2012练习册一解答

1、2012练习册一解答太原理工大学线性代数练习册(一)判断题(正确打，错误打X)1. n阶行列式|aj|的展开式中含有ail的项数为n 1.( X ) 正确答案：(n 1)!解答：方法1因为含有an的项的一般形式是3ii32j2 anjn , 其中j2j3 jn是n 1级全排列的全体，所以共有(n 1)!项. 方法2由行列式展开定理a21 a22a1n A1n ,an 1an2a1 na2n而玄倔人仁a1n A1 n 中彳、再含有玄11，而An共有51)!项，所以含有an的项数是(n 1)!.注意：含有任何元素aj的项数都是(n 1)!.2.若n阶行列式aj中每行元素之和均为零，则a11a12a

2、21a22an 1an2解答：将a1 na2n行列式中有一列元素全为零,aj等于零.(V )中的2、n列都加到第一列，则所以aj等于零.太原理工大学线性代数练习册(一)a100b|0a2b200b3a30a1b182b2b484b383b400a4解答：方法1按第一列展开a100a2b200b3a30b400a48482b3b283b1b482b3(aia481bi82b2b484b383b28381b1blb4)b484方法2交换2, 4列，再交换2，4行方法 3 Laplace展开定理：设在n行列式D中任意取定了k(1 k n 1)个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的

3、乘积之和等于行列式 D所以按2, 3行展开a400b40a2b200b3a303 2 381bi82b281bi82b2b484b383b484b383(1)2b400 a44.若n阶行列式aj满足8jAj, i,1,2, n ,则 aij0.( V)8100b181b10081b1000a2 b2000b2a2b4a40081b82b20b38300083b30083bsb484b383b400a4b4 a40000b282解答：由行列式展开定理a11a21a12a22a1 na2nan 1an2anna11 A11a12 A12a1n A1 n5.若n阶行列式解答：反例如2 2 ana12

4、2a1n0.aj的展开式中每一项都不为零，则0.aj0.( X ).单项选择题1.方程111112481248x2 x3 x0的根为（B）.(A) 1,2,3 ;(B) 1,2, 2 ;(C)0,1,2 ;(D)1, 1,2.解答：（范德蒙行列式）111112481248x2 x3 x(21)(21)(22)(x1)(x2)(x2)0 ,所以根为1,2, 2.ana12a132a11a13a11a122.已知a21a22a23a,那么2a21a23a21a22a31a32a332a31a33a31a 32a(D).(A)解答:(B)a ；(C)2a ；2a11a13a11a12ana13a12

5、2a21a23a21a222a21a23a22-2 a o2a31a33a 31a32a31a33a32Xyz0xz(D)2a.3.已知齐次线性方程组3yyo仅有零解，则（A）.o(A)0 且1；(B)1 ； (C)(D)1.解答：因为y3yy00仅有零解,01 11 1所以3 -10 2 -20 -10 -1z(2-2)0所以1.4.下列行列式中不一定等于的是(B)1a12a1n00 1(A)02a2n(B)02a2n00nnan2anni2n100(Ca2120an1an2n解答：、亠注意0010(D)00n0002000n 10002a2nn( n 1)n an2ann=(1)00 而0

6、1000020 00 000=(1)n 1( 1)n 1 1 25. n阶行列式D（A）-；三.填空题1.已知方程组aj展开式中项希1 a3,n 2(B) +；an 1,2為的符号为（D）.n( n 1)(C) ( 1) 2 ；(D)n(n 1)(1)hxyzaxyzb有唯一解，且xxyzca1,那么111 1 10 1 1解答：系数行列式D1 1 10 1 11 1 12 1 1而1 x D号,所以D14,a bca 11a 11所以11 1b1 1b 111 11c 11c1 1Di 4.2.已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1 , 0, 2, 4,第4行的余子式依次为10，5, a,2

7、则a 1 .解答：因为10 2a 8 0，所以a 1.n3.若V为n阶范德蒙行列式，Aj是代数余子式，则AjV .i,j 1n解答：Aj An A12i,j 1nAmAjV 0 V .i 2,j 1000104.120 .002000310004110120987650 002100000解答：方法1031000a14a23a32a41a55411012098765120.0001000200方法2031000411012098765000002100025-503100310041104110125 24120.2x x 125设D则D的展开式中x3的系数为-1 .1 x 1132x111

8、1x解答：D的展开式中有一项是42&233&44X3或者按第一行展开:2x x 121 x 11D32x1111 xx 112x2 x 111 x1 x 1232 x1 1 1由此可以看出x3的系数为-1.四.计算题10121.已知D110311101254解答：方法1A41，计算A41A42A43A44 .10 12A43A4411 0311 1011 11方法21 01 11 11 10100230110 12A41A42A4311030，所以 A41A42A43A44A4411101110方法 3 A41 A42A43A441.2.计算行列式241111241502605221 166

9、4 03051205225201016 06 0501516265012015101 3223计算行列式3 4 0 92 2623 383解答:13221322132234092340920-561522621131021-133833383018124.计算行列式18121812-2211-20-1525561504675111x111x 111x111x 111150.解答：（行和相等）5.计算行列式111111111111111110001100aa101xxxxx10bb1x4.解答:1a001a001a001a0011 ab001b001b001b0011 bc011 bc001c0

10、01c0011 c0011 c0011 c00011a1ba2asan6.计算行列式a1a2basana1a2asanb解答：（行和相等）a1 ba2asan1a2asana a?basann(bi 1ai)1a2 b asanaa2asanb1a?asanbn(baja2bas0an0(bajbn2时：i行-2行,2得到7.计算行列式1222-10002222222222320010222n000n- 2解答:2时:22(n2)!.当n当n太原理工大学线性代数练习册(一)五.证明题1.设 f(x)2x3x4x，证明：存在(0,1),使得11110 1证明：因为f (0)1220，f(1)11

11、 113312 1f ( ) 0.0，所以f(0) f(1)，而f(x)在0,1上连续，在(0,1)可导，所以由Rolle 定1114441212.证明当1时，行列式515153666111777理知存在 (0,1),使得f ( )0.415160.证明:5161714151647-3111011111-31110-31184011-3184001-31111-3011-3太原理工大学线性代数练习册(一)3.设a,b,c是互异的实数,证明1bb30的充分必要条件是a b c 0.证明:方法设 f(X)f(X)人4a2 a3 abb2b3c2 c3 cX2 X3 X将其按第4例展开得到A24XA

12、34X2A44 x3由于f(a) f(b) f(c) 0，且a,b,c是互异的实数，由方程根 与系数的关系知A34，而 A44(c b)(c a)(b a)，于是111abc3. 33a b cM 34(c b)(c a)(b a) a b c，1110的充分必要条件是a b c 0.所以abc3.33a b c注，该方法具有一般性，利用它可以证明111LX1X2X3L222LX1X2X3LLLLn 2n 2n 2LX1X2X3nX1nX2nX3L1Xn2XnLn 2XnnXnn(X Xj)(Xi).1 j i ni 1太原理工大学线性代数练习册（一）方法二太原理工大学线性代数练习册（一）11

13、ab33ab1c3c1 0 0 a b a c a33333abaca11a)(ca)2ab.22 2aba ac ca)(ca)(a2ac2 ca2 ab b2)a)(ca)(ac2 cabb2)a)(ca)a(cb)(cb)(c b)a)(ca)(c b)(abc)(b(b(b(b(b求四个平面aiX biy qz di =0（ i=1,2,3,4）相交于一点（Xo,y,Zo）的充要条件. 解答想法：三个平面相交于一点，第四个平面过 该点：太原理工大学线性代数练习册（一）a1xbiyC1Za2xb?yC2Za3Xb3yC3Z方程组d1=0、当且d2=0有唯一解 (Xo, yo,z o)，d3=a1 bi Ci 仅当a2 b2 C2a3b3C3第四个