2014年湖南文

1、一、选择题（共10小题；共50分） 1.设命题 ，则 A. C. 2.已知集合 A. 2014年湖南文 B. D. ，则 B. 第3页（共8页） D. A. B. C. D. 4.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 A. B. C. D. 5.在区间 上随机选取一个数 ，则 的概率为 A.- B.- C.- D.- 6.若圆 与圆 A. B. 外切，则 C. D. 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的属于 C. D. C. 3.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不 ，则 同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 8

2、. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球 的半径等于 3 側视图 正视圏 jf 12 A. B. C. D. 9.若 ，则 A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中, 为原点, ，动点 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共 5小题；共25 分） 11.复数一（为虚数单位）的实部等于 12.在平面直角坐标系中，曲线 为参数）的普通方程为 13.若变量满足约束条件 的最大值为 14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 且斜率为的直线，则 接触不到过点 的距离和到直线 的取值范围是 的距离相等.若机器人 15.若 是

3、偶函数，则 三、解答题（共6小题；共 78分) 16.已知数列 的前 项和 （1）求数列 (2)设 的通项公式； ，求数列 的前 项和. 17.某企业有甲、 产品的结果如下: 乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新 （ 第3页（共8页） left ( a , bright), left( a, overline b right), left ( a, b right), left (overline a, b right), left ( overline a , overline b right), left ( a, b right), left (a ,b

4、 right ), left ( a ,overline b right ), left ( overlinea ,b right), left ( a ,overline b right), left ( overline a , overline b right), left ( a , b right), left ( a , overline b right), left (overline a , b right ), left ( a , b right ) 其中，分别表示甲组研发成 功和失败；，分别表示乙组研发成功和失败. (1) 若某组成功研发一种新产品，则给该组记分，否则记分

5、，试计算甲、乙两组研发新产 品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； (2) 若该企业安排甲、 ，垂足为 19.如图，在平面四边形 中， 乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率. ，菱形 在面 内, 两点在棱 上, (1) 求 (2) 求 的值; 的长. 20.如图, 为坐标原点，双曲线 和椭圆 均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 的正方形. 交于 ?证明你的结论. 两点，与 只有一个公共点，且 21.已知函数 （1）求 的单调区间; （2）记 为 的从小到大的第 个零点，证明：对一切 ，有一 第一部分 1. B2. C 6. C7. D

6、 3. 8. 4. A 9. C 5. B 10. D 第二部分 11. 12. 13. 14. 15. 第三部分 16. (1)当 时, 可得 答案 (a_1 = S_1 = 1 S_n - S_n - 1 = dfrac门人2 + n 2 - dfracleft )检验知，时也符合. 的通项公式为. ) 当 (n - 1 right 时，可得 )尸2 + left ( ( a_n= n - 1 right) 故数列 (2) 项和为 由(1)可得(b_ n = 25 + left ，则( T_2n = left )记数列 (2人1 + 2人2 + cdots + 2人2 n right) (

7、 - 1 right ) 的前 -3 + 4 - cdots + 2n right ) 记 + left ( - 1 + 2 ，则 (beginsplit A ) 方差 dfrac115left left ( 1 - dfrac23 right )尸2 times 10 + left )乙组研发新产品的成绩为 1, 0, 1 ,) (s_ 甲人2 = (0 - dfrac23 right) (1 , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 , ) 其平均数(overline x_ 乙=dfrac915= dfrac35,) 方差为(s_ 乙人2 = d

8、frac115left left ( 1 - dfrac35 right)尸2 times 9 + left 因为甲乙, (0 - dfrac35right ) 甲乙，所以甲组的研发水平优于乙组. ) (2)记 ( left ( a , 恰有一组研发成功，在所抽取的个结果中，恰有一组研发成功的结果是 overline b right ), left ( overline a , b right ), left ( a , overline b right), left (overline a , b right ) , left ( a ,overline b right ), left (

9、a , overline b right), left (overline a , b right ) ,) 共 个，故事件 发生的频率为 将频率视为概率，即得所求概率为 18. ( 1)如图，因为 ，所以 .连接 第9页(共8页) 是正三角形，又是 的中点，所以，而，故平面 第11页(共8页) (2)因为 成的角. ，所以 与 所成的角等于 所成的角，即 由(1)可知， ，于是 不妨设 平面 ，所以 是二面角 的平面角，从而 ，则 ，易知 连接 ) ，在 在 中, (D0 = dfracDOAD = dfracdfrac322 = dfrac34 的余弦值为-. (cos a ngle AD

10、O = )所以异面直线与 所成角 中, 19. (1)如图，设. 中，由余弦定理，可得(ECA2 = CDA2 + DEF2 - 2CD cdot DE cdot cos an gle )于是由题设可知，即(CDA2 + CD - 6 = 0,) 解得 (CD = 2 left (CD = - 3 0 ,舍去 right) 在中，由正弦定理，可得 () 于是( sin a Ip ha = dfracCD cdot sin dfrac2mathrm pi 3EC = dfrac2 cdot dfracsqrt 3 2sqrt 7 = dfracsqrt 21 7,) 即 ( 于是由(1)知 )

11、(2)由题设可得 ( cos al pha = sqrt 1 - s in 2al pha = sqrt 1 - dfrac2149 = dfrac2sqrt 7 7 ) 而 ，所以 (begi nsp litcos an gle AEB & = cos left( dfrac2mathrm pi 3 - al pha right ) & = cos dfrac2mathrm pi 3cos al pha + sin dfrac2mathrm pi 3sin alpha &= - dfrac12cos al pha + dfracsqrt 3 2sin alp ha &= - dfrac12

12、times dfrac2sqrt 7 7 + dfracsqrt 3 2 times dfracsqrt 21 7 在 =dfracsqrt 7 14， ) 中, (BE = ) 20. (1)设 的焦距为，由题可得 ，从而 (a_1 = 1，c_2 = 1 因为点 在双曲线 上，所以 (left (dfrac2sqrt 3 3 right )人2- dfrac1b_12 = 1 Rightarrow b_12 = 3 (dfrac2sqrt 3 3 right )尸2 + left ) 由椭圆的定义可得(2a_2 = sqrt left (1 - 1 right )尸2 + sqrt lef

13、t ( dfrac2sqrt 3 3 right )尸2 + left b_22 = a_22 - c_22 = 2， (1 + 1 right )所以 尸2 = 2sqrt 3 ， 的方程分别为 于是 (a_2 = sqrt 3 ， (x2 - dfracyA23 = 1， ) (2)不存在符合题设条件的直线. (i)若直线垂直于轴，因为与 时，易知 =-sqrt 2 ,) 当 只有一个公共点，所以直线 的方程为 (x = sqrt 2 或 x (left| overrightarrow 0A + overrightarrow 0B right| = 2sqrt 2, left| overr

14、ightarrow AB right| = 2sqrt 3,) 此时(left| overrightarrow OA + overrightarrow OB right| ne left| overrightarrow AB 所以 ) 当 时，同理可得 （ii）当直线不垂直于 轴，设的方程为 ，由 (begi ncases 第7页（共8页） y = kx + m , x2 - dfracyA23 = 1 ) (left ( 3 - 32 right ) x2 - 2kmx - m2 - 3 = 0, 两点时，设，则，是上述方程的两个实根，从而 (begi nsp litx_1 + x_2 &=

15、 dfrac2km3 - 心2, x_1x_2 &= dfracm2 + )于是 当与 相交于 可得 (begi nsp lity_1y_2 & = kA2x_1x_2 + kmleft ( x_1 + x_2 right ) + m2 & = dfrac3k2 - 3m2k2 - 3 由(beg in cases y = kx + m , dfracy23 + dfracx22 = 1. ) 因为直线 与 (2心2 + 3 right 可得(left ( 2k2 + 3 right ) x2 + 4kmx + 2m2 - 6 = 0 只有一个公共点，所以上述方程的判别式(Delta = 16

16、k2m2 - 8left )left ( m2 - 3 right ) = 0 ,) 化简可得(2心2 = m2- (begi ns plitovemghtarrow OA cdot overrightarrow OB & = x_1x_2 + )因此 y_1y_2 & = dfracm2 + 3k2 - 3 + dfrac3k2 - 3m2k2 - 3 & = dfrac - k2 - 3心2 - 3 ne 0,) 于是(overrightarrow OA人2 + overrightarrow OB人2 + 2overrightarrow OA cdot overrightarrow OB

17、ne overrightarrow OA 人2 + overrightarrow OB人2 - 2overrightarrow OA cdot overrightarrow OB,) 即 (left| overrightarrow OA + overrightarrow OB right|2 ne left| overrightarrow OA- br所以 ，综合（i）（ ii）可知，不存在符合 overrightarrow OB right|2 题目条件的直线. 21. (1)对函数 ) 令 求导可得 (fleft ( x right) = cos x - xsin x - cos x =

18、- xsin xleft ( x 0 right), ) 当 可得 (x = kmathrm pi left ( k in mathbfN* right 时， ）， 当 时， ，此时， 故函数 的单调递减区间为 (left (2kmathrm pi , left (2k + 1 right ) mathrm pi right) left ( k in mathbfN right ）； ）br单调递增区间为 (left ( left ( 2k + 1 right) mathrm pi , left ( 2k + 2 right )mathrm pi right ) left ( k in mathbfN right) ) .此时 由（1）可知函数 在区间 上单调递减，又 ，所以 当 (fleft ( nmathrm pi right ) fleft ( left ( n + 1 right ) mathrm pi right ) = left left ( - 1 right ) 5门mathrm pi + 1 rightleft left (n + 1 right ) mathrm pi + 1 right 0,) 且函数 在区间内至少存在一个零点又在区间 时，因为 righ