2最值系列之辅助圆

1、最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.在将军饮马问题中，折点 P就是那个必须存在的动点并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就 是作端点关于折点所在直线的对称即可.当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题一一辅助圆.在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来， 因此,结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题.若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图， A为圆外一点，在圆上找一点 P使得PA最小.当然，也存在耿直的题目直接告诉动

2、点轨迹是个圆的，比如:【2020四川德阳】如图，已知圆 C的半径为3,圆外一定点 O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点 O的直线I上有两点A、B,且OA=OB , / APB=90 ,1不经过点C,则AB的最小值为 【分析】连接OP，根据APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得 OP是AB的一半,若AB最小，则OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点 P,此时OP最小，AB也取到最小值.、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.【2014成都中考】如图，在边长为 2的菱形ABCD中，

3、/ A=60 , M是AD边的中点，N是AB边上的一动点， 将AAMN沿MN所在直线翻折得到 AMN,连接AC,则AC长度的最小值是 DANB【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到 AMN，可得MA MA=1，所以A轨迹是以 M点为圆心，MA为半径的圆弧.DANB连接CM，与圆的交点即为所求的 A此时AC的值最小.A - NBC构造直角AMHC，勾股定理求 CM,再减去A M即可.a -NDMB【2020淮安中考】如图，在 RtABC中，/ C=90 , AC=6, BC=8，点F在边AC上，并且 CF=2，点E为边BC上的动点，将 ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离

4、的最小值是.【分析】考虑到将 AFCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径 的圆弧.过F点作FH丄AB，与圆的交点即为所求 P点，此时点P到AB的距离最小.由相似先求 FH，再减去FP,即可得到 PH .CE【2020扬州中考】如图，已知等边 ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点 A、B不重合）.直线I是经过点P的一条直线，把 ABC沿直线I折叠，点B的对应点是点 B.当PB=6时，在 直线I变化过程中，求 ACB 面积的最大值.【分析】考虑I是经过点P的直线，且ABC沿直线I折叠，所以B 轨迹是以点P为圆心, PB为半径的圆弧.考虑ACB 面积最大，因为A

5、C是定值，只需B 到AC距离最大即可.过P作作PH丄AC交AC于H点，与圆的交点即为所求 B点，先求HB 再求面积.【2020相城区一模】AE=2, AEQ如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分别是直线 BC、AB上的两个动点,沿EQ翻折形成AFEQ,连接PF、PD，贝U PF+PD的最小值是.DC【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点PF + PD 化为 PF+PD.D连接 PDD连接ED与圆的交点为所求 F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求 即可.ED再减去EFD二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角.构造思路：一条定边所对的角始终

6、为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧. 图形释义：若AB是条定线段，且/ APB=90，贝U P点轨迹是以AB为直径的圆.【例题】已知正方形接AE、BF，交点为ABCD边长为2, E、F分别是BC、CD上的动点，且满足 BE=CF，连P点，贝U PD的最小值为 .【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在 PD最小值这样的问题，那 P点轨 迹如何确定？ 考虑BE=CF，易证AE丄BF，即在运动过程中，/ APB=90故P点轨迹是以AB为直径的圆.F连接0C,与圆的交点即为 P点，再通过勾股定理即可求出 PC长度.思路概述：分析动点形成原理，通常非直即圆”（不是直线就是圆），接

7、下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角.【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足 AE=DF，连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形边长为 2，则线段DH长度的最小值是【分析】根据条件可知：/ DAG= / DCG = Z ABE，易证AG丄BE,即/ AHB=90所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求.【2020安徽中考】 如图，RtABC中，AB丄BC, AB=6, BC=4 , P是AABC内部的一个动点, 且满足/ PAB=Z PBC，则线段CP长的最小值是 .【分析I：/ PBC+ / PBA=

8、90 / PBC= / PAB,/ FAB+/ PBA=90 ,/ AFB=90 , F点轨迹是以AB为直径的圆弧.当0、P、C共线时，CF取到最小值，勾股定理先求 OC,再减去OP即可.AB【寻找定边】如图， AB是半圆0的直径，点C在半圆0上，AB=5, AC=4. D是弧BC上 的一个动点，连接 AD，过点C作CE丄AD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的 最小值为 .【分析】E是动点,BE点由点C向AD作垂线得来,AEC=90且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧.B当B、E、M共线时，BE取到最小值.连接 BC,勾股定理求 BM,再减去EM即可.【寻找定边与直角】

9、如图，在RtABC中，/ ACB=90 , BC=4, AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆0,连接BD交圆0于点E,则AE的最小值为.AC【分析】连接CE,由于CD为直径，故/ CED=90 ，考虑到CD是动线段，故可以将此题 看成定线段CB对直角/ CEB .取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.连接AM，与圆弧交点即为所求 E点，此时AE值最小,AE AM EM10_F 2 2 26 2 .（2020苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止

10、，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为 .【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 不确定的.AE=CF , BG丄EF，但/ BGE所对的BE边是重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点./ BGO为直角且BO边为定直线，故 G点轨迹是以BO为直径的圆.记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用 RtAAOM勾股定理先求 AM，再减去GM即可.【辅助圆+将军饮马】如图，正方形 ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接 BE,过点A作AF丄BE于点F，点P是AD边上另一动点，贝U PC+PF的最小值为 .

11、【分析】/ AFB=90且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点0为圆心、AB为直径的圆.考虑PC+PF是折线段,O共线时，取到最小值.作点C.C关于AD的对称点 C化PC+PF为PC PF，当C P、F、【辅助圆+相切】如图，在 RtAABC中，/ ACB=90 / B=30 AB=4, D是BC上一动点,CE丄AD于E, EF丄AB交BC于点F，贝U CF的最大值是 .【分析】/ AEC=90且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.考虑EF丄AB，且E点在圆上，故当 EF与圆相切的时候，CF取到最大值.连接 OF，易证 AOCFOEF，/ COF=30 ,故 CF 可求.ACF三、定边

12、对定角在 定边对直角”问题中，依据 直径所对的圆周角是直角 ”关键性在于寻找定边、直角，而 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如， AB为定值，/ P为定角，则A点轨迹是一个圆.当然，/ P度数也是特殊角，比如 30 45 60 120下分别作对应的轨迹圆. 若/ P=30 ,以AB为边，同侧构造等边三角形AOB , O即为圆心.PA若/ P=45 ,以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB , O即为圆心.若/ P=60 ,以AB为底，同侧构造顶角为 120的等腰三角形 AOB , O即为圆心.AB若/ P=120,以AB为底，

13、异侧为边构造顶角为120的等腰三角形 AOB, O即为圆心.【例题】如图，等边 ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且 BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，贝U CP的最小值为 .C【分析】由BE=CF可推得AABEBCF，所以/ APF=60,但/ APF所对的边 AF是变化 的.C所以考虑/ APB=120 ,其对边AB是定值.E所以如图所示，P点轨迹是以点 0为圆心的圆弧.（构造OA=OB且/ AOB=120当O、P、C共线时，可得【2020山东威海】如图，FAB= / ACP，则线段 PBBECP的最小值，利用RtOBCABC为等边三角形，AB=2 长度的最小值为 .

14、勾股定理求得OC,再减去,若P为ABC内一动点,COP即可.且满足/【分析】由/ PAB= / ACP，可得/ APC=120 ,后同上例题.【2020南京中考】在ABC中，AB=4，/ C=60 , Z A / B,则BC的长的取值范围是 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，Z C=60，即定边对定角故点C的轨迹是以点 O为圆心的圆弧.（作AO=BO且Z AOB=120 ）题意要求Z AZ B,即BCAC，故点C的轨迹如下图.当BC为直径时，BC取到最大值， 考虑Z A为AABC中最大角，故 BC为最长边,BCAB=4 .无最小值.【2020武汉中考】如图， AB是圆O的直径，M、N是弧AB （异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，/ ACB的角平分线交圆 O于点D，/ BAC的平分线交 CD于点E,当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 .【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧 MCN