自考概率论与数理统计

1、 4.1 4.1.1 离 散 型 引例10人参加考试,1人得100分,6人得 疑 编 号： 解 10040101 随 机 ；80分,3人得 针 对 平均 变量地期 60分，求10人考度地平均分 该题提问 分为 望 .【答 】 10 从本例看：平均分并不等于60、80、100地平均值80.这是由于60分出现地机会多于 100分，上面方法出现了 60分出现地频率多.100分地频率小，能正确计算平均值. 定义 若X地分布律为PX=Xi) =Pi,i=1,2 绝对收敛时 即 当级数二 V 收敛) 是离散型随 兀丙曲=可冏+乃內+心羽 就说i_ X 0 1 2 P 0 0.2 0 8 V P 10040

2、102针对该题提问】 Y 机变量X地期望.记作EX,即 说 明 1 ) 若 X 取值为 有 限个 X1,X2，,Xn 则 EX = Z i-1 2 ) 若X 取 值 为 可列无 限 多个 X1,X2，,Xn 则 2-1 0 =11十英0十. 十耳p,十 这 时 才要 求 无 穷 级数4 绝对 收敛 . 很明显,X 地期望EX体现随机变量 X 取值地平均概念 ,所以EX也叫X地均值. 【 例 4-1】 设 随 机变量 X 地分 布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.20.5 求 EX ) 解 EX ) =).3+0 XJ.2+1 .5=0.2 乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们地分

3、布律分别为 【例4-2】甲 试比较他们成绩地好坏.【答疑编号： 解 我们分别计算 X 和 EX=0X 0+1X0.2+2 X0.8=1.80.8+2 X).仁1 这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数地平均值接近于1.8分，而乙得分地平均值接近 1分很明显乙地成绩远不如甲4.1.2下面介绍几种重要离散型随机变量地数学期望1. 两点 随机变 量X 分 地 分布 律 布 为 X 0 1 P 1-尸 P 其中0v pv 1,有 EX=0X 1-p) +1Xp=p. 2. 二 项 分 布 设X Bn,p ) 5 即 耳严 Q 二 0A- 屈冷二1 一 可以证明它地期望 EX=np 丄 X B10,0.

4、8) 则EX=1(K 0.8=8 .p1EanqFDPw 二项分布地数学期望np,有着明显地概率意义比如掷硬币实验，设出现正面概率- 100 x-=50 若进行 100次实验，则可以 期望”出现_次正面，这正是期望这一名称地来由 .3. 泊 松分 布 设 丄;其分 布 律 为 尸徑二门二竺I二0丄）， /b5E2RGbCAP 分布 EX X 0,1) p X Bn,p ) np XP入） 1 则X数学期望为EX=.；. 小结上面地结果，有下面公式 今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直接套用公式. 例 如若 若XP3），则EX=3.4.1.3 下面介绍离散型随机变量函数地数学期望

5、 定理4-1设离散型随机变量 X地分布律为 PX=x k=p k，k=1,2, 令Y=gX ）,右级数绝对收敛，则随机 变量Y地数学期望为 岬）胡如二无 盘沁 4,1,4） Jt-i 特别情形、 施2 = 屜 =讨阿+好尚十+尤离+ X -1 0 1 2 P 0.3 0.2 0.4 0.1 量 X 地 分 布律为 10040103针对该题提问】 【例 4-5】 设随机变 令 Y=2X+1,求 EY ）.【答疑编号 解 EY=2 -1 ) +1 )X0.3+0+1 )0.2+0.4+0.1 =0.2+3 0.4+5 0.1=16 【例 4-6】 设随机变 量X地 分 布律 为 X T0 0 5

6、1 2 P 0.30.2 0 1 0.1 0 3 且 Y=X2,求 EY.【答疑编号：10040104 针对该题提问】 超（丫）=蛊（X孔=#耳+诒耳+总+珂+耳 解 一 、 2 2 2 2 2 =0.3 =0.3+0.025+0.1+1.2=1.625.4.1.4 连续型随机变量地期望 对于连续型随机变量地期望，形式上可类似于离散型随机变量地期望给予定义，只需将和 式. 中地xi改变x,pj改变为fx ） dx其中fx）为连续型随机变量地概率密度函数） 以及和号2演变为积分号j即可.DXDiTa9E3d 定义4-2设连续型随机变量 X地概率密度为fx）, 若广义积分绝对 收敛，则称该积分为随

7、机变量X地数学 期望 简称期望或均值），记为EX,即 耽二厂g体H 15） J F 【例 4-7】 设随机变量 X 地概率密度为 求 EX ) 解 【例 4-8】 /w = 1, 其他 【答疑编号：10040105 针对该题提问】 E(JT) = J xfx)dx = j兀+ xfx)dx 设随机变量 求 EX ）.【答疑编号 X 地概率密度函 COS 扎 /w= 10040106 针对该题提 数为 其他 问】 解因为fx）只在有限区间 2 21 -宀上不为零，且在该区间上为连续函数 ，所以EX ） xcos2 xdx, J疋 根 据 奇 函 数 地 性 质 知 道 EX ）=0. F面介绍几

8、种重要连续型随机变量地期望.1.均匀分布RTCrpUDGiT 设随机变量X在a,b上服从均匀分布，其概率密度为 fM= ,ax 地指数分布，其概率密度为 求EX I 1-to 0 2必 .-輕二匚恥伽叮说宀乙厂（加）严也2 + 即指数分布地数学期望为参数入地倒数. 3. =口. 5PCzVD7HxA EX 分布 EX X Ua,b) XE入） 2 2 2 XNu, d) 上面三种情况列表如下 可以作为公式使用） =5 X U0,10) XE2）则一下面介绍连续型随机变量函数地数学期望 定理4-2设X为连续型随机变量，其概率密度为fxx），又随机变量 Y=gX ）,则 当匸丽也（皿收敛 时,有

9、5(r)= 5g(=J*g(z)A(x).(4 U) 证 明 略 这一公式地好处是不必求出随机变量 Y地概率密度 fYX ）,而可由随机变量 X地概率 密度fxx ） 直接计 算 EY ) ,应 用起来比较 方便. 特 别 情 形 EXCx J F 法（力必 2zP 0 x 1 例 4-9 若处）=為 其它 求 EX2【答疑编号：10040107 针对该题提问】 解盛匚匚也妒亡皿二才心厂鮎花二维随机变量函数地期望 jLBHrnAlLg 定理4-3 1 ）若巧=乞2吟(4 1 8) ii Jii j J 2 ）其X,Y ）为二维连续型随机变量，fx,y ） ,fxx） ,fvy ）分 别为 X,

10、Y ）地概率密度与边缘 概率密度，则 x)=Cxfx)dx=r 5 xf(x, y)dxdy7 (419) 1 +f + yfy(yy= J W(兀刃必妙 C4 i.io) J fgi J1 50 证明略 定理4-4设gX,Y ）为连续函数，对于二维随机变量X,Y ）地函数gX,Y）, 1 ）若X,Y ）为离散型随机变量，级数f收敛，则 上迟厲別刊（4.1 11） i J |g（x, y） f（x,y）iixdy 2 ）若X,Y ）为连续型随机变量，且积分收敛，则 g(XK)=f f + 2) EXY ).【答疑编号：10040108针对该题提问】 1 ) 期 望 定 义 知 xQ+ (2k1

11、+3xQ) xX + (2xi+3xi) 1 11 2 6 T -(0 x0) x+ (Ox：l) x0+ (1x0) 1 X + (1； 1) 1 X 1 3 2 6 _6 【例 4-11 】设二 维 随 机 变 量 武碱十划二另乞第兀十眾也 t i =(2xQ+3xO) xl+ (2x0+3x15 3 E(府)=乞乞仏七)幵 其他 JJ (x+y) N忑妙 虫忒(卄妙幼訂：(如+代： dx C3) P( + Y1)= /(x.y)dxdy = ff/Cy)4v 求：1) EX+Y ); 2) EXY ); 3) P X+YC 1.【答疑编号：10040109 针对该题 问】 解 (1)渥(

12、X+F)二广仗+刃/(“)必砂 J -HJO J (2) E (TK) =| xyfx,y)dxdy矽加砂 二 J： y xydydx 2 fiS ;心 8 4 = Jo4 3 2 15 EX 2 二 JJ 7fxry)dxdy 匸 J： (J； F 8 ?(ydyyix D E严=JJhX眉砂=J；（J；，-8如处 D AT糾鳥 5 6 所 以 ，-. 一 _ G?v(底 F) _ 2屈 【例 4-30 】证明 DX+Y ) =DX ) +DY ) +2CovX,Y ). 答疑编号： 10040306 针对该题提 问 】 证明 DX + Z) = E(X + r)- EX+Y)f = E(X

13、-E(X) + (?-(r)a =E(X-E (X)X+E(Y-E (Y)z+ 2E(X-E CX)(Y-E(Y) =D (X)+D(T)+Kov(XY) 【例4-31】已知二7二厂打二求4；一1 ； 【答疑编 10040307针 对该 题提问】 n(x+r)= d(x)+z)(r)4-2c9v(y) =D(X) + n(K) + 轴 JQ(N).顾巧 初=4+l+2x0.6x2xl=7.4 D(3X- 2Y) = D(3X) +D(-2Z) + 力“空-沙) 二扌 ur + (-PF -2CqvX, Y) 二9D(+ 40(7)垃呛阿厉阿5 =36+4-12x0 6x2x1= 25.6. 性

14、 质 若X,Y ) 则 X,Y ）地相关 系数 X 与 Y独立 o p = 0 N 为, 且 有 不 证） 433矩、协 方 差 矩 阵 数学期望和方差可以纳入到一个更一般地概念范畴之中，那就是随机变量地矩 . 定义4-71 ）设X为随机变量,k为正整数，如果二:丄存在，则称二:丄为X地k阶原点 矩，记,即 2）如果-二-存在，则称_二为X地k阶中心矩，记为：*即 円-显然，一阶原点矩就是数学期望：，：，二阶中心矩就是方差： （DX C = 定义4.8 矩阵叫 Cqv(X,Y) DY X，Y 地协方差矩阵 例 4-32 X，Y 方差矩阵 1-1 3) 10040308 可知- ? Cov(XJ

15、) 本 早 小结 本章 地 考 核内容是 ）知道随机变 量 地 期望地定 义和计算公式，性质 1）离 散 型： 战二工吗R =可乃+乃夕2 +亠 i 2 ) 连 续型 EX=応(g. : 应鼠（再）P二g（丙）Q+岸（阳）丹+- 龜（对二Jp昌办（对出兀 4) 应F） 7（2）礪MV）二匸匸咸“畑畑旳、 期 望 地 性质 : 1 ) E C=C 2 ) EkX ) =kEX 3 ) EX Y ) =EX EY 4)X，Y独 立 时 ，EXY) =EX ) EY ) X是连续 型随 DX二士 估-磁)、 F1 机变量时 DX=J：佃-EX /(x) 2)计 算公 式- u: 3 ) 性质 DC = 0 m D(Y-EY =DX+D 2Cov(X,Y X,Y独立-X,Y 不相关 时D(X Y=DX+DY Cov(X,Y=E(X-EX(Y-EY X 是离 散型 随 机 变 量 时 二) 知道方 差地