大学物理：力学11分析力学

1、分析力学 少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之 短文，因而对分析学产生兴趣。 他写了继牛顿后又一重要经典力学着作 分析力学(1788)。书内以变分原理及 分析的方法，把完整和谐的力学体系建 立起来，使力学分析化。他于序言中更 宣称： “我在其中阐明的方法，既不 要求作图，也不要求几何的或力学的推 理，而只是一些按照一致而正规的程序 的代数(分析)运算喜欢分析的人将高兴 地看到，力学变成了它的一个新分支， 并将感激我扩大了它的领域” 17361813 法国数学家 拉格朗日 Lagrange, Joseph Louis p t maF d d pxm x T xmT d d , 2 1 2 x V

2、x T t F d d d d d d )()(),(xVxTxxL x V x L x T x L d d , d d 0 d d x L x L t x V x T td d d d d d 1维质点 拉格朗日方程拉格朗日方程 令：令：是坐标和速度的函数 0 d d x L x L t 22 2 1 2 1 )()(),(kxxmxVxTxxL xmxm tx L t )( d d d d kx x L 0kxx m 例：弹簧振子 yy xx p t F p t F d d d d )( 2 1 22 yxmT y T p x T p y x y V F y T t x V F x T t

3、 y x d d d d VTL 0 d d 0 d d y L y L t x L x L t 2维质点（直角坐标） 例：抛体 水平方向动量守恒 mgyymxmyVyxTxxL 22 2 1 2 1 )(),(),( 0 d d 0 d d y L y L t x L x L t ym y L xm x L mg y L x L 0 mgym xm 0 xm x L px 令：令：水平水平动量动量 L中不显含x，则相应的动量守恒 0 d d x L t )2( )( 2 rrmF rrmFr )( 2 1 222 rrmT rF T t mrF r T t r d d d d 2 2 mr

4、T rm r T 0 2 T mr r T rF TT t F r T r T t r d d d d 2维质点（极坐标） V QrQ rFrF FF r r rr d dd dd )d()d(d rrrF rFQ V FQ r V rr 0 d d 0 d d VTT t r V r T r T t VTL 0 d d 0 d d LL t r L r L t 广义力广义力 0 d d 0 d d LL t r L r L t 0 d d 0 L t L )( 2 1 222 rVrrmL 2 mr L p 角动量守恒 角动量角动量为常数为常数 令：令： 有心力：有心力： m M s x 设

5、设m坐标坐标 s，M坐标坐标 x 则则M速度：速度： m速度速度 水平：水平： 垂直：垂直： x cossx sin s 222 )sin()cos( 2 1 2 1 ssxmxMT sinmgsV VTL 例：斜面、木块、地面皆光滑 sin)sin()cos( 2 1 2 1 222 mgsssxmxML smxm s L smxmxM x L cos cos sin 0 mg s L x L 0 d d q L q L t 0sincos 0cos mgsmxm smxmxM 2 cos cossin mmM mg x sxq, 广义坐标广义坐标 mm O2O1 x1x2 kkk 2 2

6、2 1 2 1 2 1 xmxmT 2 12 2 2 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 xxkkxkxV VTL 例：耦合双振子 2 12 2 2 2 1 2 2 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xxkkxkxxmxmL 2 2 1 1 xm x L xm x L )( )( 122 2 121 1 xxkkx x L xxkkx x L )( )( 1222 1211 xxkkxxm xxkkxxm 0 d d q L q L t 21,x xq 2 2 2 1 2 1 2 1 xmxmT 2 12 2 2 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 xxkkxkxV 1

7、22 121 xxq xxq 2/ )( 2/ )( 212 211 qqx qqx 2 2 2 1 4 1 4 1 qmqmT 2 2 2 1 4 3 4 1 kqkqV 对角化 简正坐标简正坐标 2 2 2 1 2 2 2 1 4 3 4 1 4 1 4 1 kqkqqmqmL 2 2 1 1 2 1 2 1 qm q L qm q L 2 2 1 1 2 3 2 1 kq q L kq q L 22 11 3kqqm kqqm mk mk 3/ / 2 1 0 d d q L q L t s x 设设m坐标坐标 s，M坐标坐标 x 2222 2 1 )sin()cos( 2 1 2 1

8、IssxmxMT sinmgsV VTL M m sr纯滚动条件：纯滚动条件： 2 2 22 4 1 2 1 2 1 2 1 sm r s mrI 例：斜面、圆柱 (r) 纯滚动、地面光滑 则则M速度：速度： m速度速度 水平：水平： 垂直：垂直： x cossx sin s sin 4 1 )sin()cos( 2 1 2 1 2222 mgssmssxmxML smxm s L smxmxM x L 2 3 cos cos sin 0 mg s L x L 0 d d q L q L t 0sin 2 3 cos 0cos mgsmxm smxmxM 2 cos233 cossin2 mm

9、M mg x 哈密顿自幼聪明，被称为神童他三岁 能读英语，会算术；五岁能译拉丁语、 希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗； 九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地 语14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使 宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风 头 1834年，哈密顿发表了历史性论文“一 种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过 程中的新里程碑 哈密顿量是现代物理最重要的量，当我哈密顿量是现代物理最重要的量，当我 们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。 1805-1865 爱尔兰数学家 哈密顿 Hamilton，W

10、illiam Rowan 哈密顿原理 最小作用量原理 d d为变分符号，是为变分符号，是d的推广的推广 0S 在可能的各种运动中，实际运动作用量取极小决定论决定论 2 1 d),( t t ttqqLS其中其中S为作用量为作用量 实际实际 假想假想 t q )(tq 1 t 2 t 定性说明：（自由落体） 1、开始落得慢些，然后逐步增加速度； 2、开始落快一些，然后再逐步慢下来。 作用量是动能减势能并对经历作累加。 在势能大的地方花的时间多会有好处。 因此1过程作用量更小 最速落径问题 gyv2 x t y t yx yxvd d 1 d dd 2 22 22 x gy y td 2 1 d

11、2 x y OA B B A x x x gy y xyJd 2 1 )( 2 初速度为初速度为0的质点在重力作用下，沿的质点在重力作用下，沿 着某根竖直平面内最快通过连接两个着某根竖直平面内最快通过连接两个 定点定点 A, B的曲线的曲线 0)(dxyJ最快：最快：需耗时：需耗时： 变分 d d为变分符号，是为变分符号，是d的推广的推广 在端点处因被固定，在端点处因被固定， 因此变分为因此变分为0 0 d d分析函数分析函数 y 带来的变化，不考虑自变量带来的变化，不考虑自变量 x 的变的变 化引起的改变化引起的改变 x y y A x B x xxx d yy d yy d 0dx 0)(

12、)(dd BA xyxy 变分和求导可交换变分和求导可交换 dd xxd d d d )d()d( )( d)( yyyy yyyy d dd yydddd 欧拉方程 0d),()(dd B A x x xxyyfxyJ d d d B A B A x x x x xy y f y y f xxyyfdd),( y y f y y f x y xy f y y f x y y f x d d d d d d d )( d d d d d d d d d d B A B A x x x x xy y f x y y f x y y f xxyyfd d d d d d),( d d d d d

13、d B A B A B A x x A B x x x x xy y f y f xx x y y f xy y f x y y f x y y f xxyyf d d d d d d d d d),( 0d A B x x y y f 0)(),( BA xyxy由于端点固定 0d d d d B A x x xy y f y f x y由于 任意变化 y所以 前的系数 = 0 0 d d y f y f x 初积分 ),(yyf x y y f x y y f x f d d d d d d 若若 f 中不含中不含 x 0 d d y f y f x y f y xy f x y xx y

14、 y f x y y f xx f d d d d d d d d d d d d d d 0 d d f y f y x 为常数为常数 f y f y 能量守恒 最速落径问题 B A x x x gy y xyJd 2 1 )( 2 gy y f 2 1 2 为常数为常数 f y f y 1 2 )1 (Cyy 设设ycot)2cos1 ( 2cot1 1 2 1 C C y C y y xdsin2 d d 2 1 2 1 )2sin2( 2 C C x 旋轮线 映射到力学 dd B A x x xxyyfxyJd),()( 2 1 d),()( t t ttqqLtqS yqyq xtf

15、L 00dxt 0)()(0)()( 21 dddd BA xyxytqtq dddd xxttd d d d d d d d 0 d d y f y f x 0 d d q L q L t 能量积分 0 d d f y f y x 为常数为常数 f y f y 0 d d L q L q t q L p 0 d d Lpq t 若若L不显含时间不显含时间 Lpq 即为能量即为能量 时间的均匀性导致能量守恒时间的均匀性导致能量守恒 例：弹簧振子 22 2 1 2 1 )()(),(kxxmxVxTxxL xm x L p 2 2 1 , 1 p m Tp m x 222 2 1 2 11 kx

16、p m p m Lxp 22 2 1 2 1 kxp m EVT 从哈密顿原理导出拉格朗日方程 0)d,( 2 1 t t tqqLS tq q L q q L S t t d 2 1 q q L q q L t q q L t d d d d tq q L t q q L t q q L S t t d d d d d 2 1 分部积分 0d d d 1 2 2 1 t t q q L tq q L t t t 0)(),( 21 tqtq由于端点固定 0d d d 2 1 tq q L tq L S t t q由于 任意变化，且互相独立 0 d d q L tq L q所以 前的系数 =

17、0 0 d d q L tq L 拉格朗日力学 s,.,2 , 1 s 为自由度为自由度 广义坐标： q 广义速度： q 广义动量： q L p 循环坐标： L不显含的广义坐标 不显含的广义坐标 广义动量守恒：对应于循环坐标的广义动量守恒对应于循环坐标的广义动量守恒 勒让德变换 ),(yxff yx, 为独立变量为独立变量 yvxufddd y f v x f u , 其中其中 如把如把 x, v 作作为独立变量为独立变量),( ),(vxuuvxyy 令令 fvyg yvxuyvvyfvygddddd)(dd x g u v g y , 其中其中 xuvygddd ),(),(vxgyxf

18、哈密顿函数 ),( qqLL p q L tq L p q L d d ),(yxff x f u y f v qpqp q q L q q L L dd ddd yvxufddd LqpH fvyg pu pv qy qx 哈密顿正则方程 xuvygddd qppqHddd pu pv qy qx x g u v g y q H p p H q 一阶一阶反对称微分方程组反对称微分方程组 例：弹簧振子 22 2 1 2 1 )()(),(kxxmxVxTxxL xm x L p 2 2 1 , 1 p m Tp m x 222 2 1 2 11 ),( kxp m p m LxppxH 22 2 1 2 1 kxp m H VTH q H p p H q kx x H p m p p H x 从哈密顿原理导出哈密顿正则方程 LqpH 0d 2 1 tHqpS t t 0d 2 1 t t tLS tHqpS t t d)( 2 1 tq q H p p H qppqS t t d 2 1 qpqpqp t )( d d tq q H p p H qpqp t pqS t t d)( d d 2 1 0d )( d d 1 2 2 1 t t qptqp t t t 由于端点固定 tq q H pp p H qS t t d 2