§7.6线性变换的值域与核.

1、V ,教学目的重 点 难 点 课 型 教学过程 7.6线性变换的值域与核理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构, 及其与核的关系.值域的结构，值域与核的关系.值域与核的关系.新授课定义6: AV上的线性变换（AL（V），A 的值域：AV A其维数叫A的秩.A的核：A 1 0A 0, V，其维数叫A的零度.易证：AV与A 1 0均是V的子空间。例：在 PXn 中，AfX f X 则 APXnPXn1,A1 0P二者均是P X n的子空间。定理 10 A L(V),dim V n, 1, 1,Ln是一个基。1)AV L(A i,A 2L a n)2)若 A( 1, 2,L n)

2、( 1, 2,L n)A，1,则秩证明:1)等 AV,naii 1naiA ii lL(A1, A 2 L A n)反过来L(A 1,A 2,L an)aA iA(aii)AVai i的像,AV 故 AV L(A1,L An)2)Q(A 1,LA n ) A( 1,2, L n)( 1,2L n)a秩(A)dim AV dim L(A 1,L A n) (P271.2 第六章补充题2 ）=秩（A）换句话说:A A，贝U 秩（A）=秩（A）说明：L1 , 2, s 是包含1, 2, s的最小子空间。解决了 dimAV ,那么 dimA -1定理 11 设线形映射 :VV,dim V n ，则di

3、mIm dimker n1L如果，证 设 dim ker s, 1,s, s 1Ln为V的基2,Ls为ker的基，则扩充L(1),Ls),(s1),L( n) L( (1),L( n)ks 11)kn( n)nkiai)s1nki ai kers1kiaii s 1(i1ki)aikiaii1i,ki( s 1),L(n ) 线性无关，因此 dim Im秩( s 1)L ( n) n sn dimIms dimIm dimker注意：虽有A的秩+ A的零度=n,但这并不等于AV + A1 0 =V成立。当且仅当AV =V时，A的秩=n， A是映上的。当且仅当A 1 00时，A的零度=0, A是

4、1 1的。故：有限维线性空间的线性变换是 11 的当且仅当该线性变换是映上的。推论 1AL (V ),dim Vn ,则秩 (A)A的零度=nA L(V)命题 11 2 2 1A 1(0) A 2(0) (A2) 1(0)3(0)(A 3)1(0)(A i() 0)(A i 1)1(0)证：(A i) 1(0) AA i 1( )A(Aia) A0 0命题 2： AV A 2V证： Ai 1V:t:Ai 1(AiA3VAiV AiV命题 3： A 20 AN1) 1(0)A iVA iA i(A )Ai 1VA 1(0)1V(Ai)(0) (Ai 1) 1(0)是 A 的缘故。证“ ”，若 A

5、 2o, AV ，则 V ，A 1(0) AV (0)命题 4： AV ，则 A AV A1(0)L(V ),W1 W2 V 且0AWi A | W i则 AW1 AW2证：AW1P W1 W2 ，使AAW1 AW2AW1AW2 ，又都是子空间，所以 AW1AW2命题 5：设 dimV n,A L(V) ，则存在 sn ，使A sV A s 1V证：考虑 V AV A 2VA 2V A n 1VdimV这 n 2 个子空间必有维数相等者共 n,n1,2,1,0 这 n1 个维数)设dim AV dim Ajv(i j)n1AiVA jVAiV Ai 1VA 3V 取 sA sV A s 1V从

6、而对任何 jn,A jVAsV如果 An 0，n,A s 0(Th11)推论 2: AL(V),dim Vn,A 是1 1的A 是映上的。证“ ”A 映上/ AV V dim AV n dimA 1(0)0 A 1(0)0Q A A A()0A 11)A 是 1-1 的”A 是 1-1 的 AV V 仿照上节课命题 5命题 6 dimVp n,A L(V)则存在 s n 使(As1)(0) (As 1)(0)且对任何 j n,(A j) 1(0) (A s) 1(0)推论：如果(An) 1(0) V ,则 s: (As 1)(0) V例，设A Pnxn, A2 A，证明A与对角矩阵相似证：设线性空间 V 上的线性变换 A在基1, 1丄n下的矩阵为A，故A2 AA 1(0)AVA 1(0) A 0而 AV, ,Adim(A V A 1