一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(20200915085456)

1、九年级教学教案（人教版）一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-16 -【课前热身】1.方程(2x 1) ( 3x+1)=x2+2化为一般形式为，其中 a=, b=, c=2.关于X的一元二次方程mX+nx+m+3m=0有一个根为零，贝U m的值等于3.关于X的一元二次方程2X +mx+ n=0的两个根为 X1=1,2X2= 2,则x+mx+n分解因式的结果2，则a的值是（）2 24. 关于X的一元二次方程 2x 3x a +1=0的一个根为A . 1 B 爲 CV35.若关于X的一元二次方程（m-2 21） X+5x+m 3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A . 1 B . 2 C【

2、参考答案】1. 5x2 X 3=0 5 1 32. 33. ( X 1) (x+2)5. D6. B【考点聚焦】知识点:元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求：.对含有字母系数1. 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围;2. 掌握韦达定理及其简单的应用;3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式;4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题【备考兵法】1考查重点与常见题型1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情

3、况,有关试题出现在选择题或填空题中，女口：关2于X的方程ax 2x + 1 = .0中，如果a0= 元二次方程ax2 + bx + C = 0(a K 0 )有两个实数根，即2. 利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中 出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如: 设xi，X2是方程2x2 6x + 3 = 0的两根，则xi2+ X22的值是()(A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33. 在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出 现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应

4、 用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相凡不满足实际问题的同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 解(虽然是原方程的解)一定要舍去.易错知识辨析:(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意:根的判别式b2 -4ac 3 0 ； 二次项系数aHO，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a H 0 )的根的判别式为X1,2 =(2)2

5、b 4ac=ou 元二次方程有.相等的实数根，即 X1 =X2 =2b -4ac0,解得k 1,即实数k的取值范围是 kv 1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得02 + 2 ( k 1 ) 0 + k2 1 = 0 ,解得k = 1或k = 1 (舍去).即当k = 1时，0就为原方程的一个根.此时，原方程变为X2 4X = 0，解得X1 = 0 , X2 = 4，所以它的另一个根是4.例2 (北京)已知下列n (n为正整数)个关于 X的一元二次方程:(1)2C 八+X 2=0(2)2+2x 3=02+ (n 1) X n=0(n)(1)请解上述一元二次方程(1), (2), (3) (n

6、)；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出 .一条即可.【分析】由具体到一般进行探究.【答案】(1) (X+1) (X 1) =0,所以 X1 = 1 , X2=1 .(x+2) (X 1) =0，所以 X1= 2,X2=1 .(X+3) (X 1) =0，所以 X1= 3,X2=1 .2 1=0(x+n) (X 1) =0，所以 X1= n, X2=1.（2）比如：共同特点是：都有一个根为1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查.例

7、3 （江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2: 1在温室内沿前侧内墙保留 3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m?【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm贝y长为2xm,根据题意，得(X 2) (2x 4) =288.解这个方程，得X1= 10 （不合题意，舍去），X2=14.所以 x=14, 2x=2X 14=28.答：当矩形温室的长为 28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288ni.1解法二：设矩形温室的长为xm,则宽为一xm.2根据题意，得（解这个方程，得1-X 2) (X 4) =288.2X

8、1= 20 (不合题意，舍去)，X2=28.所以X=28X 12x=1 X 28=14.2答：当矩形温室的长为 28m宽 为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m.【解析】在一元二次方程的应用中,列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去.【迎考精练】一、选择题2a1.（台湾）若a、b为方程式x/（x+1）=1的两根，且ab，则一=bD. 32. （2.009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程2ax +bx+c = 0(aH0)满足 a + b + c

9、 = 0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+ bx+ c = 0（aH0）是“凤凰”方程，且有A. 5两个相等的实数根，则下列结论正确的是A.a = cB. a = bc. b = cD. a = b = c3. （四川成都）若关于X的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A. k一1B.k1 且 kHO C. k3.4.解答题区 + X2 =2,1.解：（1）由题意，得_W +2冷=3 -Q.解得 X1 =1,X2 =1-J2.所以 a =X1 x2 =(1 + 72)(1 -72) =_1 .（2）法一：由题意，得X： 2捲1 =0 .所以 x：

10、 3为2 +2% +X2=片3 _2为2 -为一x： +3x1 +X2=X|2 +2x1 +1 +X1 +X2 1 =2 1 =1 .法二：由题意，得为2 =2为+1 ,32所以 x1 -3x1 +2x1 +x2= Xi (2x1 +13(2x1 +1)+2x1+x22= 2X| + 捲 一6为一3 +2捲 +x2 =2(2X| +1) 3为一3 +x2= 4xi +2 3xi 3 +x2 =Xi +冷一1 =2 1 =1 .2.解：(1) 2x2 +kx-1 =0 ,2 2A =k2 -4x2x(-1) = k2 +8 ,无论k取何值，k2 0，所以k2 +80，即A 0,2二方程2x +k

11、x -1 = 0有两个不相等的实数根.k1(2)设 2x2+kx1=0的另一个根为 X，贝y x-1=- , (1Ux=221解得：X=, k=1 ,21二2x2 +kx -1 =0的另一个根为一，k的值为1.23.解：方程X2 -4x +b =0有两个相等的实数根2 =（4） 4b=0/ b=4./ c=4. b=c=4.:. ABC为等腰三角形.4.解（1 ）易求得点C的坐标为（0, k）由题设可知 捲，x2是方程（x + m）2+k-m2 =0即X2 + 2mx +k =0的两根，故为,2 = 一亦丿（严一兰,所以 X1 + x_2m, xx k如图3,vo P与y轴的另一个交点为 D,由于AB CD是O P的两条相交弦，设它们的交点为点O连结DBOAxOBX1X2kOC |kk AO* DOC 贝U OD =yAC=1由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点 D在y轴的正半轴上,图3所以点D的坐标为（0, 1）（2）因为AB丄CD AB又恰好为O P的直径，则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为（0, -1），即k = 1 ）又AB = X2 -咅=J（X2 + x,）2 -4X2 = J（-2m）2 -4k = 2Jm2 - k = zjm2 +1 ,所以 $ ABC = ABOC =-x2j