数学史课件第二章中国数学历史发展概况

1、2021/3/10授课：XXX1 社会历史背景条件 相对封闭的疆域 大河背景下的农耕文化 集中的王权 中国数学的特点 形成了以计算为核心的算法理论 具有浓郁应用色彩 中国数学的成就 第一部数学著作九章算术（大约公元前二百年 左右） 公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的 众多数学成果,形成国家数学教育的体制 2021/3/10授课：XXX2 2.1周易周易与中国传统数学与中国传统数学 周易周易是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期 , ,在古代在古代 中国众多的儒、道典籍中，中国众多的儒、道典籍中，周易周易是包含数学内容最丰富的著作。是包含数

2、学内容最丰富的著作。 “ “卜卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中 国人常用龟甲和兽骨为国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。占卜工具。“筮筮”是按一定规则得到特定的数是按一定规则得到特定的数 字，并用它来预测事情的吉凶字，并用它来预测事情的吉凶 , , “筮筮”字由字由“竹竹”字和字和“巫巫”字构成。字构成。 后来改用蓍草后来改用蓍草,“,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。” 周易周易由由易经易经和和易传易传两部分组成两部分组成。自汉代开始，许多自汉代开始，许多 算学家都热衷于将算法与

3、算学家都热衷于将算法与周易周易相联系。刘徽在相联系。刘徽在九章算术注九章算术注的的 序中就写道：序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。 作九九之术，以合六爻之变。作九九之术，以合六爻之变。” 2021/3/10授课：XXX3 易经易经中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“”与与“”表示阳表示阳 爻和阴爻爻和阴爻 。构成构成八卦、六十四别卦八卦、六十四别卦 研究认为，研究认为，周易周易中爻的符号中爻的符号“”、“”是由数字或数表演进而是由数字或数表演进而 来的。理由是：来的。理由是： 其一，卦辞中

4、，当对卦画进行解释时，总是用数其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九九”和和“六六”分别分别 表示阳爻和阴爻。表示阳爻和阴爻。 其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字） 组成的数表组成的数表 ，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用 的趋势。大约在周初（约公元前的趋势。大约在周初（约公元前10661066），就只有一和六这两个数字了。），就只有一和六这两个数字了。 学者认为：用数字表示占卜的结果，数学者认为：用数字表示占卜的结果，数“

5、一一”表示奇数，读数九的音；表示奇数，读数九的音； 数数“六六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“”，这样数，这样数“一一” 与与“”就具有爻的形象了。以后就具有爻的形象了。以后“”字形逐渐变平，最后一分为二，成字形逐渐变平，最后一分为二，成 为阴爻为阴爻“”的表示形式。的表示形式。 2.1.1 2.1.1 从数从数( (表表) )演进为爻演进为爻 2021/3/10授课：XXX4 四盘磨卜骨上的字符四盘磨卜骨上的字符 太极八卦图太极八卦图 2021/3/10授课：XXX5 2.1.2 2.1.2 周易周易揲法揲法大衍演算大衍演算 周易中占筮确定取爻

6、的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得 一卦”。朱熹（11301200）对揲法的解说如下： （1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算 的是49根； （2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取 出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三 才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”， （象征春夏秋冬四时）； （4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手 指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）； （5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的 蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根

7、，完成了“第一变”。 2021/3/10授课：XXX6 将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二 变的计算，操作方法仿上述（2）（5），此时“归奇”的蓍数仍然 是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下 蓍策的根数或36，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第 三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴， 七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。 让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。 2021/3/10授课：XXX7 “数学”一词相当于我国古代的“算术” 数学一词，在中国最早出现在12

8、世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他 指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。 算筹 中国古人称数学为算学 2021/3/10授课：XXX8 2.1.3 2.1.3 组合数学的思想组合数学的思想洛书与河洛书与河 图图 宋代的九宫格宋代的九宫格 明代的洛书明代的洛书 2021/3/10授课：XXX9 河图的解释，在历史上有多种说法。其中 尚书中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙河图，八卦；伏羲王天下，龙 马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。” 图中每个阳、阴爻分别代表数9与 数6，其中数字的配置依照“九六”说， 是一种均衡的数字配置。在八卦

9、中，相对 称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。 它与洛书中1至9的数字之和相同 “易有太极，是生两仪，两 易有太极，是生两仪，两 仪生四象，四象生八卦。仪生四象，四象生八卦。” 2021/3/10授课：XXX10 明代邵雍的易图数学结构 2021/3/10授课：XXX11 儒家以儒家以“九数九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以 周易周易象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有 一定的抽象性和思辨性，以一定的抽象性和思辨性，以墨经墨经的逻辑学为其论说的工具。的逻辑学为其论说的工具。 孔子

10、（前孔子（前551551前前479479）的）的“六艺六艺”中的中的“周官九数周官九数”（方田、粟（方田、粟 米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要 ）是）是九章九章 算术算术的雏形的雏形 墨子（前墨子（前468468前前376376）的抽象概念和逻辑知识：）的抽象概念和逻辑知识： 三个逻辑方法三个逻辑方法:“:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取， 以类予以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的 定义、定理和证明。对几何中的几何形状

11、、几何性质、空间关系提定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提 出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。 惠施（约前惠施（约前370370前前318318）对无穷性质的认识）对无穷性质的认识 ：“一尺之棰，日取一尺之棰，日取 其半，万世不竭其半，万世不竭” ” ；“镟矢之疾有不行不止之时镟矢之疾有不行不止之时”。 2.2 2.2 先秦显学中的数学思想先秦显学中的数学思想 2021/3/10授课：XXX12 公元公元1世纪至世纪至8世纪初，改变了先前只追求算法、不研世纪初，改变了先前只追求算法、不研 究算理的学风，开始给出概念的定

12、义，进行推理论证，取究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取 得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家 2.3.1 2.3.1 刘徽与刘徽与九章算术注九章算术注 西汉年间，中国有了专门的数学著作：西汉年间，中国有了专门的数学著作：许商算许商算 术术、杜忠算术杜忠算术、算数书算数书和和九章算术九章算术，其，其 中前两部著作早已失传。中前两部著作早已失传。 算数书算数书，1984年从湖北张家山古年从湖北张家山古墓中发掘出土的。墓中发掘出土的。据考证，算据考证，算 数书数书是公元前是公元前206年前年前179年的一部数学著作，它以实际

13、应用问年的一部数学著作，它以实际应用问 题的形式编纂题的形式编纂 。 2.3 2.3 中国传统数学理论的研究中国传统数学理论的研究 2021/3/10授课：XXX13 九章算术九章算术 是中国古代的一本传世数学名著，是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统一直作为中国传统 数学的代表作，数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于现在传世的是三国时代刘徽于263263年完成的注释本。年完成的注释本。 刘徽布衣出身，生平不详。从他的刘徽布衣出身，生平不详。从他的九章算术注九章算术注自序中可以知道：自序中可以知道： 他早年系统地学习过他早年系统地学习过九章算术九章算术，并以，并以“注注”的形式将

14、其研究成果的形式将其研究成果 记载下来，完成了记载下来，完成了九章算术注九章算术注。 九章算术九章算术成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经 过过北汉平侯北汉平侯张苍（约前张苍（约前200200年）和大司农中丞耿寿昌（约前年）和大司农中丞耿寿昌（约前5050年）的年）的 整理。整理。 2021/3/10授课：XXX14 第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积） 第二章粟米（粮食交易的计算方法）第二章粟米（粮食交易的计算方法） 第三章衰分（比例分配）第三章衰分（比例分配） 第四章少广（开平方与开立方）第

15、四章少广（开平方与开立方） 第五章商功（体积计算）第五章商功（体积计算） 第六章均输（运输中的均匀负担）第六章均输（运输中的均匀负担） 第七章盈不足（盈亏类问题计算）第七章盈不足（盈亏类问题计算） 第八章方程（一次方程组解法与正负数）第八章方程（一次方程组解法与正负数） 第九章勾股（勾股定理的应用）第九章勾股（勾股定理的应用） 全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解 法的考察，最后给出法的考察，最后给出“术术”。全书共有。全书共有202202个个“术术”。术，是一类问。术，是一类问 题的一般算法描述，它是研究中国传统

16、数学成果的主要依据题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据 九章算术九章算术是以应用问题集的形式表述，一共收入是以应用问题集的形式表述，一共收入246246个问个问 题。题。九章算术九章算术把把246246个问题分为九章：个问题分为九章： 2021/3/10授课：XXX15 明代刊印的九章算术注 九章算术九章算术标志着中国传统标志着中国传统 数学的知识体系已初步形成。数学的知识体系已初步形成。 代表了中国传统数学体系和思想代表了中国传统数学体系和思想 方法的特点：方法的特点：注重实际问题的数注重实际问题的数 值计算方法，缺少抽象的理论和值计算方法，缺少抽象的理论和 逻辑系统性，使用

17、算筹，形成世逻辑系统性，使用算筹，形成世 界上独有的计算工具和程序化计界上独有的计算工具和程序化计 算方法算方法 九章算术九章算术的内容是由周代的的内容是由周代的“九九 数数”发展而来的。发展而来的。刘徽称：刘徽称：“周公制周公制 礼而有九数，九数之流则礼而有九数，九数之流则九章九章是是 矣矣”。 2021/3/10授课：XXX16 九章算术注九章算术注对数学方法的贡献对数学方法的贡献 开始了其独特的推理论证的尝试。开始了其独特的推理论证的尝试。 “ “析理以辞，解析理以辞，解 体用图。体用图。” ” 创立了创立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆割圆 术术”，上首次将极限

18、概念用于近似计算；引入十进制小，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小 数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽 然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测 量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出 发，运用逻辑手段推导出结果的方法发，运用逻辑手段推导出结果的方法 。提出。提出“审辨名审辨名 分分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九九 章算术注章算术注丰富了丰富了九章算术九章算术

19、的数学成果，主要表现的数学成果，主要表现 在算术、代数和几何诸方面。在算术、代数和几何诸方面。 诸如，诸如，割圆术与徽率割圆术与徽率“割割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 合体而无所失矣。合体而无所失矣。” 2021/3/10授课：XXX17 设圆面积为设圆面积为S S0 0、半径为、半径为 r r、 圆内接正圆内接正n n边形边长为边形边长为 l ln n 、 、 周长为周长为 L Ln n、面积为、面积为 S Sn n 。将 。将 边数加倍后边数加倍后, ,得到圆内接正得到圆内接正 2 2n n边形，其边长、周长、面边形，其

20、边长、周长、面 积分别记为积分别记为 l l2n 2n , L , L2n 2n , S , S 2n 2n 。 。 刘徽首先指出，由刘徽首先指出，由 l ln n 及勾 及勾 股定理可求出股定理可求出 l l2n 2n 其次知道了圆内接正其次知道了圆内接正n n 边形的周长边形的周长 L Ln n，又可求得正，又可求得正2 2n n边形边形 的面积，如果在圆内接的面积，如果在圆内接n n边形的每边上作一高为边形的每边上作一高为CDCD的矩形，就可以的矩形，就可以 证明刘徽不等式：证明刘徽不等式： S S2 2n n S S0 0 S S2 2n n + ( + ( S S2 2n nS Sn

21、 n ). ). 割圆术的基本原理割圆术的基本原理 2021/3/10授课：XXX18 从圆内接正六边形出发，取半径从圆内接正六边形出发，取半径r为为 1尺，一直计算到尺，一直计算到192边形，得出圆周边形，得出圆周 率的近似值率的近似值3.14，化成分数为，化成分数为 157/50，这就是有名的，这就是有名的“徽率徽率” 2021/3/10授课：XXX19 2.3.2 2.3.2 祖率与祖暅原理祖率与祖暅原理 祖冲之（祖冲之（429500429500） 与祖率与祖率 据随书律历志记载，祖冲之求得的 值的取值范围为3.141592 3.1415927 .（并称 为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆

22、术得到上述结果，需要 从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至 24576边形 2021/3/10授课：XXX20 用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之 比恒为：4，于是由刘徽原理立即得到 V V球 球: :V V牟牟= =：4 4 即即 V V球 球= = （/4/4） V V牟 牟。 。 祖暅原理祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式与球体积公式 刘徽原理与“牟合方盖” 2021/3/10授课：XXX21 “小方盖差小方盖差” ” 与球体积公式与球体积公式 左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形 的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定

23、理得a2 = r2 h2;这正是截平面PQRS的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2 =h2， 右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也 是h2 根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。 2021/3/10授课：XXX22 内插法内插法：已知 f ( x ) 在 xi a,b（i=1,2,n） 的值为 ，那么通过 及适当公式，计算y = f ( x ) 在 a,b内其他一些点的函数值。如果xi + 1 xi为定数，这 时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。 )( i xf )( i xf 历法编制中

24、的内插法历法编制中的内插法 最早求影长的一次内插公式（约公元前2世纪 ）： f (n)=f (a) + n， 其中， f (n)是夏至之后的第个节气的影长， 。分)( 6 1 99)()( 12 1 afbf f (a) = 160分，f (b) = 1350分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长， 2.3.3 2.3.3 内插法与天文历法内插法与天文历法 2021/3/10授课：XXX23 乾象历（206年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。 公元570年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的 时间要比秋分到春分的时间长，进而证明了太阳“视运动”的速度 是不均匀的 隋朝刘焯（544

25、610）的皇极历提出了等间距二次内插法公式： f (nl + s) = f ( nl ) + + (12) (12) 张遂(683727) 的大衍历创造了不等间距二次内插法公式： f (t + s) = f ( t ) + s +s 其中，l1、l2分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等 l s 2 21 l s 2 2 2l s 21 21 ll 2 2 1 1 ll 2 2 1 1 21 2 llll s 2021/3/10授课：XXX24 “算经十书”记载的中国传统数学成就 周髀算经（约公元前240年至公元前156年）与商高（陈子） 定理 “周髀”是测量日影的工具八尺长竿 全书由三

26、部分组成： 第一部分共264个字，记述了周公与大夫商高的问答记录。提 到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知 道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。 第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般 陈述形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开 方除之，得邪至日。” 第三部分是讲计算问题的，有“术”13条，书写形式和内容与 九章算术基本一致。 2.3.4 2.3.4 明算学与明算学与“算经十书算经十书” 隋唐时期的数学教育制度 明算学明算学 2021/3/10授课：XXX25 “孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七 七除之余二，问物几何？”

27、孙子问题相当于求解一次同余式组 这个问题源于历法编算中的求上元积年问题 其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团 圆正半月，除百零五便得知。. 计算过程为：N=702+213+1522105. 显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法： 由题设，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去 乘70、21和15，再相加即得 2332（mod 3）3（mod 5）2（mod 7） 求出这个同余组的最小整数解N=23， 孙子算经（约公元4世纪）与“孙子问题” 2021/3/10授课：XXX26 张邱建算经（约公元五世纪）与“百鸡问题” “今有鸡翁一，

28、直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。 凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。” 给出三组答案： 张邱建算经的应用领域较九章算术有了新的发展，其 主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容 缉古算经（公元600多年）与“带从开方法” 对当时的土木工程中出现的数学问题的研究和总结，在一些体 积计算中隐含了求解三次方程的“带从开方法” 。虽然由于解法过 程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书 在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首 次。 2021/3/10授课：XXX27 2.4.1 2.4.1 杨辉三角与杨辉三角与 增乘开方法增乘开方法

29、 杨辉（约13世纪后 期）在详解九章算 法中记载了北宋人 贾宪的一张“开方作 法本源图”（1050） 现今称为杨辉三角的 “贾宪三角”。在西 方它被又称为帕斯卡 三角（1655年） 2.4 2.4 中国传统数学发展的顶峰（中国传统数学发展的顶峰（900900年到年到13681368年年 ） 创造出许多具有世界 历史意义的成就 数学家辈出 数学著作涌现 2021/3/10授课：XXX28 若A开平方的首商、次商分别为a,b,则有 A=a2+B=a2+2ab+b2 则B=Aa2=2ab+b2=(2a+b)b 继而用2a+b试除B,且若B(2ab+b2)=0,则开方完成；否 则再继续试第三位商，。

30、这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过 程简述如下: 借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法 2021/3/10授课：XXX29 a * a a b* b b 商 实 法 A A B= * B B B Bb(2a+b)* a * a* 2a* 2a 2a+b* 2a+b 借算 1 1 1 1 1 1 1 将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由1组成， 称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是1，称为偶算，它们是a的 各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法 增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代 通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。 增

31、乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到这一 点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。 12世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再 像以往那样要求首项系数为1。 2021/3/10授课：XXX30 “大衍求一术” 为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数ri， 即 a i = q1 gi + r1, 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：当rn=1且n为

32、偶数时，则最后所得cn 就是乘率ki；当rn=1，且n 为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-11，那么余数rn+1仍为1，再做 cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时， 整个计算结束 2.4.2 2.4.2 秦九韶与中国剩余定理秦九韶与中国剩余定理 秦九韶（12021261）与数书九章 高次方程数值解法“正负开方术”（开10次方的问题） 一次同余组解法“大衍总数术”（“衍”同“演” ） 2021/3/10授课：XXX31 元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算 法天元术（李冶 ）与四元术

33、（朱世杰 ）高阶等差级数和公式 沈括（约10311095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式 数列： 22，32，42，52，62，（1） 该数列相邻项之差依次为 5，7，9，11 ， （2） 显然（2）是一个公差为2的 等差数列。今天（1）式被称 为一个二阶等差数列 杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”： 2.4.3 2.4.3 方程与级数的研究方程与级数的研究 2021/3/10授课：XXX32 廉数是斜行上数的和 上一斜行各数之和，等于下行 短线所指的一个数 左边第二斜行为1，2，3，4， 5，6，7，8 ，是公差为1一阶等差 数列，它的前n项和（“茭草垛” 公式） 左边第三斜行为1，3，6，10，15， 21，28，是二阶