全概率公式与贝叶斯公式

1、2021/3/10授课：XXX1 6.6.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 解：B=AB+B且AB与B互不相容。 P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B) =P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.70.95+0.30.8=0.905 P AB P A B P B () (|) ( ) P A P B A P A P B AP A P B A ( ) (|) ( ) (|)( ) (|) 0 7 0 95 0 7 0 950 3 0 8 . . 0 735. 例1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70，乙厂占 30，甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80 若用事件A，

2、分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品 为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格 灯泡是甲厂生产的概率。 2021/3/10授课：XXX2 定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组 并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有 ii i P BP A P B A( )() (|) 证：A1,A2,两两互斥，故A1B,A2B,两两互斥 BB且 i i BA() i i A B 由加法法则 i i P BP A B( )() 再由乘法法则 iii P A BP A P B A()() (|) ii i P BP A P B A( )() (|)故 2021/3/10授课：XXX

3、3 定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组， 且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有 mm m ii i P AP B A P A |B P A P B A () (|) () () (|) m m P A B P AB P B 证： () (|) ( ) mm ii i P AP B A P A P B A () (|) () (|) 各原因下条件概率已知 求事件发生概率 求是某种原因造成得概率 事件已发生 全概率 贝叶斯 2021/3/10授课：XXX4 例2 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。 一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校 正过的

4、枪射击，中靶率为0.4。 (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校 正的概率。 解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶 3 P A 5 ( ),则 2 P A 5 ( ) P B A0 9(|). P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0 6(|). 1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|) 32 0 90 4 55 .0 7 . P A P B A 2 P A B P A P B AP A P B A ( ) (|) ( ) (|) ( ) (|)( ) (|) 2 0 6

5、 5 23 0 60 1 55 . . 0 8 . 2021/3/10授课：XXX5 例3 有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球， B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。 现任取一箱，再从中任取一球，求 (1)此球是白球的概率 (2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。 解：用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球 用D表示取出的是白球。 则A、B、C是完备事件组。 1 P AP BP C 3 ( )( )( )且 115 P D AP D BP D C 528 (|)(|)(|) 2021/3/10授课：XXX6 1 P DP A P D AP B P D BP C P D

6、 C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|) 111115 353238 53 120 0 442. P B P D B 2 P B D P A P D AP B P D BP C P D C ( ) (|) ( ) (|) ( ) (|)( ) (|)( ) (|) 11 32 111115 353238 20 53 0 378. 2021/3/10授课：XXX7 4 P A0 4 10 ( ). 例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。 解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。 P BP A P B AP A P

7、 B A( )( ) (|)( ) (|) 4364 109109 36 90 0 4 . P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (|)() (|) P A P B A P C ABP A P B A P C AB P A P B A P C ABP A P B A P C AB ( ) (|) (|)( ) (|) (|) ( ) (|) (|)( ) (|) (|) 432463643643654 10981098109810981098 288 720 0 4 . 2021/3/10授课：XXX8

8、 例5 设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5，即若用A表 示验血阳性，B表示受验者患病，则 P A BP A B5(|)(|)%。若受检人群中仅有0.5患此病， 即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。 P B P A B P B A P B P A BP B P A B 解： ( ) (|) (|) ( ) (|)( ) (|) 0 005 0 95 0 005 0 950 995 0 05 . . 0 087. 若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血阳性约47.5人 而9950健康人中，验血阳性者为99500.05497.5人 2021/3/10授课：XXX9 7 7

9、 独立试验概型独立试验概型 (一一)事件的独立性事件的独立性 故若A独立于B，则B也独立于A,称事件A与事件B相互 独立。 P AP A B( )(|)若 P AB P B () ( ) P AB P B P A () ( ) ( ) 则P B A(|) 关于独立性有如下性质： 定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响， 即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。 定义2 若n (n2)个事件A1,An中任何一个事件发生的 可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响， 称A1,A2,An相互独立。 2021/3/10授课：XXX10 (1)事件A与B独立的充分必要条件是P(

10、AB)=P(A)P(B) 证：必要性 若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。 设A与B的概率都不为零，由独立性 P(B|A)=P(B) 而由乘法法则可得 P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B) 充分性 设P(B)0,则 P AB P A B P B () (|) ( ) P A P B P B ( ) ( ) ( ) =P(A) 即A与B独立。 2021/3/10授课：XXX11 (2)若事件A与B独立，则A与B， A与B， A与B中的 每一对事件都相互独立。 证：P AB P AAB()() P AP AB( )() P A P B( ) ( ) 类似可证其它两对事件独立。

11、=P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B) 由(1)可知，A与B独立。 2021/3/10授课：XXX12 (3)若事件A1,A2,An相互独立，则有 P(A1An)=P(A1)P(An) 证：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-1) 12n 1n1n 4A AA P AA1P AP A 若事件相互独立，则有 ( ),., (.)(). () 而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An) 故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An) n1n1 由于A ,.，A 对立， A ,.证, A：也对立 1nn P AA1(.) 1 P(A

12、+.+A ) 1n 1P AA(.) 1n 1 P AP A(). () 2021/3/10授课：XXX13 例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被 击中的概率。 解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。 目标被击中，即至少有一人击中，即A+B A与B独立。故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.90.8 =0.98 或由性质(4) =0.98 P AB1P A P B()( ) ( ) =1-0.10.2 2021/3/10授课：XXX14 例2 一名士兵用步枪

13、射击飞机，命中率为0.004。求： (1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。 (2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99？ 解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)0.004 1250 1250 1 P AA1P AP A( ) (.)(). () 250 1 0 996. 0 63. 2n( )设要 名士兵同时射击 1n 1n P AA1P AP A(.)(). () n 1 0 996. 0.99 即0.996n0.01 0 01 n 0 996 lg . lg . 故 1150 2021/3/10授课：XXX15 例3 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照

14、管， 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9， 0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。 解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、 丙不需要照管。 则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85 P ABC()P ABC()1 P ABC() 1P A P B P C( ) ( ) ( ) 10 9 0 8 0 85. 0 388. P ABBCAC() P ABP BCP AC2P ABC()()()() 0 1 0 20 2 0 150 1 0 152 0 1 0 2 0 15. 0 059.

15、2021/3/10授课：XXX16 例4 图中开关a、b、c开或关 的概率都是0.5，且各开关是 否关闭相互独立。求灯亮的 概率以及若已见灯亮，开关a 与b同时关闭的概率。 解：令A、B、C分别表示开关a、b、c关闭，D表示灯亮 P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) =0.50.5+0.5-0.50.50.5 =0.625 ABD,由于ABD=AB P ABD P AB D P D () (|) ( ) P AB P D () ( ) 0 5 0 5 0 625 . . =0.4 ab c 2021/3/10授课：

16、XXX17 例5 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。 解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3 用B表示目标被摧毁。 P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1 P(A0)=0.60.50.3=0.09 P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36 P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.

17、41 P(A3)=0.40.50.7=0.14 3 ii i0 P BP A P B A( )() (|) 0.458 11 1 3 ii i 0 P A P B A0 36 0 2 P A B0 157 0 458 P A P B A () (|). (). . () (|) 2021/3/10授课：XXX18 (二二)独立试验序列概型独立试验序列概型 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。 若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其

18、它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0p1)。 这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。 2021/3/10授课：XXX19 例6 一批产品的废品率为p,(0p1)重复抽取n次， 求有k次取到废品的概率。 解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互 不相容的事件组成： B1=(废，废，正，正) B2=(废，废，正，废，正，正) Bm=(正，正，废，废) P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-k k n mC ,而故 m kkn k i1n i 1 P BP BmP BC P 1 P( )()()() 2021/3/10授课：XXX20 一般地，有如

19、下的定理： 解：设B表示至少有两件一级品 10 10 k 2 P BPk( )( ) 1-P10(0)-P10(1) 1019 10 1 0 4C0 6 0 4. 0 998. n kkn k nn 1A ppn kP (k) P kC p qk0 1n q1 p 定理贝努里定理 设一次试验中事件 发生的概率 为 ，(0 1),则 重贝努里试验中，事件A恰好发生 次的概率为 其中 () ( ),(, ,., ) 例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。 2021/3/10授课：XXX21 例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病

20、人中至少有6人治愈的概率。 解：设A表示至少有6人治愈。 10 10 k 6 P APk( )( ) P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10) 6647738829910 10101010 C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 20 8. 0 97. 而正好有8人治愈的概率为 882 1010 P8C 0 8 0 2( ).=0.302 2021/3/10授课：XXX22 例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。 解：设在一次试验中A出现的概率为p 则A至少出现一次的概率为 4 4 44 k 1 P k1 P 011 p0 59( )( )(). 故(1-p)4=0.41 1-p=0.8 p=0.2 A至多出现一次的概率为： P4(0)+P4(1) 413 4 1pC p 1p()() =0.82 413 4 0 8C0 2 0 8. 2021/3/10授课：XXX23 例10