7.4矩阵的初等变换.

1、7.4矩阵的初等变换 课题： 矩阵的初等变换 目的要求： 1掌握矩阵的初等行变换的概念。 2 熟练掌握用矩阵初等行变换求逆矩阵。 3 .会用矩阵初等行变换解线性方程组 重点： 用矩阵初等行变换求逆矩阵 难点： 用矩阵初等行变换解线性方程组 教学方法： 讲练结合 教学时数： 4课时 教学进程： 、矩阵的初等行变换 定义 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三种变换： 变换矩阵的某两行位置； 用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； 把矩阵某一行的 K倍加到矩阵的另一行上去. 矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，通常记作A B，一般A B 符号 (r) (rjHrJKM) K(rj)分别表示交换A的第i行与j

2、行，第i行乘K及第j行的K 倍加到第i行上. 将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等 行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换. 2 例1设矩阵A 1 依次对 A施行如下初等变换: 8 交换A的第1行与第 第 第 第 第 解 1行乘-2加到第 2行乘1加到第 一 1 2行乘()； 8 2行乘-4加到第 16 2行； 2行上； 3行； (ri) (2)(ri) (2) 16 16 16 16 16 (r2) (4)仃2)(rj 0 同时没有一 如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边,个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为行阶梯形

3、矩阵.如果行阶梯形矩阵的每一个非零 行的非零首元素都是 1，且非零首元素所在列的其余元素都为 0，则称这种矩阵为简化行阶 梯形矩阵. 例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵 2 1 ,B 0 且A为简化行阶梯形矩阵，而 2 B不是简化行阶梯形矩阵 2 例2将矩阵A 2化为阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 4 解先把A化为阶梯形矩阵 12 （1） （3） 12 0 再化为行简化阶梯形矩阵, （1）3（2） 如） （1） 7（3） 10 0 由此例可看到，矩阵 含非零行的行数是唯一的， 方程组提供了一个明确的目标 A的阶梯形矩阵是不唯一的，但是，一个矩阵的阶梯形矩阵中所 简化行阶梯形矩阵是唯一的.于是，这就

4、为用行初等变换解线性 用矩阵初等行变换求逆矩阵 若对A : I施 以 初等 行变换将A 变为 I , 则 I就 变为 A-1 A、I 初等行变换 I ； A 1 1 2 3 例3将矩阵 A 2 1 2 ,求逆矩阵A-1. 1 3 4 1 2 3 ； 1 0 0 （2） 2（1） 1 2 3 ； 1 1 0 0 解（AI） 2 1 1 2 i 0 1 0 （3） （1） 0 3 4! 1 2 1 0 1 3 1 4 ! 0 0 1 0 1 1 1 ! 1 0 1 A-1的有效方法: 即 若n阶矩阵A可逆，矩阵A总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵，则用同样 的初等行变换就将I化为A-1.这就

5、给我们提供了一个计算 1 2 3 ! 1 0 0 （1） 2（2） 1 0 1 ! 3 0 2 （2） （3） 0 1 1 1 ! 1 0 1 （3） 3（2） 0 1 1 1 1 0 1 0 3 1 4 i 2 1 0 0 0 1 i 5 1 3 （1） （r3） 1 0 1 :3 0 2 1 0 0 ! 2 1 1 （3） 0 1 1 1 1 i 1 0 1 （2） （3） 0 1 1 0； 6 1 4 0 0 1 1 1 i 5 1 3 0 0 1 1 ; 51 3 A1 0 （3） 001976 5 用初等行变换求逆矩阵时, 值得注意的是， 等列变换.且在求一个矩阵的逆矩阵时， 不必考

6、虑这个矩阵是否可逆, 的过程中，发现这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵. 必须始终用初等行变换, 其间不能作任何初 只要在用初等行变换 用矩阵初等行变换解线性方程组 n元线性方程组中也 从而求出方程 消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办法， 将其运用到解 是有效的.它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程, 组的解.下面通过例子说明如何解系数行列式不等于零的线性方程组 例4用消元法解线性方程组 x1 2 x2 3x37 2x1 x2 2x3 x-i 3x27 解把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照 方程组的消元过程 增广矩阵的变换过程 X1

7、（2） （3） x-i 2x2 2X1 X2 3x2 2（1） （1） 2X2 3X3 3 6 14 X1 5x2 4x X2 3X3 （2） （3） 2（1） （1） 14 5（2） x1 2x2 x2 3x3 3x3 14 x1 2x2 3x3 （2） （3） 14 X2 3x314 19X376 5（2） 14 丄（3） X1 2x2 3x3 7 2 （3） 1 2 3 7 19 X2 3x3 14 19 0 1 3 14 X3 4 0 0 1 4 （rj 3（3） X1 2x2 5 （1） 3（3） 1 2 0 5 （2） 3（3） X2 2 （2） 3（3） 0 1 0 2 X3 4

8、 0 0 1 4 X1 1 1 0 0 1 （1） 2（2） X2 2 （1） 2（2） 0 1 0 2 X3 4 0 0 1 4 X34 由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵的初等变换顺序完全相同 一般地，对一个n元线性方程组，当它的系数行列式不等于零时， 0 增广矩阵施以适当的行初等变换，使它成为以下的形式: 只要对方程组的 0 c1 0 c2 ，那么矩阵 的最后一列元素就是方程组的解，即 例5用矩阵法解线性方程组 X1=C 1 , X2=C2, ， Xn=Cn 2x1 3x2 X3 X43 3x1 X2 X3 X40 0 .这种消元法称为矩阵法 1 Cn 4x1 x2 x3 x47 2x1 X2 X3X45 X11 由此得到方程组的解为X22 . 2 1（1） （4） （rj （3） 10 如） （2） （3） （3） （4） 因此方程组的解为 X1 X2 X3 X4 2 由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程，不仅简便而且清晰明了 A表示线 归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过程可以表述为：首先用增广矩阵 性方程组AX B，