中等职业学校通用教材(数学)

1、中等职业学校通用教材(数学) 第1章 数、式与方程 1.1 1.1 数（式）的运算数（式）的运算 1.2 1.2 解方程（组）解方程（组） 1.3 1.3 指数与对数的运算指数与对数的运算 中等职业学校通用教材(数学) 1.1 数（式）的运算数（式）的运算 l 数的基本知识 l 整式的运算 l 分式的运算 l 数的乘方和开方运算 回顾 中等职业学校通用教材(数学) 数的基本知识数的基本知识 有理数有理数 整数和分数统称为有理数。 无理数无理数 无限不循环小数叫做无理数。 实数实数 有理数和无理数统称为实数。 数轴数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 倒数倒数 乘积是1的两个数叫做

2、互为倒数。 相反数相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 绝对值绝对值 几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与 原点的距离，数a的绝对值记作|a|。 代数定义： (0) |0(0) (0) aa aa aa 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例1 求下列数的绝对值： （1）3.4 （2） 解解 单击鼠标继续单击鼠标继续 3 7 （1）因为3.40，所以|3.4|3.4。 （2）因为 b，则ab0，ba0。 所以 c|ab|ba|(ab)(ab)0 若ab，则ab0。 所以 c|ab|ba|(ba)(ba)0 若ab，则ab0，ba0。 所以 c|ab|ba|0

3、综上所述，c0。 例例2 若a、b是两个已知数，且c=|ab|ba|，求c 。 解解 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1在2、 、 、 、 这些数中，整数有_， 分数有_， 有理数有_，无理数 有_。 2 的相反数为_，倒数为_；0的相反数_，0 有倒数吗？ 3求下列各式中x的值： （1）x0，|x|0.1 （3）|x| 4已知a0， ，求x。 4 3 9 4 2 2 5 5 4 3 a a x 中等职业学校通用教材(数学) 整式的运算整式的运算 幂的运算法则幂的运算法则 （a、b0，m、n是整数） anamanm (am)namn (ab)nanbn m m n n

4、a a a 常用乘法公式常用乘法公式 22 )(bababa 222 2)(bababa 222 2)(bababa 因式分解因式分解 乘法乘法 因式分解因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整 式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向 的变换。 2 xaxbxab+)(bxax 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例1 计算： （1） （2） 解解 22 (23 )4(1)xxx+- 2 3 ()( 3) ( 7) 4 a bcababc （1）原式 222 234842114xxxxxx=+-+-= -+- （2）原式 22 17 ( 7) 44 acabc

5、a bc 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 解解 例例2 把下列各式分解因式 （1） （2） （3） 32232 15205a ba ba b 22 21xyy 2 215xx （1）原式) 143(5 22 babba （2）原式 2222 (21)(1) (1)(1) xyyxy xyxy （3）原式 )5)(3(xx 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1计算 2计算 3分解因式： （1） （2） （3） （4） 22 (25)( 346 )xxxx 2 (37) ( 467)abaab 222 36482412()a bcab cabcabc

6、bcabaca 2 86 2 xx 2 235xx-= 中等职业学校通用教材(数学) 分式的运算分式的运算 分式分式 A、B表示两个整式，AB就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式，其 中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 B A B A 分式的基本性质分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或 除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即 ， （M为不等于零的整式） AAM BBM AAM BBM 分式的运算分式的运算 分式的加减运算是使用通分进行的； 分式的乘除运算是使用约分进行的。 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 解解 例

7、例 计算： （1） （2） （3） 11 axax 22 1 2 b abaabb 22 32222 2 babb aa babab 分析分析分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法： 先将各分母分解因式；将所有因式全部取出，公因式应取次数 最高的；将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除 运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分 子分母的公因式，再化简。 （1）原式 22 2 ()()()() axaxa ax axax axax +- =+= -+-+- （2）原式 222 1 ()()()() babba abababab +- =-= + （3）原式 )()(

8、)( )( 2 2 baa b bab baba baa b 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1当x_时，分式 没有意义。 2当x_时，分式 的值为0。 3计算： （1） （2） x x 31 32 x x 31 32 332 113 baabba ) 2 5 2( 42 3 x x x x 中等职业学校通用教材(数学) 数的乘方和开方运算数的乘方和开方运算 正整数指数幂正整数指数幂 n na a a a aaa 个 （n是正整数） 零指数幂零指数幂1 0 a（a0） 负整数指数幂负整数指数幂 n n a a 1 （a0，n是正整数） 平方根平方根若x2a (a0)，则

9、称x为a的平方根（二次方根） 立方根立方根 若x3a (a0)，则称x为a的立方根（三次方根） 中等职业学校通用教材(数学) n次方根次方根 若xna （a是一个实数，n是大于1的正整数）， 则称数x为a的一个n次方根。 当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里 有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 和 ； 而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。 当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只 有一个n次方根，表示为 。 当a0时， 0；当a0时， 0。 的n次方根是。 n a n a n a 中等职业学校通用教材(数学) n次根式次根式 我们把形如 （有意义时）的式子称为n次根式

10、，其 中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根 称为a 的n次算术根，并且 n a ()n n aa（n1，n是正整数） 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例1 计算： 解解 0333 13 ( 3)( )( )0.01 22 、。 0 ( 3)1 3 3 111 ( )8 11 2 ( ) 28 313( 1) ( 3)3 32228 ( )( ) ( )( ) 233327 323( 2) ( 3)6 0.01(10 )1010 例例2 求8的立方根，16的四次方根。 解解 8的立方根为 3 82-= - 4 162= 16的四次方根为 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职

11、业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例 计算（用计算器运算）： （1）2215 （用科学计数法表示，保留4位有效数字） （2）(1.052)10（保留4位有效数字） （3）10(1.052)10（保留4位有效数字） （4） （保留4位有效数字） （5） （保留4位有效数字） （6） （精确到0.001） 解解 10 6 10 100( 61)- 7 56.456- 分析分析 在计算器上用一个 yx 键来 进行数的乘方运算，按键顺序为： 底数 yx 指数 在计算器上用yx的第二功能键进 行数的开方运算，按键顺序为： 被开方数 2ndF yx 开方次数 = （1） 22151.369102

12、0 （2）(1.052)101.660 （3）10(1.052)1016.60 （4） 1.196 （5） 19.62 （6） 1.035 10 6 10 100( 61)- 7 56.456- 单击打开单击打开 计算器计算器 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1计算下列各式的值： 40、 、 、0.12 。 2 的平方根为_；0的平方根为_；27的 立方根为_； 的立方根为_； 的四次方根为 _。 3用计算器运算： （1）3212、(2.05)10（用科学计数法表示，保留4位有 效数字） （2） 、 （精确到0.001） 0 ( 2) 2 3 ( ) 2 16 25 8

13、 27 16 81 6 106 8 66.456 中等职业学校通用教材(数学) 1.2 解方程（组）解方程（组） l 解一元二次方程 l 解简单的二元二次方程组 回顾 中等职业学校通用教材(数学) 解一元二次方程解一元二次方程 一元二次方程一元二次方程 2 0(0)axbxca 求根公式求根公式 a acbb x 2 4 2 判别式判别式 2 4bac 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根； 当0时，方程没有实数根。 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 （1）直接开平方法。 （2）配方法。 （3）公式法 。 （4）因式分解法。 根和系数的关系根和系数的关系 如果

14、ax2bxc0（a0）的两根是 x1、x2，那么，x1x2 ，x1x2 。 a b a c 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例 解方程 2 320 xx 解法一（配方法）解法一（配方法） 原方程配方，得 0 4 1 ) 2 3 (3 22 xx 整理得 2 31 () 24 x 所以 2 1 2 3 x 解得 12 21xx， 解法二（因式分解法）解法二（因式分解法） 原方程可化为 0)2)(1(xx 所以 12 21xx， 解法三（公式法）解法三（公式法） 2 ( 3)4 1 21 2 13 2 13 x解得 12 21xx， 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材

15、(数学) 1解方程： （1）x25x60 （2）x21690 2若方程9x22mx160有两个相等的实数根，那么 m_。 3若方程8x2(k1)xk70的一个根是0，则 k=_，另一个根是_。 中等职业学校通用教材(数学) 解简单的二元二次方程组解简单的二元二次方程组 二元一次方程组二元一次方程组 几个二元一次方程组成的方程组， 叫做二元一次方程组。 二元二次方程二元二次方程 含有两个未知数，并且含有未知数 的项中，最高次数是2 的整式方程，叫做二元二次方程， 它的一般形式为： Ax2+bxy+cy2+dx+ey+f0 二元二次方程组二元二次方程组 由两个二元方程组成并且其中至 少有一个是二元

16、二次方程的方程组叫做二元二次方程组。 二元二次方程组的解法二元二次方程组的解法 由一个二元一次方程和一 个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入 消元法来解。其目的是把二元方程化为一元方程。 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例 解方程组： 解解 22 4310 210 xyxy xy （1） （2） 由（2）得 （3） 12 xy 把（3）代入（1），得 01) 12(3) 12(4 22 xxxx 整理得 082315 2 xx ; 1 , 1 1 1 y x 解得 12 8 1 15 xx 或 将x1、x2分别代入（3），求得 12 1 1 15 yy 或 所以，

17、原方程组的解为 1 1 1 1 x y 2 2 8 15 1 15 x y 或 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1解方程：（1） （2） 2解方程组：（1） （2） 3解方程组：（1） （2） 10253xx 34 23 xx- = 25 328 xy xy 5225 3415 xy xy 2 210 62110 xy xxy 7 12 xy xy 中等职业学校通用教材(数学) 1.3 指数与对数的运算指数与对数的运算 l 指数的运算 l 对数的运算 回顾 中等职业学校通用教材(数学) 指数的运算指数的运算 有理指数幂有理指数幂 这样，我们把整数指数幂的概念推广到了有理

18、指数幂有理指数幂。 法则法则1 apaqapq 法则法则2 (aq)p=aqp 法则法则3 (ab)papbp 一般地，我们规定 （ 为既约分数，m、n都是正整数） 其中，当n为偶数时，a0；当n为奇数时，a为任意实数。 m nm n aa m n 负分数指数幂的意义：设a0，n、m都是正整数且n 1，当 有意义时，我们规定 （ 为既约分数， m、n都是正整数） n m a 1 m n m n a a - = m n 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例1 求分数指数幂的值： 解解 1 2 3 1 ( )0.001 4 、。 222( 2) ( 2)4 1 (2 )2216 4

19、 （ ） 111 ( 3) 31 333 1 0.001(10 )1010 10 例例2 求值： 63 2 31.512 解解 111111 1263 363622 1111111111 ( 1)2 3366333622 1 11 1 1 111 3 32 3 6 3 2 31.5122 3( )122 3(3 2 )(23) 2 2 332232 22333 223236 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 1计算下列有理指数幂的值： 2用计算器计算下列各式的近似值：（精确到0.001） 4 3 81 5 2 32 3 2 )001. 0( 43 1285 7 1 1.4

20、 16 中等职业学校通用教材(数学) 对数的运算对数的运算 在代数式abN中有a、b、N三个量，若已知其中两 个量，就可以求出第三个量。已知a、b求N是乘方运算； 已知b、N，求a是开方运算；已知a、N，求是什么运算 呢？ 例如：（1）已知2x，求x；（2）已知2x，求 x。它们都是已知底数和幂值，求指数的运算。由于23 ，所以（1）中的x，但（2）中的x是多少呢？要想 顺利地解决这个问题，还需要学习新的知识：对数对数。 中等职业学校通用教材(数学) 对数的定义对数的定义 一般地，在式abN（a0，a1）中，称b为以以a为为 底底N的对数的对数。并且把b记为logaN，即 logaNb 其中a

21、称为对数的底数对数的底数（简称底），N称为真数真数。 由于a0，所以ab总是正数，即零和负数没有对数零和负数没有对数。 由于a01，所以loga10，即1的对数等于的对数等于0。 由于a1a，所以logaa1，即底的对数等于底的对数等于1。 对数恒等式对数恒等式 N logaN a 中等职业学校通用教材(数学) 例例1 求下列各式的值： （1）log31 （2） （3） 例题解析例题解析 解解 3 log4 3 5 log2 5 （1）log310 3 log 4 34（2） 5 log2 52（3） 例例2 求下列对数的值： （1）log28 （2） 2 1 log 4 解解 （1）因为238，所以log283。 （2）因为22 ，所以log2 2。 4 1 4 1 单击鼠标继续单击鼠标继续 中等职业学校通用教材(数学) 对数的运算法则对数的运算法则 设a0，a1，M、N都是正实数，则有： 法则法则1 法则法则2 法则法则3 log ()loglog aaa M NMN logloglog aaa M MN N loglog p aa MpM 中等职业学校通用教材(数学) 例题解析例题解析 例例1 求log232和 的值。 解解 2 log128 52log32log 5 22 1 2 222 1