解析几何_向量的线性关系与向量的分解PPT

1、第一章 向量与坐标 1.1 向量的概念 1.2 向量的加法 1.3 数量乘向量 1.4 向量的线性 关系与分解 1.5 标架与坐标 1.6 向量在轴上的射影 1.7 两向量的数量积 1.8 两向量的向量积 1.9 三向量的混合积 1.10 三向量的双重向量积 1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 定义1.4.1 由 与实数 所组成的向量 叫做 的线性组合.(也称向量 可以用向量 线性表示,或 可以分解成 的线性组合.) 12 , n a aa 12 , n 1122nn aaaa 12 , n a aa a 12 , n a aa a 12 , n a aa 定

2、理1.4.1 如果向量 , 则 与 共线的充分必要条件是 可以用 向量 线性表示,或者说 是 的线性组合,即 并且系数 被 惟一确定. 这时 称为用线性组合来表示共线向量的基底. 0e r e r e r e .rxe x , r e e 必要性 若 与 共线,当 同向时,取 ;当 反向时,取 ,则有 r (0)e , r e | | | | r x e , r e | | | | r x e .rxe 下证 惟一.如果 ,则 ,即 ,但 ,则 .即 x rxex e 0 xex e ()0 xx e 0e 0 xx .xx 证明: 充分性 若 ,则由数乘的定义可知 与 共线. r e rxe

3、 定理1.4.2 如果向量 不共线, 则向量 与 共面的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,即 并且系数 被 唯一确定. 这时 叫做平面上向量的基底. 12 ,e e r r 12 ,e e 12 rxeye , x y 12 ,e e r 12 ,e e 12 ,e e 证明: 因为 不共线,所以 . 12 ,e e 12 0,0ee 共线,则有 (或 ). 1 rxe 2 rye 只要取 (或 0y ),则有 . 0 x 12 rxeye 若 与 都不共线, r 12 ,e e 把 归结到共同始点 ,并设 12 , ,r e e (1,2), ii OEe i O .OPr 过点 作 ,

4、 分别交 P 12 / /,/ /PBOE PAOE 所在直线于 两点., A B 必要性 若 与 共面,若 与 (或 ) r r 1 e 2 e 12 ,e e 1 e OA B P 1 E 2 E 2 e r 12. rOPOAOBxeye 充分性 若 , 12 rxeye 当 时,例如 ,则有 与 共线, 0 xy 0 x 2 rye 2 e 所以 共面. 12 , ,r e e 当 时,则 , 0 xy 1122 / / ,/ /xee yee 即 平行 确定之平面.而 , 12 ,e e 12 ,xe ye 12 rxeye 所以 共面. 12 , ,r e e 由于 与 共线, 与

5、 共线,则由定理1.4.1有 2, OBye 1. OAxe OB 2 e OA 1 e 下证 惟一.如果 ,则 .若 ,则有 由定理1.4.1可知 共线,矛盾. 同理有 . , x y 1212 rxeyex ey e 12 ()()0 xx eyy e xx 12 . yy ee xx yy 12 ,e e 定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么空间任意向量 可以由向量 线性表示,或说空间任意向量 可以分解成向量 的线性组合， 即 并且其中系数 被 唯一确定. 这时 叫做空间向量的基底. 123 ,e e e r 123 ,e e e r 123. rxeyeze , ,x y z 12

6、3 ,e e e r 123 ,e e e 123 ,e e e 证明: 因为 不共面,则由定义1.1.5知 ,且它们彼此不共线. 123 ,e e e 0(1,2,3) i ei 如果 和 之中的两个向量共面, 例如 ,则由定理1.4.2 有 ,则结论成立. r 123 ,e e e 12 ,e e 123 0rxeyee 如果 和 中任意两个都不共面. 将 归结为到共同始点 ,并设 , r 123 ,e e e 123 , ,r e e e OPr O 相交于 三点,如图. ,过 的终点作三平面分别与 平面 平行,且分别和 直线 (1,2,3) ii OEe i r 1, OE 23311

7、2 ,OE E OE E OE E 23 ,OE OE, ,A B C .OPOAOBOC 23 ,OBye OCze 1 e O A B C P 1 E 2 E 3 E 2 e 3 e r 123. rxeyeze 所以有 1, OAxe 再由定理1.4.1,有 则有 下证 被 唯一确定.若 则 .如果 ,则 则由定理1.4.2可知 共面,故 . 同理可得 , ,x y z 123123 .rxeyezex ey ez e 123 ()()()0 xx eyy ezz e xx 123 yyzz eee xxxx 123 ,e e e xx ,.yy zz 123 ,e e e r 例1 已

8、知 , , 分别是两边 上的点,且有 , .设 与 交于,如图.试把向量 分解成 的线性组合. OAB,OAa OBb ,M N ,OA OB OMa ONb (01) (01) AN BM OPp , a b A O B N M P p a b A O B N M P p a b ()(),MPmMBm OBOMm ba ()(),NPnNAn OAONn ab ()(1),pam bam amb ()(1) .pbn abnan b 解: 因为 ,pOMMP ,pONNP ,OMa ,ONb 而 因为 不共线,由定理1.4.2,有 , a b (1) (1) mm mn (1) 1 (1)

9、 1 m n (1)(1) (1), 11 pab 即 (1)(1) ). 11 pab 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分. 解: 设四面体 一组对边 的中点 的连线为 , 它的中 点为 ,其余两组对边中点分 别为 ,下只需证三 点重合就可以了. ABCD,AB CD ,E FEF 1 P 23 ,P P A B C D E F 1 P 取不共面的三向量 , 下证 重合. 123 ,ABe ACe ADe 123 ,AP AP AP A B C D E F 1 P 1 1 (). 2 APAFAE 又 为 中点,则有 FCD 23 11 ()(). 22 AFACADee 连

10、接 ,由于 为 的中点,则有 1 PEFAF A B C D E F 1 P 而 ,所以 1 11 22 AEABe 1 1 () 2 APAFAE 231 1 11 ( () 2 22 eee 123 1 () 4 eee (2,3)i 123 1 () 4 i APeee 同理可得 所以, 重合. 123 ,P P P 定义1.4.2 对于 个向量 , 如果存在不全为零的 个数 使得 那么 个向量 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性 无关.即线性无关就指:只有当 时,上式成立. (1)n n 12 , n a aa n 12 , n 1122 0. nn aaa n 12 , n a

11、 aa 12 0 n 0.a 推论 一个向量 线性相关 a 定理1.4.4 在 时,向量 线性相关的充要条件是其中有一个 向量是其余向量的线性组合. 2n 12 , n a aa 证明: 必要性 设 线性相关, 则 12 , n a aa 存在不全为0的 ,使得 (1,2,) i in 1122 0. nn aaa 因为 不全为0,不妨设 , 则 (1,2,) i in0 n 充分性 设 中有一个向量是其 (1,2,) i a in 112 121 1 . n nn nnn aaaa 设这个向量为 ,即 n a 112211 , nnn aaaa 因为 ,所以 线性相关. 10 12 , n

12、a aa 112211 ( 1)0. nnn aaaa 则 余向量的线性组合. 定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组 向量就线性相关. 证明: 设有一组向量 ,其中一部分,如 线性相关,即 存在不全为0的 ,使得 则 12 ,() sr a aaa sr 12 , s a aa (1,2,) i is 1122 0. ss aaa 11221 000. sssr aaaaa 其中 不全为0,所以 线性相关. (1,2,) i is 12 , sr a aaa 定理1.4.6 两向量共线 它们线性相关. 证明: 充分性 设 线性相关, 则存在不 , a b 全为0的 ,使

13、得 . , 0ab 不妨设 , 0 推论 一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性相关. 则 .如果 ,由定理1.4.1知, 共线.若 ,则 共线. ab 0b , a b 0b , a b 必要性 设 共线,若 ,则任取 ,有 ,即 线性相关.若 , 由 定理1.4.1,存在 ,使 ,即 , 所以 线性相关. , a b 0b 0 00ab , a b 0b ab 10ab , a b 定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关. 证明: 必要性 设 共面,由定理1.4.2, , ,a b c 存在 ,使得 ,即 . , x y axbyc 0axbyc 以 线性相关. , ,a b c

14、充分性 设 线性相关,则存在不全为0 , ,a b c 不全为0,不妨设 ,则有 . 1 0 32 11 abc 由定理1.4.2知 共面. , ,a b c 所 的 ,使得 . 123 , 123 0abc 123 , 由于 定理1.4.8 空间任何四个向量总线性相关. 证明: 设空间任意四向量 ,若 , , ,a b c d , ,a b c 共面,由定理1.4.7知 线性相关, , ,a b c 理1.4.5知 线性相关. , , ,a b c d 若 不共面, , ,a b c 由定理1.4.3可设 , 123 dabc 1.4.4知 线性相关. , , ,a b c d 推论 空间四

15、个以上向量总是线性相关. 再由定 再由定理 例3 设 ,试证三点 共线的充要条件是存在不全为0的 实数 使得 且 (1,2,3) ii OPr i 123 ,P P P 123 , 1 12 23 3 0rrr 123 0. O 1 P 2 P 3 P 1 r 2 r 3 r 证明: 必要性 设 共线,则 共线,由定 理1.4.6知 线性相关, 123 ,P P P 1223 ,PP P P 1223 ,PP P P 即存在不全为0的 ,使得 ,m n O 1 P 2 P 3 P 1 r 2 r 3 r 1323 0mPPnP P 即 .可得 3132 ()()0m rrn rr 123 ()0.mrnrmn r 令 , 即有 不全 123 ,()mnmn 123 , 为0,使 且 . 1 12 23 3 0rrr 123 0 不妨设 ,代入整理得 312 ()0 充分性 设有不全为0的 ,使 123 , 131232 ()()0.rrrr 即 . 113223 0PPP P 可知 不全为0, 12 , 共线,即 共线. 123 ,P P P O 1 P 2 P 3 P 1 r 2 r