专题18：动态几何之和差问题探讨

1、初中学习资料整理总结专题18:动态几何之和差问题探讨、静态和差问题:典型例题:例1 :（ 2012海南省3分）如图，在 ABC中，/ B与/ C的平分线交于点 O.过O点作DE / BC ,分别交AB、AC 于 D、E.若 AB=5 , AC=4，则 ADE 的周长是 【答案】【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。15【分析】/ OB 是/ B 的平分线，/ DBO= / OBC o又 DE / BC ,/ OBC = / BODDBO= / BOD。二 DO=DB。同理，EO=EC。又 AB=5 , AC=4 , ADE 的周长=AD + DE + AE=AD + DO +

2、EO + AE=AD + DB +EC+ AE=AB + AC=5 + 4=9。例2: （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形 ABCD的对角线长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【r& CA. 82B. 4V2【答案】Co【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质,正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形 ABCD 的对角线长为 2j2，即 BD=2 J2 , / A=90 , AB=AD , / ABD=45 ,=2 o AB=BD?cos / ABD=BD?cos45 =2 近冥旦2 AB=BC=CD=AD=2 。由折叠的性质： A M=AM, D N=D

3、N A D =AD图中阴影部分的周长为A M+BM+BC+CN+D N+A D =AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8 o故选CoA1、D1处，则阴影部分图形的周长为【】例3: （2012四川内江3分）如图，在矩形 ABCD中，AB=10 , BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形 ABCD外部的点A.15B.20C.25AE3D.30【答案】D o【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质,AiE=AE , AiDi=AD ,DiF=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长,

4、为 2 （10+5） =30。故选 D o例4: （2012山东枣庄3分）如图:矩形 ABCD的对角线AC=10 , BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】A、 14B、16C、20D、28【答案】【考点】平移的性质，勾股定理。【分析】边平移至由勾股定理，得AB= Jac2 -BC2 =曲02 -82 =6 ,将五个小矩形的所有上边平移至AD ,所有下BC ,所有左边平移至 AB ,所有右边平移至 CD ,五个小矩形的周长之和 =2 （AB+CD ） =2X （6+8） =28。故选D o例5: （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E

5、,作AF垂直于直线 CD于点F，若AB = 5, BC = 6,贝U CE+ CF的值为【答案】【考点】11 +11 +Co1/32硬或11应2 2平行四边形的性质和面积，勾股定理。13B. 112D. 11 一或 1+ 2 2【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x , DF=y。fQQ-Q如图 1,由 AB = 5, BE=x，得 AE=/AB -BE =(25-x o由平行四边形 ABCD的面积为15, BC = 6,得625x2=15 ,5J3解得x=子（负数舍去）o1/由 BC = 6, DF=y，得 AF = JaD 2 -DF2 = J36-y2 o由平行四边形 ABCD的面

6、积为15, AB = 5,得5j36-y2=15 ,解得y= 3寸3 （负数舍去）。 CE + CF= (6 如图2,同理可得硬)+ ( 5 33 ) =11 2BE=, DF=3p3 o21173o2图2F CE + CF=(6 + ( 5 + 373 ) =11 +故选C o例6: （2012山东枣庄8分）已知:如图,在四边形 ABCD中，/ ABC = 90,CD 丄 AD , AD2 + CD2= 2AB2 .(1) 求证：AB = BC ;（2）当BE丄AD于E时，试证明:BE = AE + CD .D【答案】解：（1）证明：连接 AC o/ ABC = 90 AB2 + BC2=

7、AC2o/ CD 丄AD , AD2 + CD2 = AC2。/ AD2 + CD2= 2AB2,. AB2 + BC2= 2AB 2oAB = BC o(2) 证明：过C作CF丄BE于Fo/ BE丄AD，.四边形 CDEF是矩形。二CD = EF o / ABE +/ BAE = 90 / ABE +/ CBF = 90, / BAE =/ CBF o又 AB = BC，/ BEA = / CFB, BAE CBF (AAS ) AE = BFo BE = BF + EF = AE + CD o【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)题目中存在直角，垂直，含线段平

8、方的等式，因此考虑连接AC,构造直角三角形,利用勾股定理证明。(2)可采用截长”法证明,过点C作CF丄BE于F,易证 CD=EF，只需再证明 AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证例7: (2012内蒙古呼和浩特 7 分)如图,四边形ABCD是正方形,点 G是BC边上任意一点,DE 丄 AG于 E, BF / DE,交 AG 于 F.(1) 求证：AF - BF=EF ;(2)将 ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,若正方形边长为3,求点F与旋转前的图中点 E之间的距离./ BAG+ / EAD=90 o【答案】(1)证明：如图，正方形 ABCD , A

9、B=AD , / BAD=/ DE 丄 AG , / AED=90 o / EAD+ / ADE=90 o / ADE= / BAF o又 BF / DE，/AEB= / AED=90 o在 AED 和 BFA中，/ AEB= / AED , / ADE= / BAF , AD = AB o(AAS )o BF=AE o/ AF - AE=EF , /AF - BF=EF o(2)解：如图,D根据题意知：/ FAF =90 DE=AF =AF ,/ F AEd AED=90，即/ F AEk AED=180。 AF / ED。.四边形 AEDF为平行四边形。又/ AED=90，四边形 AEDF

10、是矩形。 EF =AD=3o点F与旋转前的图中点 E之间的距离为3。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出/ BAD为90, AB=AD ,进而得到/ BAG与/ EAD互余,又DE垂直于AG,得到/ EAD与/ ADE互余，根据同角的余角相等可得出/ADE= / BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF - AE=EF，等量代换可得证。（2）将 ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,连接EF,如图所示，由旋转的性质

11、可得出/FAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出 AF=DE，等量代换可得出DE=AF =AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF 与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为AEDF为矩形，根平行四边形可得出 AEDF为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出据矩形的对角线相等可得出EF =AD由AD的长即可求出EF的长。例8: （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线 AC交于点M,过M作ME丄CD于点E,/ 1 = / 2.（1）若CE=1，求BC的长;(2) 求证：AM=DF+ME .【答案】 解：（1 ）四边形 ABCD

12、是菱形， AB / CD。/ 1 = / ACD 。/ 1 = / 2, / ACD= / 2。.MC=MD。 ME 丄 CD , CD=2CE o CE=1 , CD=2 o BC=CD=2。(2)证明： F 为边 BC 的中点， BF=CF= 1 BC。二 CF=CE。 2在菱形 ABCD中,在 CEM 和 CFMAC 平分/ BCD , / ACB= / ACD。中， CE=CF , / ACB= / ACD , CM=CM ,延长AB交DF于点/ AB / CD , / G= / 2。/ 1 = / 2, / 1 = / G。AM=MG 。(SAS), ME=MF。在 CDF和 BGF

13、中,/ G= / 2,/ BFG= / CFD , BF=CF , CDF BGF (AAS )。 GF=DF。由图形可知， GM=GF+MF , AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)根据菱形的对边平行可得AB / D，再根据两直线平行，内错角相等可得/1 = / ACD，所以/ ACD= / 2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长 BC的长度。(2)先利用SAS证明 CEM和 CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB

14、交DF于点G,然后证明/ 1 = / G,根据等角对等边的性质可得 AM=GM，再利用AAS证明 CDF和 BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF即可得证。例9: (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，线段AC=n+1 (其中n为正整数)，点B在线 段AC上，在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到 AME .当AB=1 时， AME的面积记为 Si;当AB=2时， AME的面积记为 S2；当AB=3时， AME的面积记为S3；当AB=n时， AME的面积记为 Sn .当n2时，Sn - Sn-1=【

15、答秦土1.2【若点】正方形的性质平行的判定和性质，同底等高的三角形积，整式的混合运算.【分析】连接BE,丁在建段AC同侧作正方形ABMN斥正方形BCEK.*. AAMEAAMBfja等高.AAME的面积=AAMB的面积。当 AB=n 时，A AKE 的面积为 = n,当 AB=ti 1 BtAAME 的面积为 ； = iin-l |二当论価討弓n川弓n+izniA - 1例10: （2012贵州铜仁 4分）如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线交于点 E,过点E作MN / BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段 MN的长为【答案】【考点】【分析】6 B. 7 C. 8

16、 D. 9角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。/ ABC、/ ACB 的平分线相交于点 E,A/ MBE= / EBC，/ ECN= / ECB ,/ MN / BC ,/ EBC= / MEB , / NEC= / ECB o / MBE= / MEB , / NEC= / ECN o BM=ME ,EN=CN O MN=ME+EN，即 MN=BM+CN。/ BM+CN=9 MN=9。故选 D。例11: （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若/ A=75 ,则/ 1 +

17、/ 2=【】【答案】【考点】【分析】150 B. 210翻折变换（折叠问题）/ A DE是 ABCC.，三角形内角和定理。翻折变换而成，/ AED= / A ED / ADE= / A DE / A= / A =75/ AED+ / ADE= / A ED+Z. A DE=180 - 75=105 ,1+ / 2=360 - 2X105=150。例 12:（2012湖北孝感3 分）A .450B .【答案】Co【考点】余角和补角、【分析】根据互余两角之和为由题意得，Za+Z两式相减可得:Z例13:（2012湖南长沙3 分）故选A。已知Z a是锐角，/ a与Z 3互补，Z a与Z 丫互余，则Z

18、3Z 丫的值是【】60oC. 90oD . 180o90。互补两角之和为 180结合题意即可得出答案:3 =180； Z a+Z Y =903Z Y =90。故选 C。如图，AB / CD / EF，那么Z BAC+ / ACE+ / CEF= 度.A3【答案】360。【考点】平行线的性质。【分析】/ AB / CD ,/ BAC+ Z ACD=180 。/ CD / EF,.Z CEF+ Z ECD=180 。 + 得，Z BAC+ Z ACD+ Z CEF+ Z ECD=180 +180 =360 ,即Z BAC+ Z ACE+ Z CEF=3 60练习题:1. （2012辽宁本溪 3分）

19、如图 在直角 ABC中，Z BAC=90 , AB=8 , AC=6 , DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E,连接AE，则 ACE的周长为【A、16B、15C、2.（2012吉林省3分）如图,在等边 ABC中，D是边AC上一点，连接 BD .将 BCD绕点B逆时针旋转60得到 BAE，连接ED .若BC=10 , BD=9，则 AED的周长是_3. （2012福建龙岩3分）如图，Rt ABC中，/ C=90 AC = BC = 6, E是斜边AB上任意一点，作EF丄ACB于F, EG丄BC于G,则矩形4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC

20、= 3,点E、F、G、H分别在矩形 ABCD的各边上，EF / HG ,EH / FG,则四边形EFGH的周长是C. 2105.（2012内蒙古包头10分）如图，已知 AB为O O的直径，过OO上的点C的切线交AB的延长线于点E , AD丄EC于点D且交O O于点F，连接BC , CF , AC。(1)求证：BC=CF;(2)若 AD=6 , DE=8 ，求 BE 的长;求证：AF + 2DF = AB。6.（2012山东东营10分）（1）如图1 ,在正方形ABCD中,（2）如图2，在正方形 ABCD中,E是AB上一点，F是AD延长线上一点， 且DF = BE.求证：CE = CF ;E是AB

21、上一点，G是AD上一点，如果/ GCE = 45请你利用（1）的结论证明：GE= BE + GD .（3）运用（1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题:ABCD的面积.S 17.（ 2012黑龙江牡丹江8分）如图, ABC 中 AB=AC ,P 为底边 BC 上一点，PE 丄 AB ,PF 丄 AC , CH 丄 AB ,垂足分别为 E、F、H .易证PE+PF=CH .证明过程如下:图如图，连接ARrPE丄AB, PF丄AG CH丄AB，* PE, S心右AOPF.又*耳砂*氐恵席=氐遊PE-|-；AC*PF=AB CH,2 2 27AB=AC,APE+PF=CH,（1）如图，P为B

22、C延长线上的点时,其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量网关系？请写出你的如图 3,在直角梯形 ABCD 中，AD / BC( BC AD ) , / B = 90 AB = BC,E 是 AB 上一点，且/ DCE猜想，并加以证明:（2）填空：若/ A=3O0,A ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，贝y AB边上的高CH=.点P到AB边的距离PE=B8.（2012江苏南通 3分）如图，在ABC中，Z C= 700,沿图中虚线截去Z C,则Z 1 + Z 2 =【】A. 3600B.25009. （ 2012江苏南京2分）如图，N1、AC.

23、1800D. 1400Z2、N34是五边形ABCDE的4个外角，若N A =120。，则N1+N2+N3+N4=10.225B . 235C. 27011.(2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/a+Z 3（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，Z1 + Z 2=【】。的度数是【A. 180,B.220,C.、和差为定值问题:典型例题:例1 :(2012广西崇左10分)如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点 A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中;(1)/ EAF的大小是

24、否发生变化？请说明理由(2) ECF的周长是否发生变化？请说明理由【答案】解：(1)/ EAF的大小不会发生变化。理由如下:在正方形 ABCD 中， AH 丄 EF, a / AHF= / D=90 ,/ AF=AF , AH=AD，二 Rt AHF 也 Rt ADF(HL) o a/ HAF= / DAF。同理 Rt AHE 也 Rt ABE，/ HAE= / BAE o/ HAF+ / DAF+ / HAE+ / BAE=90 , a / EAF= / HAF+ / HAE=45。a / EAF的大小不会发生变化。 ECF的周长不会发生变化。理由如下:由(1)知：Rt AHF 也 Rt A

25、DF , Rt AHE 也 Rt ABE ,a FH=FD , EH=EB o a EF=EH+FH=EB+FD。a CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD 。a CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD 。【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)由 HL 证得 Rt AHF 也 Rt ADF 和 Rt AHE 也 Rt ABE 即可得/ EAF= / HAF+ / HAE=45 ,即/ EAF的大小不会发生变化。(2)由(1 )两个全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即 CE+CF+EF=

26、 CE+CF+EB+FD=BC+CD。正方形 ABCD边长的2倍。【点评】第二问， ECF的周长即CE+CF+EF为定值:例2: (2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点 A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH .(1) 求证：/ APB= / BPH ;(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理

27、由.G(备用图【答案】 解：(1)如图 1,v PE=BE ,/ EBP= / EPB .又/ EPH= / EBC=90 ,PBC= / BPH。/ EPH -/ EPB= / EBC -/ EBP,即/又 AD / BC， / APB= / PBC。./APB= / BPH。(2) PHD的周长不变为定值 8。证明如下:如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q。由(1)知/ APB= / BPH ,G又/ A= / BQP=90 , BP=BP , ABP N QBP (AAS )。 AP=QP ,AB=BQ。又 AB=BC , BC=BQ。又/ C= / BQH=90 , BH=BH , BC

28、H BQH (HL )。 CH=QH。P D+DH+PH=A P+P D+DH+HC=AD+CD=8BG(3) 如图3,过F作FM丄AB，垂足为 M，贝U FM=BC=AB 。又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90。/ EFM= / ABP 。又/ A= / EMF=90 , AB=ME ,(ASA )。 EM=AP=x .2在 Rt APE 中,(4 - BE) 2+x2=BE2, 即卩 BE=2+.。82x CF =BE -EM =2+ 一x。8又四边形 PEFG与四边形BEFC全等,*1 *1 0:宀沁尹2)+6。 S 丄(be+cfab

29、cJLxUQx2 丿 2(4 0V !72 3545h丿【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据题意表示出 AG、GD的长度，再由tanNCGD=tan/PAG可解出x的值。(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出 Si、S2,然后作差即可。(3)延长PD交AC于点Q,然后判断 -DGP是等腰直角三角形，从而结合 x的范围得出x的值，在Rt DGP中，解直角三角形可得出 PD的长度。练习题:1.（广东广州14分）已知关于x的二次函数2 ,-,y= ax +bx+c(aHO )的图象经过点

30、 C (0, 1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是（1，0）（1）求c的值;（2）求a的取值范围;（3）该二次函数的图象与直线y = 1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记 PCD的面积为S,， PAB的面积为S2,当0V a 1时，求证：Si- S2为常数，并求出该常数.2.（2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片AB (E) CD ( F)沿对角线 BD (EF)剪开，得到 ABD和 ECF，固定 ABD，并把 ABD与 ECF叠放在一起.（1）操作：如图，将 ECF的顶点F固定在 ABD的BD边上的中点处， ECF绕点F在BD边上方左右旋转，

31、设旋转时 FC交BA于点H （H点不与B点重合），FE交DA于点G （ G点不与D点重合）.求证：BH?GD=BF2（2）操作：如图， ECF的顶点F在 ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点 A作AG / CE,交FE于点G,连接DG .探究：FD+DG=.请予证明.3.（2011福建莆田10分）如图,将一矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数 y = k（x0）的图象与边BCx交于点F。（1） （4分）若 OAE、 OCF的而积分别为 S1、S2.且 + S2=2，求k的

32、值:（2） （6分）若OA=2 . 0C=4 .问当点E运动到什么位置时，四边形 OAEF的面积最大.其最大值为多少4.（2011黑龙江龙东五市8分）BE=BC , AB=3 ,BC=4，点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q, PR丄BD于点R。（1）如图1，当点P为线段（2）如图2，当点P为线段12EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。5EC上的任意一点（不与点 E、点C重合）时，其它条件不变，则（1 ）中的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写

33、出你的猜想。DC5.（ 2011湖南永州10分）探究问题:方法感悟：如图，在正方形 ABCDE, F分别为DC,BC边上的点，且满足/ EAF=45，连接EF，求证 DE+BF=EF .感悟解题方法，并完成下列填空:将 ADE绕点A顺时针旋转 90得到 ABG ,此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD , BG=DE, / 1 = / 2,/ ABG= / D=90,/ ABG+ / ABF=90 + 90 =180 ,因此，点G , B, F在同一条直线上./ EAF=45/ 2 + / 3= / BAD -/ EAF=90 45 =45 ./ 1 = / 2,/ 1 + / 3=45

34、.即/ GAF= /又 AG=AE , AF=AF GAF 也=EF，故 DE + BF=EF .方法迁移:如图，将Rt ABC沿斜边翻折得到 ADC ,点E, F分别为DC , BC边上的点，且/ EAF=丄/ DAB 试2猜想DE , BF, EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.问题拓展:1如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , E, F分别为DC,BC上的点，满足/ EAF= 2 / DAB,试猜想当/ B2（不必说明理由）FD6.（ 2011福建莆田14分）已知菱形 ABCD的边长为1 ./ ADC=60，等边 AEF两边分别交边 DC、CB于点E、F。（1） （4分）特殊发现：

35、如图 1,若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形 ABCD对角线AC、BD交点0即为等边 AEF的外心;（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边 AEF的外心为点 P. （ 4分）猜想验证：如图2.猜想 AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;3,当 AEF面积最小时，过点 P任作一直线分别交边 DA于点M,交边笑（6分）拓展运用：如图三、和差最大问题:典型例题:例1 :（ 2012广西崇左10分）如图所示,抛物线 y = ax2 +bx+c ( aO的顶点坐标为点 A (- 2, 3),且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B （0, 2）.（1）求该抛物线的解析式;与

36、/ D满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF .请直接写出你的猜想(2)是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由;(3) 若点P是x轴上任意一点，则当 PA- PB最大时，求点P的坐标.【答案】解：(1 )抛物线的顶点坐标为 A( - 2, 3)，可设抛物线的解析式为 y=a(x +2)2 +3。由题意得 a (叶2 )+3 ,懈得a ：=41物线的解析式为y =二仪+2)2 +3 ,41 2y = 一 X x +2。4(2)设存在符合条件的点 P,其坐标为(P,0),则PA2 = (_2 _P)22 = (3-2)2 +22 =5当PA=PB

37、时,(-2 P)2 +32= p2+22，解得P = 一94当PA=PB时,2 2(-2p) +3 =5，方程无实数解;当PB=AB时,P2 +22=5，解得 p =1。 x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(9一,0 )或(-1,0 )或(1,0 )。4可得 PA - PB的最大值，这个最大值等于(3)v PA- PBCAB,.当 A、B、P三点共线时,AB , 此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则”I1丨 b =2Ik = 12丄 ，解得2。直线AB的解析式为y=-x+2-2k + b = 3!2JIb =221当 y = - X +2 =0 时，解得 X =

38、 4。2当PA- PB最大时，点P的坐标是(4, 0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】(1)由已知用待定系数法，设顶点式求解。(2)分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。(3)求得PA- PB最大时的位置，即可求解。例土 (2012四川内江历分)已知yui, 5), B (3, -1)两点，在:轴上取一点耐，AM-BM取得最大值时，则M的坐标酋4【答案】C-，0).2【考点】一次函数综合题，线段中垂线的性精，三角形三边关系，关于葢轴对称的点的坐标，待定系数法,貢线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组I分析】如图

39、，作点.B关于龙轴的对称点连接总B-并延民与K轴的交最此时 AM-AM- B AB不妨在藍轴上任取一个另一点W 连接M虫、M3. MB则(三角形两辺之差小于第三边)目卩此时盘MEM最犬.是B(3, 】)关于无轴的对称点,：兀心 1)设直线AB解析式沏尸如+h耙A (1,幻和(3, 1)代入得:丁一2 二直线血B獰析式为 l2肝人0=777令E解得迁z点坐标越u 0).例3: (2012广东广州14分)如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5 ,BC=10 , F为AD的中点，CE丄AB于 E,设/ ABCa (60wa90).(1)当a =60时，求CE的长;(2)当 60 a 90 时,是否

40、存在正整数 k,使得/ EFD=k / AEF ?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.2 2连接CF，当CE2- CF2取最大值时，求tan/ DCF的值.厂【答案】 解：(1 ) a =60) BC=10,. Sin 仏些，即 sin60)CE=V3，解得 CE= 53 。BC102(2)存在k=3，使得/ EFD=k / AEF。理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点G, F为AD的中点，AF=FD 。i f 在平行四边形ABCD中，AB / CD, / G= / DCF o在 AFG和 CFD中,/ G= / DCF ,/ G= / DCF , AF=FD , AFG CFD (AAS )。 CF=GF , AG=CD。D/ CE 丄 AB , EF=GF。/ AEF= / G。/ AB=5 , BC=10,点 F 是 AD 的中点，二 AG=5 , AF=1 -AD= 21BC=5 O. AG=AF o2在 AFG 中，/ EFC= / AEF+ / G=2 / AEF , 又/ CFD= / AFG , / CFD= / AEF o/ EFD= / EFC+ / CFD=2 / AEF+ / AE