八级数学下册 第19章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数课件 （新版）新人教版

1、 初中数学（人教版）初中数学（人教版） 八年级 下册 第十九章一次函数第十九章一次函数 第十九章一次函数第十九章一次函数 知识点一知识点一 常量与变量常量与变量 名称定义区别举例 变量在一个变化过程中,数值发生变化的 量叫变量 “变量”是可以变化的, 而“常量”是已知数 S=R2中,S、R是变量, 是常量 常量在一个变化过程中,数值始终不变的 量叫常量 温馨提示变量和常量往往是相对的,对不同的研究过程而言,其中的变量和常量是不相同的,变量与 常量的身份是可以相互转换的 例例1指出下列各式中的变量与常量. (1)圆的周长公式:C=2r(C是周长,r是半径); (2)匀速运动路程公式:s=vt(v

2、表示速度,t表示时间,s表示路程). 分析分析(1)中,2和是保持不变的量,而r和C可以取不同的数值.(2)中,因 为是匀速运动,所以v保持不变,s和t可以取不同的数值. 解析解析(1)变量是r、C,常量是2、. (2)变量是s、t,常量是v. 温馨提示温馨提示在一个变化过程中,变量或常量可以不止一个. 知识点二知识点二 函数的概念及函数值函数的概念及函数值 内容(1)函数:一般地,在一个变化过程中,有两个变量,x和y,对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,把y称为x的函数. (2)函数值:对于一个函数,当自变量x=a时,我们可以求出与它对应的y

3、的值,我们 就说这个值是x=a时的函数值 知识详解(1)对函数定义的理解把握三点:有两个变量;一个变量的值随另一个变量的 值的变化而变化;对于自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对 应. (2)函数表示的是两个变量之间的一种关系,而函数值是一个数值. (3)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否有关系式存在,因为有些函数 关系是没有关系式的 例例2下列变量间的关系是函数关系的是. 长方形的长与面积;圆的面积与半径; y=;S=ah中的S与h. x 1 2 解析解析因为长方形的长、宽、面积都不确定,有三个变量,所以长方 形的长与面积不是函数关系.因为圆的面积公式为S=r2,当半径r

4、取一 个确定的值时,面积S就唯一确定,所以圆的面积与半径是函数关系.当 x=1时,y有1两个值与之对应,即当x取一个确定的值时,y的值并不唯一, 所以y=不是函数关系.因为a不确定,所以S=ah中有S、a、h三个 变量,故S与h不是函数关系. x 1 2 答案答案 解题归纳解题归纳本题考查函数关系的确定,根据函数的定义确定是不是两个 变量,且当一个变量取一个值时,另一个变量是否有唯一值与之对应. 例例3已知y=2x2+4. (1)求当x取和-时的函数值; (2)求当y取10时x的值. 1 2 1 2 解析解析(1)当x=时,y=2+4=. 当x=-时,y=2+4=. (2)当y=10时,有2x

5、2+4=10,即x2=3,解得x=. 解题归纳解题归纳当函数用关系式表示时,求函数值的实质就是求代数式的 值;若已知函数值,欲求自变量的值,实质就是解方程. 1 2 2 1 2 9 2 1 2 2 1 2 9 2 3 1.不同类型的函数解析式中自变量取值范围的求解方法 类型特点举例取值范围 整式型等号右边是整式y=2x2+3x-1全体实数 分式型等号右边的自变量在分母上 y=使分母不为0的实数 根式型等号右边是二次根式y=使根号下的式子大于或等于 0的实数 综合型等号右边同时有分式、二次 根式或零指数幂等 y=使各部分都有意义的实数的 公共部分 1 x1 x3 x2 x5 知识点三知识点三 自

6、变量的取值范围自变量的取值范围 2.当用函数解析式表示实际问题时,自变量的取值不但要使函数解 析式有意义,还必须符合实际意义. 例例4求下列函数中自变量x的取值范围. (1)y=2x-3;(2)y=3x2-4x+1;(3)y=; (4)y=;(5)y=. 1 1x 3 x x 2 1 x x 分析分析(1)(2)等号右边是整式,x可为任意实数;(3)要保证分母不为零;(4) (5)要保证被开方数为非负数且分母不等于零. 解析解析(1)x的取值范围为一切实数. (2)x的取值范围为一切实数. (3)由题意得x+10,所以x的取值范围为x-1. (4)由题意得x+30且x+30,所以x的取值范围为

7、x-3. (5)由题意得x+20且x-10,所以x的取值范围为x-2且x1. 例例1父亲告诉小明:“距离地面越高,温度越低.”并给小明出示了下面 的表格. 根据上表,父亲还给小明提出了下面几个问题,请你帮小明回答下列问题. (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量? (2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着h的变化,T是怎 样变化的? (3)你能猜出距离地面6km的高空温度是多少吗? 距离地面的高度(km)012345 温度()201482-4-10 题型一题型一 用表格表示两个变量的关系用表格表示两个变量的关系 解析解析(1)表格反映了温度和距离地面的高度两个变量之

8、间的关系,距 离地面的高度是自变量. (2)如果用h表示距离地面的高度,用T表示温度,那么随着高度h的增大, 温度T逐渐减小. (3)由表格发现距离地面的高度每上升1km,温度下降6,所以距离地 面6km的高空温度是-16. 例例2函数y=-(x-2)0中,自变量x的取值范围是. 3 x x 题型二题型二 求解析式中自变量的取值范围求解析式中自变量的取值范围 解析解析根据题意得,被开方式x0,分母x-30且底数x-20,解得x0且 x3且x2. 答案答案 x0且x3且x2 易错点易错点 求自变量的取值范围时求自变量的取值范围时,忽略了实际意义的限制忽略了实际意义的限制 例例等腰三角形的周长为2

9、0,腰长为x,底边长为y,求y与x之间的函数解 析式及自变量的取值范围. 正解正解 根据题意,得y与x之间的函数解析式为y=20-2x,自变量x应满足的 条件为解得5x10,即自变量的取值范围是5x0. 错解警示错解警示 忽略了三角形的三边关系,导致求自变量的取值范围出错. 在求实际问题中函数自变量的取值范围时,注意自变量的取值既要使函 数解析式有意义,又要符合实际意义. 1.(2017河北唐山乐亭期中)一辆汽车以50km/h的速度行驶,行驶的路程 s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t,其中变量是() A.速度与路程B.速度与时间 C.路程与时间D.三者均为变量 知识点一知识

10、点一 常量与变量常量与变量 答案答案 C在s=50t中路程随时间的变化而变化,所以行驶时间是自变 量,行驶路程是因变量,速度为50km/h,是常量.故选C. 2.(2018山东潍坊诸城期末)圆锥的底面半径r=2cm,当圆锥的高h由小到 大变化时,圆锥的体积V也随之发生了变化,在这个变化过程中,变量是 .圆锥的体积公式:V=r2h 1 3 答案答案 V,h 解析解析 在变化过程中,底面半径r=2cm,不发生改变,是常量,体积V随高 度h的变化而变化,故V,h为变量. 3.下列各关系中,不是函数关系的是() A.y=-x(x0)B.y=x(x0) C.y=x(x0)D.y=-x(x0) 知识点二知

11、识点二 函数的概念及函数值函数的概念及函数值 答案答案 BB选项中当x取一个值时,y有两个对应值,故B选项中的关系 不是函数关系. 4.(2018山东菏泽鄄城期中)某地海拔高度h与温度T之间的关系可用T=2 1-6h来表示(温度单位:,海拔高度单位:km),则该地区某海拔高度为2 km的山顶上的温度为() A.15B.9C.3D.7 答案答案 B把h=2代入T=21-6h,得T=21-62=9.故选B. 5.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为,当x=时,函数值 为10. 答案答案7;2 解析解析当x=1时,y=3x+4=31+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2. 6.

12、(2018江苏宿迁中考)函数y=中,自变量x的取值范围是() A.x0B.x1D.x1 1 1x 知识点三知识点三 自变量的取值范围自变量的取值范围 答案答案 D根据分式有意义的条件得x-10,解得x1.故选D. 7.(2018江苏徐州泉山三模)下列函数中,自变量x的取值范围是x3的是 () A.y=x-3B.y=C.y=D.y= 1 3x 3x 1 3x 答案答案DA.x的取值范围是一切实数;B.x的取值范围是x3;C.x的取 值范围是x3;D.x的取值范围是x3. 1.(2018贵州贵阳云岩期中)如图19-1-1-1所示,圆柱的高是3cm,当圆柱 的底面半径由小到大变化时,圆柱的体积也随之

13、发生了变化. (1)在这个变化中,自变量是,因变量是; (2)当底面半径由1cm变化到10cm时,圆柱的体积增加了cm3. 图19-1-1-1 答案答案(1)底面半径;体积(2)297 解析解析 (1)根据函数的定义可知,对于底面半径的每个值,都有一个确定 的体积的值按照一定的法则与之相对应,所以自变量是底面半径,因变 量是体积. (2)体积增加了(102-12)3=297cm3. 2.(2018湖北咸宁咸安模拟)若函数y=则当函数值y=8时,自 变量x的值等于. 2 2(2), 2 (2), xx x x 答案答案4或- 6 解析解析 当x2时,x2+2=8,解得x=-; 当x2时,2x=8

14、,解得x=4. 综上,x为-或4. 6 6 3.某剧院的观众席的座位分布呈扇形,且按下列方式设置: (1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化; (2)写出座位数y与排数x之间的关系式; (3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说出你的理由. 排数(x)1234 座位数(y)50535659 解析解析(1)由题表中的数据,可知当x每增加1时,y增加3. (2)由题意可得y=50+3(x-1)=3x+47(x为正整数). (3)某一排不可能有90个座位. 理由:当y=3x+47=90时,解得x=.因为x是正整数,而不是正整数,故某 一排不可能有90个座位. 43 3 43

15、3 1.(2018河南郑州期末)某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的 速度与空气温度之间的关系的一些数据(如下表): 温度()-20-100102030 声速(m/s)318324330336342348 下列说法中错误的是() A.在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是声速 B.温度越高,声速越快 C.当空气温度为20时,声音5s可以传播1740m D.当温度每升高10,声速增加6m/s 答案答案 C易知在这个变化过程中,自变量是温度,因变量是声速,选 项A中说法正确.根据题表可得,温度越高,声速越快,选项B中说法正 确.3425=1710(m),当空气温度为20时,声音5s可以传播1

16、710m, 选项C中说法错误.324-318=6(m/s),330-324=6(m/s),336-330=6(m/s), 342-336=6(m/s),348-342=6(m/s),当温度每升高10,声速增加6m/s, 选项D中说法正确.故选C. 2.如图,圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数) 圆点的个数,则y与n之间的函数关系式为y=. 答案答案4n 解析解析对于每一个n的值,y都有唯一的值和它相对应,可以发现:每层圆 点的个数是所在层数的4倍,则y与n之间的函数关系式是y=4n. 3.一台式弹簧秤的弹簧原长为12cm,它能称的质量不超过20kg,并且每 增加1kg弹

17、簧就缩短cm. (1)写出放物体后的弹簧长度y(cm)与所放物体质量x(kg)之间的函数关 系式; (2)求自变量x的取值范围; (3)当放10kg重物时,求弹簧的长度; (4)当弹簧长度为4cm时,求所放物体的质量.弹簧长度能为1cm吗? 1 2 解析解析(1)y=12-x. (2)0 x20. (3)当x=10时,y=12-10=7.故当放10kg重物时,弹簧的长度为7cm. (4)由12-x=4,得x=16. 故当弹簧长度为4cm时,所放物体的质量为16kg. 由12-x=1,得x=22, 因为2220,所以弹簧长度不能为1cm. 1 2 1 2 1 2 1 2 一、选择题一、选择题 1

18、.(2017河北沧州期末,4,)下列关于变量x,y的关系:y=x;y2=x; 2x2=y.其中y是x的函数的有() A.3个B.2个 C.1个D.0个 答案答案 B对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的 函数.对于y=x,2x2=y,当x每取一个值时,y都有唯一确定的值与之对 应.故选B. 2.(2018山西晋中灵石期末,3,)下表反映的是某地区用电量x(千瓦 时)与应交电费y(元)之间的关系,下列说法不正确的是() A.x与y都是变量,且x是自变量,y是x的函数 B.用电量每增加1千瓦时,电费增加0.55元 C.若用电量为8千瓦时,则应交电费4.4元 D.y不是x的函数

19、用电量x(千瓦时)1234 应交电费y(元)0.551.11.652.2 答案答案 D对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值和它对应,y是x 的函数,选项D不正确,故选D. 二、填空题二、填空题 3.(2018江苏盐城射阳模拟,9,)在函数y=中,自变量x的取值 范围是. 1x 答案答案 x1 解析解析根据题意得x-10,解得x1. 4.(2018河南平顶山宝丰期中,14,)声音在空气中传播的速度y(m /s)与气温x()之间存在如下关系:y=x+331.当气温x=22时,某人看 到闪电5s后才听到雷声(光传播的时间忽略不计).则此人与闪电发生地 相距m. 3 5 答案答案1721 解析解析y

20、=x+331, 当x=22时,y=22+331=344.2. 某人看到闪电5s后才听到雷声, 根据“路程=时间速度”可得,路程s=5344.2=1721m. 3 5 3 5 1.(2016山东威海期末,10,)某校初一数学兴趣小组利用同一块木 板,测量小车从不同高度沿斜放的木板顶部滑到底部所用的时间,支撑 物的高度h(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如表所示: 支撑物高度h(cm)10203040506070 小车下滑时间t(s)4.233.002.452.131.891.711.59 根据表格提供的信息,下列说法错误的是() A.支撑物的高度为40cm时,小车下滑时间为2.13s B.

21、支撑物高度h越大,小车下滑时间t越小 C.若小车下滑时间为2s,则支撑物高度在40cm至50cm之间 D.若支撑物的高度为80cm,则小车下滑时间可以是小于1.59s的任意值 答案答案 D由表可知,当h=40cm时,t=2.13s,A中说法正确;支撑物高度h 越大,小车下滑时间t越小,B中说法正确;若小车下滑时间为2s,则支撑物 高度在40cm至50cm之间,C中说法正确;若支撑物的高度为80cm,则小 车下滑时间小于1.59s,但不是任意值,D中说法错误.故选D. 2.(2018江苏苏州昆山一模,13,)函数y=中自变量x的取值 范围是. 23 1 x x 答案答案 x-且x1 3 2 解析

22、解析 由题意得2x+30且x-10,解得,x-且x1. 3 2 3.(2018山东济南历城期中,17,)根据如图所示的计算程序计算变 量y的对应值,若输入变量x的值为-,则输出的结果为. 1 2 答案答案- 3 2 解析解析 当x=-时,y=x-1,y=-1=-. 1 2 1 2 3 2 4.(2017山东泰安岱岳模拟,21,)已知f(x)=,则f(1)= ,f(2)=,若f(1)+f(2)+f(3)+f(n)=,则n的值 为. 1 (1)x x 1 1 (1 1) 1 1 2 1 2 (2 1) 1 2 3 2017 2018 答案答案2017 解析解析 f(1)=1-, f(2)=-, f

23、(1)+f(2)+f(3)+f(n)=1-+-+-=1-=,n =2017. 1 1 (1 1) 1 1 2 1 2 1 2 (2 1) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1n 1 1n1 n n 2017 2018 一、选择题一、选择题 1.(2018湖北黄冈中考,3,)函数y=中自变量x的取值范围是 () A.x-1且x1B.x-1 C.x1D.-1x-1 解析解析 由二次根式的定义可知,x+10,由分式的分母不为零可知, 0,故可得x-1. 1x 1.(2017湖北恩施州中考,7,)函数y=+中自变量x的取值 范围是() A.x1B.x1且x3 C.x3D.1x3 1 3x 1x 答案答案 B由题意得x-10且x-30,解得x1且x3,故选B. 2.(2017黑龙江齐齐哈尔中考,12,)在函数y=+x-2中,自变量x 的取值范围是. 4x 答案答案x-4且x0 解析解析由x+40,解得x-4, 又因为负整数指数幂的底数不为零, 所以x0,故x的取值范围为x-4且x0. 3.(2016云南曲靖中考,10,)如果整数x-3,那么使得函数