数学(理)二轮复习专题训练：导数及其应用

1、2014 年高考数学（理）二轮复习专题精品训练：导数及其应用本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分满分150 分考试时间 120 分钟第卷 ( 选择题共 60 分 )一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 a 为实数，函数，若函数 f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，则f (x) ( x23 )( x a)2a 的取值范围是 ()A, 3B( 3(2 )2 ,22 ,)22C, 3 2D, 3( 322,)222【答案】 D2设为曲线上的点 , 且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横

2、坐标的取值范围是()ABCD【答案】 A等于 ()3 2(1cosx) dx2AB 2C2D2【答案】 D4已知函数 f(x) x3 ax2 bx c ， x 2， 2 表示的曲线过原点，且在x 1 处的切线斜率均为 1，给出以下结论：f(x) 的解析式为f(x) x3 4x， x 2， 2； f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0其中正确的结论有( )A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个【答案】 C5若 f ( x)ax4bx2c 满足 f(1)2 ，则 f( 1)()A 4B 2C 2D 4【答案】 B6 f ( x)ax33x22 , 若 f(1)4 , 则

3、 a 的值等于 ()ABC13D1916103333【答案】 D7已知 f ( x)x22xf(1)，则 f (0) 等于 ( )A 0B 4C 2D 2【答案】 B8如下图，阴影部分的面积是()A 23【答案】 C9设函数f ( x)yf (x) 在点A 4【答案】 AB 23C 32D 3533g( x) x2 ，曲线 yg( x) 在点 (1,g(1) 处的切线方程为y 2x 1，则曲线(1, f (1)处切线的斜率为 ( )B1C 2D14210已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关式为1x3，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )y81x23

4、43A 13万件B 11万件C万件D万件【答案】 C11曲线 y=x33x2 有一条切线与直线3 x+y=0平行，则此切线方程为 ( )A x-3y+l=0B 3x+y-5=0C 3x - y -l = 0D 3x+ y -l= O【答案】 D和 y2 的图像围成了一个封闭图形12函数, 5, 则此封闭图形的面积是y2sin x, x22()A 4B 2C 4D 8【答案】 C第卷 ( 非选择题共 90 分 )二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上)13函数 y=2x 3-3x 2-12x+5在 0,3上的最小值是。【答案】 -1514设曲线 ye

5、 x ( x0) 在点 M (t ,e t ) 处的切线 l 与 x 轴， y 轴所围成的三角形面积为S(t) ，则 S(t ) 的最大值为_ 【答案】15函数【答案】2e_ ；f (x) x ln x( x 0) 的单调递减区间为1(0, )e16定积分ln 2的值为ex dx0【答案】 1三、解答题( 本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知 fx xln x ,g xln x , 其中 x0,e (e 是自然常数） .x( ）求f ( x) 的单调性和极小值；( ）求证：在上单调递增；g x0,e( ）求证：1 .f (x)g(x)2【答案】（）f

6、 ( x)x ln x ，( x)1x1f1x当 0x 1时， f ( x)x1e时， f (x)0 ，此时 f (x) 单0 ，此时 f (x) 单调递减当x/调递增 f (x) 的极小值为f (1)1( ）g1 ln xxx当 0xe时， gx0 ， gx 在 ( 0, e 上单调递增( ）f ( x) 的极小值为1，即 f (x) 在 (0, e 上的最小值为1，f (x)0 ， f ( x)min 111111gmax1f minxxe222218设函数 f ( x)x32x2x （ xR ）( ）求曲线 yf (x) 在点 (2， f (2) 处的切线方程；( ）求函数 f ( x)

7、 在区间 0,2上的最大值与最小值 .【答案】（）因为f ( x)x32x2x ，所以f( x)3x24x1，且 f (2)2 所以f(2)5 所以曲线 f ( x)在点 (2， 2) 处的切线方程是y 25( x2) ，整理得5x y 80 ( ）由（）知f( x)3x2令 f(x)0 ，解得1 或 xx3当 x0,2 时， f(x) ， f (x)4x1(3 x1)( x1) 1 变化情况如下表：因此，函数f (x)x3 2x2 x ， x 0, 2 的最大值为 0，最小值为 2 .19已知函数f(x) x 3 ax2 bx c 在 ( ， 0) 上是减函数， 在 (0,1)上是增函数，

8、函数 f(x)在 R 上有三个零点，且 1 是其中一个零点(1) 求 b 的值；(2) 求 f(2) 的取值范围【答案】 (1) f(x) x3 ax2 bx c ， f (x) 3x2 2ax b. f(x) 在 ( ， 0) 上是减函数，在 (0,1) 上是增函数，当 x 0 时， f(x) 取到极小值，即 f (0) 0. b 0.(2) 由 (1) 知， f(x) x3 ax2 c， 1 是函数 f(x)的一个零点，即 f(1) 0， c 1 a. f (x) 3x2 2ax 0 的两个根分别为x 0， x2a 3 12 f(x) 在 (0,1)上是增函数，且函数f(x)在 R 上有三

9、个零点，2a3x 31，即 a225 f(2) 8 4a (1 a) 3a 7 2故 f(2)5的取值范围为2， 20已知函数f (x)13x23x在 x1, x2 (x1x2 ) 处取得极值，记点3xM ( x1 , f ( x1 ), N ( x2 , f ( x2 ) .求 x1 , x2的值；证明：线段MN 与曲线 f (x) 存在异于 M 、 N 的公共点；【答案】解法一：f ( x)x22xa ，依题意，f (1)122 aa 14 a3 ，（ 2 分）f ( x)1x3x23x3由 f ( x) x22x 3 0，得 x11, x23令 f( x)0, x3或x1， f (x)

10、的单调增区间为(, 1) 和 (3,) ，f (x)0,1x3，单调减区间为(1,3)所以函数f ( x) 在 x11.x23 处取得极值。故5).N (3,9)M (1,所以直线 MN 的方程为3y8x13由得 x31 x3x23x2x 30y3x3y 8 x 13令 F ( x)x33x2x3 ，易得 F (0) 30, F(2)3 0 ，而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线，故F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点x0，这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点。解法二：同解法一，可得直线MN 的方程为8yx 1由得 x331 x

11、3x23x2x 3 0y3x3y8 x13解得 x11, x21.x33x11 x2 1x33511y1, y2, y3933所以线段 MN 与曲线 f (x) 有异于 M , N的公共点(1,11。)21若存在实常数3k 和 b ，使得函数f (x) 和 g( x) 对其定义域上的任意实数x 分别满足：f ( x)kxb 和 g( x)kx b ，则称直线 l : ykxb 为 f ( x) 和 g( x) 的“隔离直线” 已知 h(x)x2，( x)2eln x (e 为自然对数的底数) (1 ）求 F (x) h( x)( x) 的极值；(2 ）函数 h( x) 和(x) 是否存在隔离直

12、线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由【答案】(1)F ( x)2 x当 xe 时，当 0 x当 xe 时，F ( x)h( x)( x)x22eln x ( x 0) ，2e2( xe)( xe) xxF ( x)0e 时， F ( x)0 ，此时函数F (x) 递减；F ( x)0，此时函数F (x) 递增；当 xe 时， F (x) 取极小值，其极小值为0 (2)由（ 1）可知函数 h(x) 和(x) 的图象在 xe 处有公共点， 因此若存在 h(x) 和(x) 的隔离直线，则该直线过这个公共点设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为yek (xe) ，即ykxeke 由 h(

13、 x)kxeke(xR) ，可得 x 2kxeke 0 当 x R 时恒成立(k2e) 2 ，由0 ，得 k2e 下面证明(x)2exe 当 x 0 时恒成立令G ( x)( x)2exe2eln x2exe ，则G (x)2e2e2e(e x) ，xx当 xe 时， G ( x)0 当 0xe 时， G ( x)0 ，此时函数 G(x) 递增；当 xe 时， G ( x) 0 ，此时函数G( x) 递减；当 xe 时， G( x) 取极大值，其极大值为0 从而 G (x)2eln x2exe 0，即( x)2exe(x0) 恒成立函数 h( x) 和( x) 存在唯一的隔离直线y2exe22

14、已知 f (x)x3ax2a2 x2 ( ）若 a1 ，求曲线 yf (x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；( ）若 a0,求函数 f ( x) 的单调区间；( ）若不等式2x ln xf ( x)a21 恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（） a1 f (x)x3x2x2 f( x)3x22x1 kf(1)4 ，又 f (1)3 ，所以切点坐标为(1,3) 所求切线方程为y34( x1) ，即 4xy10 .( ） f ( x)3x22axa2( xa)(3xa)由 f( x)0得 xa或ax3(1) 当 a0 时，由 f(x)0 ， 得axa 3由 f (x)0 ， 得 xa 或ax3此时 f (x) 的单调递减区间为(a,a ，单调递增区间为(,a)和a)(,(2)33当 a0 时，由 f( x)0 ，得 axa3由 f (x)0 ，得a 或 xax3此时 f ( x) 的单调递减区间为a，单调递增区间为,a和 (a,( ,a)()33综上：当 a0 时， f (x) 的单调递减区间为(a，a,)3单调递增区间为(,a)和 a,)(3当 a0 时， f (x) 的单调递减区间为(a, a)3单调递增区间为(,a 和(a,) .)3.) .( ）依题意x(0,2x ln x3x 22ax可得3 x