结构力学教学课件-09矩阵位移法

1、1 基本概念 求解固体力学问题的方法 解析法应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限； 前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等适用于手算, 只能分析较简单的 结构。 数值法应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于经典解答，求解 范围广。 以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计 算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机 杆件结构的有限元法 矩阵位移法 2 本章主要内容 结构的离散化与杆端力（位移）的表示方法； 单元分析； 整体分析； 直接刚度法 坐标变换； 边界支承条件处理； 非结点荷载的处理 e

2、矩阵位移法基本步骤: 1. 化整为零- 结构离散化 将结构拆成杆件, 杆件称作单元. 单元的连接点称作结点， 对单元和结点编码. 2. 单元分析 6 3 4 5 1 2 1 3 56 4 2 单元杆端力 3. 集零为整- 整体分析 单元杆端位移 基本未知量: 结点位移 单元刚度矩阵 建立整个结构的结点位移与结点荷载 间的关系 4 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量 (平面结构杆件单元的一般情况) 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部坐标的坐 标与杆轴重合； 图(b)、 (c)中杆端位移和杆端力均以坐标轴正向为正方向； 转角和弯矩按

3、照右手螺旋法则确定（图中顺时针为正方向） 12 EA I l x y (a) 局部坐标 单元编号 杆端编号 12 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v (b) 杆端位移 12 1 x F 1y F 1 M 2 M 2x F 2y F 杆端力 (c) 杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元： 12 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v ( ) ( ) (1) 1 (2) 1 ( ) (3) 1 2 (4) 2 (5) 2 (6) e e e u v u v ( ) ( ) (1) 1 (2) 1 ( ) (3) 1 2(4) 2 (5) 2 (6) e e x y e x y F F F F

4、 F M F FF F F M F （1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量 凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的； 各元素按照先1端后2端并且依照顺序排列。 12 1 M 2 M 1 x F 1y F 2x F 2y F 第9章 矩阵位移法 9.2 单元分析（单元刚度方程） 所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端 内力间关系的方程。 有两种处理方法： 先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界 条件 先处理法的优缺点：k阶数低，不统一 后处理法的优缺点：k阶数高，统一，但有 较多的零元素。 第9章 矩阵位移法 9.2.1 轴力杆件单元 112 212 () () x x E

5、A Fuu l EA Fuu l 矩阵形式 11 22 x x EAEA Fu ll uFEAEA ll 12 12 e T xx e T FFF uu 若 e e e kF 1 22 1 1 u l 2 u x 2x F 1x F 9.2 单元分析（单元刚度方程） 第9章 矩阵位移法 e e e kF (9.4) 轴力杆件的 单元刚度方程 轴力杆件的 单元刚度矩阵 (9.5) 11 11 e EAEA EA ll k EAEAl ll 9.2.1 轴力杆件单元 9.2 单元分析（单元刚度方程） 9 第9章 矩阵位移法 9.2.2 平面弯曲杆件单元 111 222 e T y e T y FF

6、M FFM T e T e v v 222 111 1 12 2 1 2 Q1 1 Q2 2 1 2 9.2 单元分析（单元刚度方程） Fy1 Fy2 第9章 矩阵位移法 9.2.2 平面弯曲杆件单元 1122 1234 e T yy FFMFM 1122 1234 e T vv 1 12 2 1 2 Q1 1 Q2 2 1 2 9.2 单元分析（单元刚度方程） Fy1 Fy2 杆端变形 杆端力 单元左端（1端） 发生支座位移时 1 2 21 k 11 k 31 k 41 k (b) 0 221 v 1 1 v 1 2 2 12i l 2 12i l 6i l 1 1 v 6i l kij表示

7、第j个杆端位移分量为1时 引起的第i个杆端力分量的值 1122 2341 e T vv EI i l 线刚度 单元2端发生支座位移时 13 k 33 k (d) 1 2 v 1 2 23 k 43 k 0 121 v 13 k 33 k 1 2 v 1 2 23 k 43 k 2 12i l 2 12i l 6i l 6i l kij表示第j个杆端位移分量为1时 引起的第i个杆端力分量的值 1122 1234 e T vv 1122 1234 e T vv单元1端发生单位转角时 1 2 22 k 12 k 42 k 32 k (C) 0 212 vv 1 1 1 2 22 k 12 k 42

8、k 32 k 1 1 4i2i 6i l 6i l kij表示第j个杆端位移分量为1时 引起的第i个杆端力分量的值 单元2端发生单位转角时 1122 1234 e T vv 1 2 24 k (e) 14 k 34 k 44 k 0 211 vv 1 2 1 2 24 k 14 k 34 k 44 k 1 2 4i2i 6i l 6i l 第9章 矩阵位移法 9.2.2 平面弯曲杆件单元：杆端力表达式 11212 21212 121212 22 66 42 66 24 661212 yy ii Miivv ll ii Miivv ll iiii FFvv llll 9.2 单元分析（单元刚度方

9、程） 第9章 矩阵位移法 22 11 11 22 22 22 126126 66 42 126126 66 24 y y iiii llll Fv ii ii M ll Fviiii llllM ii ii ll e e e kF 1122 1122 ( ( e yy e FFMFM vv 杆端力向量） 杆端位移向量） （9.7） 9.2 单元分析（单元刚度方程） 9.2.2 平面弯曲杆件单元：矩阵形式 i l i i l i l i l i l i l i i l i i l i l i l i l i l i k e 4 6 2 6 612612 2 6 4 6 612612 22 22

10、第9章 矩阵位移法 （9.10） 单元刚度矩阵 9.2.2 平面弯曲杆件单元 9.2 单元分析（单元刚度方程） 1 2 3 4 1 2 3 4 1122vv 1 1 2 2 v v 每一列，对应单位变形时产生的杆端力 第9章 矩阵位移法 单元刚度矩阵： (1)每一列都有明确的物理意义； (2) 恒为对称矩阵； (3) 是奇异矩阵，不存在逆阵。 e k e k 反力互等定理 行列式等于零 ee F杆端力向量杆端位移向量 ee F杆端力向量杆端位移向量 无支承条件的自由杆件，在杆端力的作用下， 除了弹性变形，还有刚体运动 奇异矩阵 9.2.2 平面弯曲杆件单元 9.2 单元分析（单元刚度方程） 第

11、9章 矩阵位移法 9.2.3 一般平面杆件单元 1111 1111 T e xy Te FFFM uv （9.13） （9.14） 和 2x2y22 2222 T e Te FFFM uv （9.15） （9.16） 1 2 1 v 1x F 2x F 2 v 1 u 2 u 1 2 1 M 2 M 第9章 矩阵位移法 1 1 11 1 2 2 2 x y e e e y y F F FM F F F F M 即单元的杆端力向量和位移向量分别为 刚度矩阵可以由轴力单元的刚度矩阵平面弯曲单元的刚度矩阵直接“装 配” e e e kF（9.19） 1 1 1 1 2 2 2 2 e e e u v

12、 u v e e e kF（9.19） i l i i l i l i l i l i l i l EA l EA i l i i l i l i l i l i l i l EA l EA k e 4 6 02 6 0 612 0 612 0 0000 2 6 04 6 0 612 0 612 0 0000 22 22 （9.20） e e ee ee e e kk kk F F 2 1 2221 1211 2 1 （9.21） 将刚度矩阵分块，以便于使向量间 的层次更加分明 i l i i l i l i l i l i l i l EA l EA i l i i l i l i l i

13、l i l i l EA l EA k e 4 6 02 6 0 612 0 612 0 0000 2 6 04 6 0 612 0 612 0 0000 22 22k11ek12e k21ek22e e e i l i l i l i l EA k 4 6 0 612 0 00 2 22 e Tee i l i l i l i l EA kk 4 6 0 612 0 00 )( 2 2112 e e i l i l i l i l EA k 4 6 0 612 0 00 2 11 EA L -EA L 6EI L2 -6EI L2 4EI L 2EI L 12EI L3 -12EI L3 0

14、 0 000 0 0 0 -EA L 0000 EA L 6EI L2 0 0 0 0 6EI L2 -12EI L3 6EI L2 -6EI L2 2EI L 12EI L3 -6EI L2 4EI L -6EI L2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 例：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于 零，同时只需要获得杆端弯矩，刚度矩阵如何装配？ 1 1 1 2 2 2 u v u v 111222uvuv 处理的方法：保留刚度矩阵的第3、6行和列即可。 26 EA L -EA L 6EI L2 -6EI L2 4EI L 2EI L 12EI L3 -12EI L3 0 0

15、 000 0 0 0 -EA L 0000 EA L 6EI L2 0 0 0 0 6EI L2 -12EI L3 6EI L2 -6EI L2 2EI L 12EI L3 -6EI L2 4EI L -6EI L2 = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端 轴力，刚度矩阵如何装配？ 处理的方法：把下面刚度矩阵的第1、4行和列划掉即可！（即为平面杆件单 元）。 形成两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度 矩阵（44阶）： （平面弯曲杆件单元） 6EI L2 4EI L 12EI L3 6EI L2 -6EI L2 2EI L -12E

16、I L3 6EI L2 -12EI L3 6EI L2 -6EI L2 2EI L 12EI L3 -6EI L2 4EI L -6EI L2 = 1 2 3 4 1 2 3 4 28 EA L -EA L 6EI L2 -6EI L2 4EI L 2EI L 12EI L3 -12EI L3 0 0 000 0 0 0 -EA L 0000 EA L 6EI L2 0 0 0 0 6EI L2 -12EI L3 6EI L2 -6EI L2 2EI L 12EI L3 -6EI L2 4EI L -6EI L2 = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 同理：对于仅具有轴力杆件的单

17、元刚度矩阵，刚 度矩阵如何装配？ 处理的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6 行和列划掉即可。 第9章 矩阵位移法 9.3 整体分析（整体刚度方程） 化整为零 集零为整 结构离散化（单元及结点编号） 单元分析 整体分析 所依据的力学准则“变形协调”,. 2 );,. 1 zyx zyx 局部（单元）（ 整体（结构）坐标系（ )12; )190; c) z axij byx 轴从（）或（） 轴以 为原点将 轴顺转度 轴符合右手定则。 第9章 矩阵位移法 首先用位移法解该题 ： 2、杆端弯矩： 1、未知量： 123 121112 M42ii 211112 M24ii 232223 M42ii

18、322223 M24ii M1 M3M2 i1i2 13 2 9.3 整体分析（整体刚度方程） i1i2 13 2 3、建立方程： 1 M0 2 M0 3 M0 4、解方程得： 123 5、回代得：杆端弯矩 121 MM 11121 42Mii 21232 MMM 11122232 2(44 )2Miiii 323 MM 22233 24Mii M1 M3M2 i1i2 13 2 把以上解题过程写成矩阵形式： 1、确定未知量：可以通过编号来解决 （一个结点一个转角未知量）。 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写） 1-2杆，单元 12111 21112 M42 M24 ii ii 121112 M4

19、2ii 211112 M24ii 写成矩阵形式 1 2 1 2 M1 M3M2 i1i2 13 2 单元刚 度方程 2-3杆，单元 23222 32322 M42 M24 ii ii 232223 M42ii 322223 M24ii 写成矩阵形式 2 3 2 3 3、位移法方程： 11121 42Mii 11122232 2(44 )2Miiii 22233 24Mii 单元刚 度方程 M1 M3M2 i1i2 13 2 位移法方程写成矩阵形式： 1111 112222 2233 420M 2442M 024M ii iiii ii 整体刚度矩阵 4、解方程得： 5、回代得：杆端弯矩 123

20、 1 2 3 1 2 3 结点荷载列阵 结点位移列阵 M1 M3M2 i1i2 1 3 2 对号入座 3 2 1 )2( 2 )2( 1 )1( 2 )1( 1 1000 0110 0001 M M M M M M M 根据变形协调条件： 3 2 1 )2( 2 )2( 1 )1( 2 )1( 1 100 010 010 001 2 1 2 1 42 24 ii ii M M )2( 2 )2( 1 )1( 2 )1( 1 22 22 11 11 )2( 2 )2( 1 )1( 2 )1( 1 4200 2400 0042 0024 ii ii ii ii M M M M 根据全体结点的静力平衡条件，单元杆端力矩与结构结点荷载之间存在下 列矩阵形式表达的关系： 3 2 1 3 2 1 22 22 11 11 100 010 010 001 4200 2400 0042 0024 1000 0110 0001 M M M ii ii ii ii T T P MMMF 321