《高等代数与解析几何》考试大纲.

1、高等代数与解析几何考试大纲学时数： 192学分数： 6+6=12适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、课程说明高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、 三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景 而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系， 它们的关系可归纳为 “代数为几何提供研究方法， 几何为代数提供直观背景”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变

2、换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用、与其它课程的关系本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础三、考核内容及要求第一章 预备知识一）本章考核内容1、数环和数域2、整数和整除性3、数学归纳法4、映射二）本章考核要求1、识记：数环和数域、数学归纳法、映射9满射、单射和双射2、理解：理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即

3、有理数域、实数域和复数域，理解 整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、第二章行列式一）本章考核内容1、二阶与三阶行列式2、排列3、n 阶行列式的定义4、行列式的性质5、行列式依行依列展开6、克莱姆法则7、拉普拉斯定理二）本章考核要求n阶行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵1、识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义， 的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念2、理解：排列的奇偶性与对换的关系， n 阶行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念， 元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个 k 级子式的余子式等概念，行列式的乘法 规则3、简单应用：用定义计算一些

4、特殊行列式，利用行列式性质计算一些简单行列式，行列式按一行（列）展开的公式掌握“化三角形法” 、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧4、综合应用：克莱姆 （Cramer） 法则第三章 向量代数一）本章考核内容1、向量及线性运算2、仿射坐标系与直角坐标系3、向量的数量积4、向量的向量积5、混合积与复合积6、平面的方程7、直线的方程8、点、平面、直线的关系9、平面束二）本章考核要求1 、识记：向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积，向量垂直、共线、共面，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，方向数与方向余弦，平面方程、直线方程， 点、平面、直线间的距离等概念2

5、、理解：向量及线性运算，仿射坐标系与直角坐标系，向量的数量积，向量的向量积，混合积与复合积，平面的方程，直线的方程，点、平面、直线的关系，平面束3、简单应用：向量运算规律的应用，几何度量，平面、直线方程，及点、直线、平面的关系4、综合应用：用向量解决中学几何、三角问题，平面、直线的综合问题第四章 矩阵本章考核内容1、矩阵的运算2、可逆矩阵矩阵的秩3、初等矩阵4、矩阵的分块本章考核要求1、识记：矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律，可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩等概念2、理解：矩阵乘积的行列式定理，矩阵的秩，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初 等矩阵的关系3、简单应用：矩

6、阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4、综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵 的逆矩阵，求分块矩阵的逆第五章 线性方程组一）本章考核内容1、消元法2、矩阵的初等变换3、线性方程组有解的判别方法4、齐次线性方程组二）本章考核要求1、识记：方程组的解 ,系数矩阵、增广矩阵2、理解：一般线性方程组 ,方程组的解 ,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形 方程组的特征及作用，线性方程组有无解的判定3、简单应用：求齐次线性方程组的基础解系4、综合应用：求一般线性方程组有

7、解的全部解第六章 多项式一）本章考核内容1、元多项式的定义和运算2、多项式的整除性3、多项式的最大公因式4、多项式的因式分解5、多项式的重因式6、多项式函数与多项式的根7、复数域与实数域的上的多项式8、有理数域上的多项式二）本章考核要求1、识记：一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不可约多项式定义，k 重因式定义，本原多项式定义2、理解：数域 P 上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个 （或若干个 ）多项式的最大公因式 ,互素等概念及性质， 不可约多项式的定义及性质， k 重因式的定义，多项式与多项式函数的关系， 代数基本定理， 有理系数多项

8、式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义3、简单应用：多项式的运算及运算律，式的定义及性质，标准分解式， k 重因式，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不可约多项 多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理4、综合应用：带余除法及整除的性质，及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、因式分解及唯一性定理，复（实）系数多项式分解定理Eisenstein 判别法第七章 向量空间一）本章考核内容1、向量空间的定义2、向量的线性相关性3、基 维数 坐标4、子空间5、子空间的直和6、线性空间的同构7、齐次线性方程组的解空间二）本

9、章考核要求1、识记：向量空间的定义，子空间的定义，2、理解：向量空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换 与坐标变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，向量空间同构的定义3、简单应用：判断一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空 间的定义及等价条件，维数公式4、综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件第八章 线性变换一）本章考核内容：1、定义和性质2、线性变换的运算3、线性变换和矩阵4、不变子空间5、特征值和特征向量6、可以对角化矩阵7、最小多项式二）本章考核要求1、识记：线性变换的定义及性质，矩

10、阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念，线性变换的 值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念2、理解：线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质，矩阵的特征值、 特征向量、特征多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系， 握标准型的定义，最小多项式的概念3、简单应用：求一个矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理， 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域A- 子空间与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是4、综合应用：不变

11、子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相似于一个对角阵与它的 最小多项式的关系第九章 若当（ Jordan ）标准形一）本章考核内容1、入-矩阵的概念2、标准形3、不变因子4、矩阵相似的判定5. 初等因子6. 矩阵的 若当标准形二）本章考核要求1 、识记： 矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子2、理解： 矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系第十章 欧氏空间一）本章考核内容1、欧氏空间的定义2、标准正交基3、正交变换与正交矩阵4、对称变换与对称矩阵二）本章考核要求1 、识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及 度量矩阵等概念，正交

12、变换的概念2、理解：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质，正交 向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系3、简单应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间 同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系， 欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质4、综合应用：任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实 二次型为标准型第十一章 二次型一）本章考核内容1、二次型的定义及其矩阵表示2、二次型的标准形3、复数域和实数域上的二次型4

13、、正定二次型二）本章考核要求1、识记：二次型的矩阵表示 ,正定、半正定、负定二次型及正定矩阵等概念2、理解：二次形和非退化线性替换的概念, 二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质 , 复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性3、简单应用：化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）4、综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件第十二章 常见曲面一）本章考核内容1、曲面、曲线方程2、柱面3、锥面4、旋转曲面5、椭球面6、双曲面7、抛物面（包括正交变换在二次曲面方程化简中的应用）8、二次曲面的直纹性二）本章考核要求1、识记：柱面、锥面、旋转曲面的概念，椭球面、双曲面、抛物面、直纹面、直母线

14、的概念2、理解：曲面、曲线方程，柱面、锥面、旋转曲面的形成，利用平行截线法来研究椭球面、双 曲面、抛物面的形状与性质，直母线的性质，正交变换化简二次曲面方程3、简单应用：导出柱面、锥面、旋转曲面的方程，根据二次曲面的标准方程研究它们的性质、形状、直纹性，最后给出利用正交变换给出化简一般二次面面的方法4、综合应用：应用直母线的性质计算证明直母线的有关问题四、命题结构和要求1、严格按照 教学大纲出题，不出超纲题、偏题、怪题；2、试题以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上，加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、综合运用所学知识解决实际问题能力、创造能力的 考查；3、力求试卷难度控制在0.50.55之间，并确保试题具有较高的区分度，能将优秀的学生区分出来.具体说，试题的平均分控制在7080分之间，区分度在 0.3以上；4、题量和试卷分量适当 各卷试题量控制在 20 题（填空题 5道，选择题 5道，计算证明题 10道）， 试题份量以较优秀水平的考生能在规定的时间里从容地完成试题作答为宜；5、主客观性试题在试卷中的占分比例保持 7 : 3.主观性试题包括计算题、证明题、综合题和应用 题客观性试题包括填空题和选择题；6、充分发挥各种题型功能填空题主要用于考查三基以及数学重要性质，一般不出省去解答过