx+c 型的函数 特点 含有 sinx, cosx ，并且其中一个是二次方法 应用 sin 2x+cos 2x=1, 使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 (2005年高考第 8 题) 已知 k0时)或向右(当 1 时)或伸长(当 01 时)或缩短(当 0A对应的三个角为 A、 B、C。；c， b + c a， c + a b，ab c，bc b；正弦定理 asinA2余弦定理 c =bsinB sinC 22a +b 2bccos C，2R （ R为外接圆半径）22它们的变形形式有： a = 2 R sin A， sinB2 2 2

20、b = a +c 2accos B，sin A a， cosAb2ab2b2+c2 2bccos A；22ca2bc 。111aha bhb chc( ha、 hb、 hc分别表示 a、b、c 上的高)；222111absin C bcsin A acsin B； 22222a sin B sin C b sin C sin A 2sin(B C) 2sin(C A) 2R2sin Asin Bsin C。( R为外接圆半径) abc4R ；1s(s a)(s b)(s c) ； s (a b c) ；25三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自

21、身的特点。1）角的变换因 为 在 ABC 中 ， A+B+C= ， 所 以 sin（A+B）=sinC ； cos（A+B）= cosC ； tan（A+B）= tanC 。 A B C A B Csin cos ,cos sin ；2 2 2 2 （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形切圆半径， p 为周长之半。（3）在 ABC中，熟记并会证明： A， B， C成等差数列的充分必要条件是 B=60；ABC是正三角形的充 分必要条件是 A， B， C成等差数列且 a，b，c 成等比数列。典例解析：题型 1：正、余弦定理uuur2009一中第四次月考） . 已知

22、ABC中，ABr uuur r r ra ，AC b ，a b 0 ，S ABC15 r，a43, b 5 ，则 BACA.30o B150oC 150030o或1500答案=81）在 ABC中，已知 A 32.00 ， B 81.80， a 42.9 cm，解三角形；2）在 ABC 中，已知 a 20cm， b 28cm， A400 ，解三角形（角度精确到 1，边长精确到 1cm）。解析：（1）根据三角形角和定理，C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，asinB 42.9sin81.80b 0 80.1(cm) ； sinAsin32.

23、00根据正弦定理，asinC 42.9sin66.20c 0 74.1(cm). sinAsin32.00(2)根据正弦定理，sinB bsinA 28sin400 0.8999. a 20因为 00 B2.4 1.4 3.8,2 32 1.83.6, a c ，即 00 A 900,A的取值围。 A 600.例 3在 ABC中， sinA cosA 22AB3 ，求 tanA 的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A 的值。sin A cosA2 cos(A 45 )cosA b22 c2 a87.82161.72 134.622bc287.8161.7A56020；cos2B c

24、22 ab22134.62161.2272 87.822ca2134.6161.7B32053；C1800(AB)1800 (5602032053 )2）由余弦定理的推论得：0.5543,0.8398,点评：应用余弦定理时解法二应注意确定题型 2：三角形面积90047.cos(A 45 )又 0 A 180 ,A 45o 60o, A 105o.otan A tan(4560o)1 3 2 3,13sinA sin105sin(4560 ) sin45 cos60cos45 sin60261S ABC AC ABC 2 解法二：由 sinAABsin A 126422cos A计算它的对偶关系

25、式 sinA3 ( 26 ) 。4cosA 的值。sinA cosA(sin A cosA)2sinAcosA0 A 180 ,1212sin A 0,cosA0.(sin A2 cosA)1 2sin AcosAsinAcosA+得：sin A4得： cosA 2 64从而 tanA sinAcosA264 2 6以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试 题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 4（ 2009 卷文）在锐角ABC 中， BC 1,B2A,则 ACcosA的值等于答案2 ( 2,3)解析设

26、A,B2 . 由正弦定理得ACBC ,ACAC1 2. cossin2sin2cos由锐角ABC 得 0o 2900o o 45o ，又 0o180o 390o30o60o ，故 30oo 2 345 cos ，22AC2cos( 2, 3).例 5 （2009 理)（本题满分14 分）在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，AC 的取值围为且满足A 2 5cos ，uuuru uur AB ACI ）求ABC 的面积；II )若 b c 6 ，求 a 的值解 （ 1）因为 cos2A2 5 ， cosA 2cos2 A 1 3,sinA 4 ，又由5 2 5 5uuuru

27、uur AB AC 3253得 bccosA 3, bc 5 ， SABCbcsinA 2222b 5,c 1或 b 1,c 5 ，由余弦定理得2)对于 bc 5 ，又 b c 6 ，a 2 5例 6( 2009 全国卷理)在ABC 中，角 A、B、C的对边长分别为 a、b 、c，已知 a2 c2 2b，且sin ACcos 3cossA inC, 求 b分析： : 此题事实上比较简单但考生反应不知从何入手 . 对已知条件 (1) a2c2 2b 左侧是二次的右侧是一次的学生总感觉用余弦定理不好处理 ,而对已知条件 (2) sinACcos 3cossA inC, 过多的关注两角和与差的正弦公

28、 式 , 甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分 .解法一：在 ABC 中Qsin AcosC 3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有2 a : agb22abc23b2c22bc2agc,化简并整理得：2(a2 c2) b2. 又由已知 a2 c2 2b4b b2.解得 b 4或b 0(舍).解法二:由余弦定理得 : .又a2 c2 2b, b 0.所以 b 2ccosA 2又 sin AcosC 3cosAsinC ，sin AcosC cosAsinC4cosAsinCsin(A C) 4cossACin ，即 sinB 4cossACin 由正弦定理

29、得 sinB bsinC ，故 b 4c osAc由，解得 b 4. 在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力评析:从 08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型 4：三角形中求值问题 BC例 7 ABC 的三个角为 A、B C ，求当 A为何值时， cosA 2cos 取得最大值，并求出这个最大值。2B+C A B+C A解析：由 A+B+C=，得 2 = 2 2，所以有 cos 2 =sin 2。B+C A 2A A A 1 2 3 cosA+2cos 2 =cosA+2sin 2 =

30、1 2sin 22 + 2sin 2=2(sin 2 2)2+ 2；当 sin A2 = 12，即 A=3 时, cosA+2cos B2+C取得最大值为 23。 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例8（2009文）（本题满分 14分）在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 cosA 2 5 ，25 uuuru uurAB AC 3 （I）求 ABC 的面积； （II ）若 c 1，求 a的值2 A 2 5 2 3 解（） cosA 2cos21 2 （）2 12 5 5又 A (0, ) ， sin A1

31、 cos24 A ，而AB.ACAB.AC.cosA 3bc 3 ，所以 bc 5 ，所以 ABC 的551 面积为： bcsin A1542225（）由（）知 bc5 ，而 c1 ，所以 b5所以 a b2 c2 2bccosA 25 1 2 3 2 5点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应 用、分析和计算能力 题型 5：三角形中的三角恒等变换问题22例 9在 ABC中， a、b、c分别是 A、 B、 C的对边长，已知 a、b、 c成等比数列，且 ac =acbc，求 A的大小及 bsin B 的值。 c分析：因给出的是为 b =

32、a，再用正弦定理可求 bsin B 的值。a、 b、c 之间的等量关系，要求 A，需找 A与三边的关系，故可用余弦定理。由b=ac 可变形cc2解法一： a、 b、c 成等比数列， b2=ac。2 2 2 2 2又 ac =acbc， b +c a =bc。22 bc cosA= 2bc在 ABC中，由余弦定理得：a2 = bc =1 ， A=60。 2bc 2在 ABC中，由正弦定理得sin B= bsin A ， b2=ac， A=60， a= 3 。=。2bsin B b2 sin 60 =sin60 acABC中， 11 bcsin A= acsin B。2222 b2=ac ， A=

33、60，bcsin A=b2sin B。bsin B 3=sin A=。c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。c解法二：在由面积公式得ACAC例 10在 ABC中，已知 A、 B、C成等差数列，求 tan tan 3tan tan 的值。2222解析：因为 A、B、C成等差数列，又 A B C 180，所以 AC120，A C A C从而60，故tan3 . 由两角和的正切公式，AC tan tan 得 2 2 得 A C 1 tan tan22所以 tan 2A tanC23 3tan A tanC ,22tan tan 3tan tan 3

34、。2 2 2 2点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换 公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状 例 11在 ABC中，若 2cosBsin A sinC ，则 ABC的形状一定是（ A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形C2sin Acos B sin （A B） sin （ AB）又 2sin Acos B sin C，（ A B） 0， A B本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径答案： 解析： sin 点评：例 12（ 2009卷文）在 ABC

35、中，A、 B为锐角，角 A、B C 所对的边分别为 a、b、c，且 sinA5,sinB 105 10I）求 A B 的值；II )若 a b 2 1，求 a、 b、 c的值。解（ I） A、 B为锐角，5sin A ,sinB51010 cosA1 sin2 A25,cosB51 sin2 B 3 1010cos(AB)cos Acos BA sinsinB253 10 5 1025105102ABII )I ）知 C sinC得sinB sinC由a sinA5a 10b 2c，即 a2b,c 5b又 a b 2 1b120A1a 2,c 5题型 7：正余弦定理的实际应用例 13（2009 卷理）如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面， B，D 为 两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面 A处测得 B点和 D点的仰角分别为 750 ，300 ，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为 60 0， AC=0.1km。试探究图中 B，D间距离与另外哪两点间距离相等， 然后求 B，D的距离（计算结果精确到 0.01km，2 1.414 ，