18 19 第1章 13 131 第2课时 正弦型函数y=Asinωxφ

1、 第2课时 正弦型函数yAsin(x) 学习目标：1.了解正弦型函数yAsin(x)的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等(重点)2.会用“图象变换法”作正弦型函数yAsin(x)的图象(难点) 自 主 预 习探 新 知 1正弦型函数 (1)形如yAsin(x)(其中A，都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数 2(2)函数yAsin(x)(其中A0，0，xR)的周期T，频率f，初 2 相为，值域为|A|，|A|，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了yAsin(x)的 波动幅度的大小 2A，对函数yAsin(x)图象的影响 (1)对函数ysin(x)图象的影响： (2)对

2、函数ysin(x)图象的影响： (3)A对函数yAsin(x)图象的影响： (4)用“变换法”作图： 向左?0?或向右?0? ysin(x)的图象 ysin x的图象平移|个单位长度1横坐标变为原来的倍 ysin(x)的图象 纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍 yAsin(x)的图象 横坐标不变思考：由ysin x的图象，通过怎样的变换可以得到yAsin(x)的图象？ 提示 变化途径有两条： 基础自测 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象( ) (2)要得到函数ysin x(0)的图象，只需将函数ysin x图象

3、上所有点的横坐标变为原来的倍( ) 页 1 第 (3)将函数ysin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A0)倍，便得到函数yAsin x的图象( ) 解析 (1)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，便得到函数ysin(x)sin(x)的图象，而不是函数ysin(x)的图象，故此说法是错误的 (2)要得到函数ysin x(0)的图象，只需将函数ysin x图象上所有点的横坐1标变为原来的倍，而不是倍，故此说法是错误的 (3). 答案 (1) (2) (3) ?2x?1的最小正周期为函数y4sin( ) 2 3?A. B C2 D4 22B T. 2?x?的图象，只要将ysin x

4、的图象( 3要得到ysin ) 4?【导学号：79402019】 B向左平移个单位 向右平移个单位 A 44D C向上平移个单位 向下平移个单位 44?x?的图象sin yysin x的图象向左平移个单位可得到将B 44?1?x?，则该函数的最小正周期、3sin振幅、初相分别是_，4已知函数y 75?_，_. 12?解析 由函数y3sinx?的解析式知，振幅为3，最小正周期为T10， 75?初相为. 7答案 10 3 7合 作 探 究攻 重 难 页 2 第 正弦型函数的图象与性质 ? x?3用五点法作函数y2sin的图象，并写出函数的定义域、值域、 3?周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴

5、方程 思路探究 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象求性质 解 列表： x 3 5 6 4 3 11 6 7 3 x3 0 2 3 2 2 y 3 5 3 1 3 描点连线作出一周期的函数图象 ?x?3的图象 把此图象左、右扩展即得y2sin 3?由图象可知函数的定义域为R，值域为1,5， 211周期为T2，频率为f，初相为，最大值为5，最小值为 23T1. 5?，2k2k(kZ) ?得原函数的增区间为kZ)(令2kx2k 66232?5113?，2k2k得原函数的减区间为Z)，(k?x2kk令2 66223?(kZ) 5(kZ) k令xk(kZ)

6、得原函数的对称轴方程为x 623 规律方法 3，2，分别为0，的图象，应先令xy1用五点法作Asin()x22然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象 2求yAsin(x)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把x代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围 跟踪训练 页 3 第 3?2x，?上的图象 1作出函数y在2sinx 448?解 令X2x，列表如下： 4 X 0 2 3 2 2 x 8 3 8 5 8 7 8 9 8 y 0 2 0 2 0 描点连线得图象如图所示 三角函数的图象变换 ? 2x?2的图象是由函数y 函数y2sinsin x的图象通过怎样的变换 3?得

7、到的？ 思路探究 由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动 1横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 2解 法一 ysin x 向左平移个单位 6ysin 2x 纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变?2x?ysin, 3?向下平移2个单位?2x?, y2sin 3?2x?2. 2siny 3?向左平移个单位 3法二 ysin x 1横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 2?x?siny 3?纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变?2x?siny, 3? 页 4 第 向下平移2个单位?2x?2sin, y 3?2x?2. 2siny 3? 规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：

8、?1?确定函数ysin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言. ?2?已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位. 跟踪训练 x?，xR的图象，只需把函数ysin x，2为了得到函数ysinxR的图 63?象上所有的点： 1向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)； 361向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)； 36向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)； 6向右平移个单位，再

9、把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 6其中正确的是_ 向左平移?解析 ysin xx? siny 6?个单位 6横坐标伸长到x?. siny 63?原来的3倍?纵坐标不变?答案 求yAsin(x)的解析式 ? |?的图象，确定其一个函数Asin(x)y11- 如图3-所示的是函数 2?解析式 图1-3-1 页 5 第 思路探究 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定，然后由图象所过的点确定. 解 由图象，知A3，T， ?，0?， 又图象过点A 6?所求图象由y3sin 2x的图象向左平移个单位得到， 6?x2x?. 3sinyy3sin 2，即 36? 规律方法 确定函数

10、yAsin?x?的解析式的关键是的确定，常用方法有： ?1?代入法：把图象上的一个已知点代入?此时A，已知?或代入图象与x轴的交点求解?此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?. ?，0?作为中的第一个零点五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”?2?突破口.“五点”的x的值具体如下： “第一点”?即图象上升时与x轴的交点?为x0； “第二点”?即图象的“峰点”?为x； 2“第三点”?即图象下降时与x轴的交点?为x； 3“第四点”?即图象的“谷点”?为x； 2“第五点”为x2. 跟踪训练 ?A0，0，|?在一个周期内的部分函数图象)yAsin(x3已知函数 2?如图1-3-2所示，求此函数的

11、解析式 图1-3-2 T41解 由图象可知A2，1，T2， 3322T2， y2sin(x) 页 6 第 1?，2?2得2sin代入， 33?1，|sin， 32?x?. 2siny， 66?函数yAsin(x)的对称性 探究问题 1如何求函数yAsin(x)的对称轴方程？ 提示 与正弦曲线一样，函数yAsin(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴 函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x)1，得xk 2?2k1?2(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方 2?2k1?2程为x(kZ) 22如何求函数yAsin(x)的对称中心？ 提示 与正弦曲线

12、一样，函数yAsin(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点 函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，k?k?(kZ)x)的图象关于点成Z)则x(k，所以函数yAsin(0， ?中心对称 已知函数f(x)sin(2x)(00)的最大值是，最小正周期是32已知函数yAsin(x)(A0， 7) ( ，则这个函数的表达式是是 6?7xx7? Ay3siny3sinB 66?7x7x? C3sin y3sin Dy 4242?22?7x?.故选B. ，所以，由已知得 BA3T7y3sin 6T76? 页 9 第 ?2x?的图象，只需将y3sin 2x要得到3y3sin的图象( ) 4?【导学号：79402020】 B向右平移个单位 向左平移个单位 A 44DC向左平移个单位 向右平移个单位 88向左平移个单位 8?x? 3sin2yC y3sin 2x的图象 8?2x?的图象 的图象，即y3sin 4?x?图象的一条对称轴