14.3场论初步2

1、14.3场论初步在空间或空间的一部分上分布着某一物理量，就构成一个场，在生理学中有各种不同的场，如物体的温度场，大气压力场，空间的引力场，流体的速度场等，一般来说，场可分为两类：数量场，如密度场、温度场；向量场，如引力场、速度场等，尽管每种场都有各自的物理特性，但是在数量关系上各类场都有相同的数学形式。一、梯度设三维欧氏空间的有界体是一个数量场，即在上定义一个三元函数，且函数在上存在所有的偏倒数定义 向量 称为函数（数量场）在点的梯度，记为，即 由此可见，数量场的梯度是一个向量场（梯度向量场） 如果是过点的射线，的方向余弦是，由10.3定理5，函数在点沿射线的方向导数 已知是射线的单位向量，由

2、向量内积公式，有 =其中是在点的梯度向量与单位向量之间的夹角，如图14.30由（1）式不难看到，仅当时，即单位向量（也就是射线）的方向与梯度 的方向一致时，方向导数才能取到最大值，换句话说，梯度的方向就是函数在点变化率最快（或最大）的方向， 再从等值面看梯度，如果三元函数的所有偏导数在连续，中的曲面 称为等值面，例如，气象学中的等温面、等压面等都是等值面的原型，函数的等值面 （任意）是以原点为球心的一族同心球面，过场中的每个点只有一个等值面，显然，等值面彼此不相交，数量场过点 有一个等值面，由11.4的（4）式，等值面在点的法线方程是 于是，等值面法线的方向向量就是梯度 即数量场在点的梯度方向

3、就是过点的等值面的法线方向，由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，例如，已知物体上任意一点的温度是，即物体是一个温度场，若物体中有的点温度高有的点温度低，则中就有热的流动，那么在一点，热沿着哪个方向流动最快呢？通过对梯度的讨论我们知道，热沿着梯度方向，也就是过点的等值面的法线方向流动最快，因为热是由温度高处流向温度低处，而梯度方向是由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，所以热沿着点流动最快。例1 计算电势场（数量场）在点的梯度，其中是单位正电荷。解 为了书写简便，设 ，有 同样有 ， 于是， 已知单位正电荷产生的电场强度是 即 由此可见，电场的强度等于电势的梯度，即 ，而电场强度的方向与电

4、势梯度的方向相反。由梯度的定义，不难证明，梯度有下列性质：1：2：3：二、散度设有稳定流体速度场，场内有一光滑曲面，由14.2第二段知，在单位时间内，流体速度场通过曲面的流量 其中是曲面的外法线的单位向量，如果是闭曲面， 表示在单位时间内通过闭曲面的流量，通过闭曲面的流量是流出量（+）和流入量（）两者之差（注意，的外法线方向为正），可能有下列三种情况： 1），即流出量大于流入量，这时内有“源”。 1） ，即流出量小于流入量，这时内有“洞”。 1） ，即流出量等于流入量，这时内可能既无“源”也无“洞”，也可能既有“源”又有“洞”，而“源”与“洞”的流量相互抵消。为了讨论流体速度场在闭曲面内“某一

5、点的流量”，首先讨论通过闭曲面的平均流量（平均散度） ，其中是闭曲面围成有界体的体积。定义 设有向场，在场内取包含的光滑闭曲面，设围成有界体的体积是，若当（闭曲面收缩为一点）时，极限 存在（而与的方式无关），称此极限是向量场在点的散度，记为，即 由此可见，向量场的散度是一个数量场。当时，表明点是“源”，其值表示源的强度；当时，表明点是“洞”，其绝对值表示洞的强度；当时，表明点 既不是“源”也不是“洞”。用散度定义计算散度很麻烦，下面有（2）式的计算公式，根据奥-高公式和三重积分的中值定理（设向量场满足公式和定理的条件），有 = = = =其中是有界体的体积，点，当时，有 或简写为 由（3）式可

6、将奥-高公式 =表为向量形式 于是，奥斯-高公式的物理意义是，向量场通过闭曲面的总流量等于闭曲面所围成有界体的每一点散度的总和（即的三重积分）.例2 设在坐标原点有点电荷，在它周围形成电场，场内任意点的电场强度（向量）是 ,其中是点到原点的距离，即， 是线段上的单位向量，即，计算1）电场强度在点的强度；2）通过以原点为球心，以为半径球面的流量（电通量）；解 1）已知 ，即 , , 有 同样， 于是， 即除原点外，场中任意点的散度皆为，既不是“源”也不是“洞”。 2）作以原点为球心，以为半径的球面，通过的电通量 因为的方向（从原点出发的射线）与（球面外法线单位向量）的方向一致，即夹角为 ，由向量

7、的内积公式，有 在球面上，有 于是， 由（3）式不难证明散度的下列性质：1.2. （其中 是数量场）。只给出性质2的证明，由（3）式，有三、旋度 在向量场中，比如河流中，常常出现涡旋现象，在涡旋附近水绕着涡旋中心轴旋转，我们设想有一自由转动的叶轮，将叶轮的轴放在涡旋的中心。不难想象，叶轮旋转的快慢，一方面与每一点的流速有关；另一方面与叶轮安放位置或叶轮轴的方向有关，因而，描述向量场中一点的涡旋要用向量。为了讨论旋度，首先讨论环量；设有向量场，的所有偏导数连续，场中有光滑闭曲线，向量在曲线上点处切线正向上的投影（如图14.31）是 ，其中是上的单位向量；定义 沿闭曲线的曲线积分 称为向量场沿闭曲

8、线的环量。环量表示质点在向量场的作用下沿着闭曲线回转的方向（由的正负号决定）与快慢程度，显然，当的方向愈接近的方向，回转的速度愈快；当改变曲线的方向时，环量要改变符号.在向量场中任取一点，过点任意作一平面，在平面任取围绕点的光滑闭曲线，设围成图形的面积为。当给定的正方向后，如图14.32，平面图的法线的正方向也就确定了，反之亦然。将环量除以曲线所围成的面积，即称为向量场在点沿平面曲线绕法线的平均环量（平均旋度）；定义 设有一向量场，在场中作过点的平面，在平面上作围绕点的闭曲线，若当（闭曲线收缩到一点）时，绕法线的平均环量的极限 存在（而与的方式无关），称此极限是向量场在点绕法线的旋度，记为，即

9、 =设在闭曲线上点的切线的方向余弦是，由斯托克斯公式，有 其中是闭曲线围成的区域，是平面的法线的方向余弦（常数），由曲面积分的中值定理（见练习题14.2第2题），有 其中是区域的面积，于是， 设 有 其中是向量与之间的夹角。显然，当时，取最大值，即当法线的方向与向量的方向相同时，取最大值；定义 向量场中任意一点，向量称为向量场在点的旋度，记为，即 由此可见，向量场的旋度是一个向量场；当时，表明点不是涡旋；当时，表明点存在涡旋，愈大，旋转愈快。有了（4）式，可将斯托克斯公式 表为向量形式 于是，斯托克斯公式的物理意义是，向量场沿闭曲线的环量等于展布在以闭曲线 为边界的曲面上每一点绕法线的旋度之和

10、（即在上的曲面积分）。例3 设液体以等角速度绕轴旋转，如图14.33，旋转时液体不扩散，计算液体质点的切线速度的旋度。解 取轴为轴，点的向径表为 =已知切线速度 由公式（4）有， 即速度场的旋度等于角速度的2倍，当角速度大时旋度也大，表明液体旋转快，当角速度为时，旋度也为，表明液体不旋转。 不难证明旋度具有下列性质： 1 2 3 4 只给出性质4的证明，由（3）式，有 + 定义 设有向量场 1）若沿曲线由到，向量场所作的功 只与始点和终点的位置有关，而与所取的路线无关时，称向量场为位场。2）若对任意点，有 称向量场为无旋场。3）若存在函数，使得，即 ， ， 称向量场为势量场，称为向量场的势函数

11、。将14.2定理5用向量语言叙述，下列四个断语是等价的：1）向量场是位场；2）向量场是势量场；3）向量场是无旋场；4）向量场沿任何闭曲线的环量皆为零。定义 若在向量场中任意点，有 称向量场是管量场定理 下列三个断语是等价的：1）向量场是管量场，即；2）若是向量场内任意光滑闭曲面，则（流量） 其中是闭曲面外法线的单位向量；3）存在某个向量场，使证明从略四、微分算子在直角坐标系中，引入向量微分算子， 符号“”读作“那勃勒”，有了可将梯度、散度、旋度表为非常简便的形式。函数的梯度 向量的散度 向量的旋度 于是，下面讨论二阶微分算子：1已知是向量场，将作用在有两种：1），有 符号称为拉普拉斯算子（见习题14.2第15题），显然，于是 2) ，事实上， 2是数量场，将作用在仅有一种： 3是向量场，将作用在有两种：1），事实上， 2） 二阶微分算子仅有上述五种情况。练习题14.31 计算下列数量场在点的梯度：1）2）3）2证明：1）2）3在空间中，哪些点能使数量场的梯度垂直于轴？4设，求及5计算下列向量场在指定点的散度：1），点；2），点6证明：1） 2） 7已知向量，求 1）通过圆柱表面