第九章现代逻辑的思想方法概述

1、第九章 现代逻辑的思想方法概述第一节 从爱因斯坦的一封信谈起作为本章开篇的话，且让我们从20世纪最伟大的科学家爱因斯坦的一封短信谈起。1953年，爱因斯坦在给JE斯威策的一封复信中,谈到西方科学的基础和中国古代的重大发明,他写道：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系(在欧几里得几何学中)，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(在文艺复兴时期)。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。令人惊奇的倒是这些发现在中国全都做出来了。”信中最后一句话是说，中国古代有如此伟大的科学发明实在令人惊奇。为何令人惊奇?因为，在爱因斯坦看来，中国的科学文化

2、传统中缺少了作为西方科学基础的两大成就，一是形式逻辑体系，再就是通过系统的实验建立科学理论的思想学说。稍后，著名的科学史家李约瑟在他的论文“中国科学传统的贫乏和胜利”中全文引述了爱因斯坦的这封信，并且阐发了爱因斯坦的上述观点。需要明确的是，爱因斯坦这里所说的形式逻辑体系并不是我们从中学语文课程重所获知的或在大学教科书上所学到的那种被称作“形式逻辑”或“普通逻辑”的知识理论。形式逻辑课程重所讲的那些关于概念、判断、推理、论证反驳的理论，中国古代并不缺乏，早在春秋战国时期，名家、墨家的学说便对这些问题有了系统的研究。爱因斯坦信重所说的形式逻辑体系，乃是古希腊哲学家、逻辑学家亚里士多德创建，并在欧几

3、里得几何学中得到运用和体现的那种公理化及初步形式化的逻辑系统理论。现代逻辑充分发展和完善了这一理论。本章的主要内容，就是要介绍这种理论的基础及其思想方法。爱因斯坦信中所说的另一大成就，即西方在文艺复兴时期建立起来的那种通过系统的实验有可能找出因果美系的思想理论，指的是那一时期西方科学家、哲学家提出的有关经验科学方法的思想与理论。达芬奇、伽里略、牛顿等人的科学方去论思想即属此范畴，培根、穆勒等人的归纳逻辑理论是对这些思想理论的概括与总结。中国科学文化传统中缺乏这样的思想理论，这一点早在19世纪就引起了中国有识之士的高度重视了。正是基于此，著名学者严复在其穆勒名学一书中，翻译介绍了穆勒的归纳逻辑理

4、论，意在为中国科学的发展提供必要的工具。今天，现代归纳逻辑已极大地突破了培根、穆勒等人的古典归纳逻辑的樊篱，为系统、深入研究经验科学方法并为实际应用开辟了广阔的前景。在现代归纳逻辑中，也充分地体现了公理化、形式化的逻辑系统的思想方法。思考爱因斯坦的这封信，读者很可能会产生这样的问题：为什么爱因斯坦要把公理化、形式化的逻辑系统与经验科学方法论、归纳逻辑理论视洒方科学的，从而视为科学的基础呢?对于这个问题进行全面的解答，已经超出了本书的范围。读者可以在前述李约瑟的论文以及任何一本科学哲学的论著中找到这方面的详细论述。不过，这里我们也不妨对此作一概略的描述，谈谈被爱因斯坦称作“两个伟大的成就”的东西

5、在科学理论建立过程中所起的重要作用。毫无疑问，科学理论来自科学考察的实践。在这方面，无论我们是带着某些为已有理论所不能完全解答的问题而进行探索。从事观察和实验，还是在观察、实验中发现了新的问题，我们都不会始终停留在直接获得的那些个别的、直观的结果上，我们要由已经获得结果得出某些更具一般性的结论。这些结论被称作假说，它们以科学命题的形式加以表述和记录。假说的断定范围超出了所根据的那些结果，也超出了在得出假说时所依据的科学原理的范围。在得出假说的过程中，有猜测，有联想，有严格的逻辑推导，也有一般人所不具备从而也难以揣测的灵感。科学方法论便是致力于研究、描述运用于此过程的各种各样的方法。不论科学家在

6、得出假说的过程中运用了什么佯的方法。有一点是确定无疑的，这就是，他们从直接获得的观察、实验结果得出某一假说，由于假说的所定范围超出了所根据的那些结果的断定范围，二者之间实质上便构成了一个归纳推理。归纳逻辑要对这样的归纳推理进行研究，它要解决归纳前提(科学观察、实验等探索中直接获得的结果)与归纳结论(以科学命题形式表述的假说)之间的概然性联系程度，这种概然性联系程度提高或降低的途径、归纳前提对归纳结论的证实情形、新的观察、实验结果对于作为归纳结论的假说的检证、支持度，以及有关对作为归纳结论的假说的接受问题等等。科学假说是科学原理的前驱和候选者，在进一步的科探索中，它们可能被推翻，被修改，也可能被

7、作为科学原理而获得。归纳逻辑的研究为人们从观察、实验等探索中建立有关因果联系、相关性及其它规律性联系的科学原理提供了必要的工具和理论指导。一特定领域的科学理论是对该领域中科学研究结果的概括与总结，是一系列科学原理构成的一个有机的整体。当着人们对某一领域的科学研究已经获得了相当的结果，人们便要考虑对这些结果进行整理，建立一个系统的理论，以从整体上来认识、把握这些结果，以指导往后的科学实践。在这方面，公理化、形式化的逻辑系统及其思想方法是一个必不可少的工具。任何科学理论都必须应用逻辑，而按照逻辑系统的思想方法，整理、建立科学理论，要充分注意到反映所研究对象及其性质、关系的概念以及表述科学原理的命题

8、间的内在联系，明确地挑选出一些概念、命题作为该理论的基本概念、基本命题，由基本概念定义其余概念，由基本命题推导其余的命题；基本命题描述基本概念的某些特征，基本概念不由其余的概念加以定义，基本命题不由其余的命题加以推导。这样，便既使科学理论清晰地梳理出了科学原理逻辑上的“顺序”关系，使其成为各科学原理紧密联系的有机整体，又明确无疑地划定了理论的基础，避免了循环定义，循环证明，为全面地研究、发展该理论提供了可能性。正如爱因斯坦信中所说，产生于两千多年以前的欧几里得几何学乃是运用逻辑系统理论的一大典范。当时，在丈量土地、测量物体、建筑设计、绘制图案等实践中，人们获得丁许多有关图形的知识原理。据史书记

9、载，古希腊曾出现过上百种几何学理论，概括总结这些知识原理。其中，唯有公元前三世纪问世的欧氏几何学最终获得了普遍的接受，并得以流传至今。欧氏几何学与当时所有别的几何学理论不同之处，就在于它并非简单地分门别类地记载描述那些几何原理，而是充分地运用逻辑系统及其思想方法，将这些几何原理整理成了一个公理化的系统理论。两千多年以来，欧氏几何学传遍了全世界每一个文明国家和地区，为文化教育和科学文化的发展作出了不朽的贡献。西方科学的两大基础，从时间上来说，形式化、公理化的逻辑系统的思想方法早于归纳逻辑理论的建立两千年左右。公元前3世纪，亚里士多德最早提出了公理系统的思想。在一定程度上采用了形式化的方法，初步建

10、立了体现这些思想方法的逻辑理论；欧几里得将这些思想方法用于修改、整理几何学理论。古希腊的逻辑学、数学遂远远领先于其它科学的发展。归纳逻辑的系统研究是在文艺复兴后开始的。此后，由于具备了这两大基础，西方科学获得了迅速的发展。数学各分支以及物理学、生物学、化学等各个领域的科学理论系统相继建立起来，各科学理论基础的研究、改进，加速了理论系统的发展和更新。本世纪以来，因数学基础的研究获得长足发展的数理逻辑使形式化公理系统的方法得到极大的完善，促使了现代归纳逻辑的产生和发展。两大基础的更新，直接导致了计算机、人工智能的问世，促进了当代科学以日新月异的速度飞速地向前发展。今天，现代逻辑作为科学的基础得到了

11、系统、深入的发展，并在自然科学、人文科学、技术科学的各个领域内获得了广泛的应用。发达国家高度重视现代逻辑的作用和地位。联合国教科文组织、不列颠百科全书等均从20世纪70年代起将逻辑学确立为并列于数学、自然科学、人文科学、哲学的基础理论学科。在许多国家，中学教材里便系统讲授现代逻辑的知识理论，如美国六十年代推出的中学统编数学教材，在初中阶段就以大量篇幅介绍现代逻辑基础知识。我国自粉碎“四人帮”以来，也在发展现代逻辑方面迈出了很大的步伐。从80年代起，北京大学哲学系新设的逻辑专业本科开始为国家培养输送现代逻辑的专门人才。思考爱因斯坦的这封短信，每一位读者也许都会深切地感受到我国古代科技的瞩目成就与

12、近现代科技落后于世界先进水平的强烈反差，感受到爱因斯坦关于西方科学基础的见解实际上是向我们提示了科学文化传统方面所存在的根本原因：作为西方科学基础的两大成就，恰好就是我们的文化传统中所缺乏的东西。如果说，由于缺乏了这样的工具，我国古代科技的成就令人感到惊奇的话，那么，我们在近现代科技落后实在就是情理中的事了。今天，在全国各族人民同心协力，共建四化强国的新时代，我们尤为强烈地感受到大力发展现代逻辑研究的迫切性。“工欲善其事，必先利其器”，愿读者从思考爱因斯坦的信中，同样也获得了这样的感受。第二节 公理系统与逻辑公理化、形式化是现代逻辑最根本的思想方法，在以下各节中，我们将逐步地说明这样的思想方法

13、及其作用。首先，还是让我们从欧氏几何这个初步的公理化的系统理论谈起。一、欧氏几何学：初步的公理化系统理论欧氏几何的平面几何部分采用的基本概念有“点”、“线”、“面”等，采用的基本命题有十几个。这些基本命题分为“公理”和“公设”，公理与公设的区别在于，前者是适用于其它领域的基本原理具有显然的正确性，后者则只用于平面几何。公理有8条：1、与同一个量相等的量彼此相等。2、等量加等量，总量相等。3、等量减等量，余量相等。4、不等量加等量，总量不相等。 5、等量的二倍相等。6、等量的一半相等。7、能重合的量相等。8、全体大于部分。 公设有5条： 1、可从任一点引直线到任一点。 2、任一直线可不断循直线延

14、长。 3、可以任一点为中心和任一距离(为半径)作圆。 4、所有直角彼此都相等。 5、若两直线与一直线相交，同侧所交两内角之和小于两直角则两直线延长后必在该侧的一点相交。从公理、公设出发推演出来的命题称作定理。定理一经推演出来，就获得了证明。可以作为以后推演其它命题的依据。这样，既免除了每次推演都必须从公理、公设出发，从而可大大缩减推演的步骤，又保证了所有的推演归根结底都要依据于公理，公设。另一方面，几何定理所涉及的概念，又可以借助于基本概念来加以定义。因此，在整个欧氏几何学中，公理、公设以及基本概念就是作为理论出发点的东西，逻辑学将这样的出发点称作初始命题，初始概念。最粗略地说来，象欧氏几何学

15、这样的明确列出初始概念、初始命题，由初始概念定义其它概念，由初始命题推演其它命题的理论，就称之为公理化的系统理论。二、 欧氏几何的不自主性与逻辑欧氏几何只是一个初步公理化的理论，它还存在有许多缺陷。首先，它并未列出所需要的全部初始概念，而是未经言明地使用了它们，这样的概念如“重合”、“在之上”、“在之间”。其次，对所列出的初始概念，没有充分地通过初始命题对其予以刻划，而是采用了一些定义来揭示其涵义，诸如“点是没有部分的”、“线是有长度无宽度的”、“面是只有长度和宽度的”等等。这样一来，实际上就使“部分”、“长度”、“宽度”等未加解释的概念具有了初始概念的作用而“点”、“线”、“面”等则成了被定

16、义的非初始概念。再次，欧氏几何的公理、公设并不构成几何证明的全部根据，定理的推演隐含地借助了公理、公设以外的东西。这样的东西有两类，一是被作为“显然的事实”而在推演中隐含使用的命题，诸如“过两点能引并且只能引一条直线”、“不同的两直线至多有一公共点”、“任一直线上至少有两个点”、“至少存在有三个点不在一直线上”，等等。这些命题不能由欧氏几何的公理、公设推演出来，其中有一些需要作为欧氏几何的初始命题。另一方面，欧氏几何还借助了逻辑：它的推演要运用多种形式的推理，而欧氏几何的公理、公设并未反映，也推导不出这些推理的正确性。让我们来看看下述几何定理的证明。定理 一直线的垂线与非垂线必相交。证明：如图

17、设ABEF，CD不垂直于EF，须证AB与CD在直线EF右侧延长后必相交。设AB与CD在EF右侧延长后不相交,那么ABCD。 E根据垂线定义，190。又根据定理“两直线 1平行，则同位角相等”， 12。 由公理1， 290。由垂线定义，CDEF，与条件CD不垂直 C 2 D于EF相矛盾。所以假设“AB与CD在EF右侧延长后 不相交”为假，从而定理得证。 F 这一证明中所运用的推理可以简要地分析如下。设“ABEF”、“CD不垂直于EF”、“AB与CD在EF右侧延长后必相交”依次为p、q、r，那么须证的定理可表示为“如果p并且q,那么r。”在由公理、已证定理及定义推演此定理的过程中，我们假设了r的反

18、面即“并非r”。最后推演出q的反面即“并非q”。“并非q”与“q”相矛盾，于是我们便说定理“如果p并且q，那么r”得到了证明。这个过程所运用的推理可以表示为：“假设并非r，并且根据条件p，那么再根据公理、已证定理及定义，应有并非q。所以，如果p并且q，那么r。”欧氏几何学中所运用的推理还有别的各种形式。欧氏几何不能缺少这些推理，如其不然，就不可能实现由公理、公设推演出定理。以上这些事实告诉我们，欧氏几何并不是一个完善的公理化的理论。它不完全符合公理化理论的要求，它的公理、公设、基本概念作为初始命题、初始概念没有包括它的全部出发点。象这种借用了初始命题、初始概念以外东西的公理化理论，称作不自足的

19、公理化理论。欧氏几何所运用的推理，是逻辑学的研究对象。一切公理化的系统理论都需要从它的公理推演出定理，因此，一切公理化的系统理论或者是本身不包含逻辑而要运用逻辑，从而是不自足的公理化理论，或者是包含了逻辑从而可能是自足的公理化理论。由此可见，逻辑是一切公理化的系统理论的基础。第三节 一阶逻辑与一阶理论逻辑学是从推理的形式、即从推理的前提与结论之间的联系方式来研究推理的。现代逻辑有众多的分支，这些分支分别是研究特定类型的推理形式的系统理论，其中，一阶逻辑是最为基本的理论。一阶逻辑与许多逻辑分支都包括有关于特定类型的推理形式的公理系统与研究这样的公理系统的理论。在这一节，我们通过描述一阶逻辑公理系

20、统与一阶理论的概貌，进一步说明公理化的基本思想。一、 一阶逻辑的研究对象让我们先来看看一阶逻辑所研究的推理形式。 一阶逻辑所研究的推理形式，其前提、结论是一些比较简单的命题形式；具有这些形式的命题对对象陈述某种属性（性质命题、关系命题），或由这样的命题复合而成的命题。例如：(1) x1是直线。(2) x2垂直于x3。(3) x2不平行于x1。(4) 如果x1垂直于x3，并且x2不垂直于x3，那么x2不平行于x1。(5) 所有的直线都是可以无限延长的。(6) 有的曲线是直线。等等。这些命题的形式依次为：(1) 对象x1具有性质F。(2) 对象x1、对象x2之间具有关系R。 (3) 对象x1、对象

21、x2之间不具有关系S。(4) 对于所有的对象x1、x2、x3来说，如果x1、x3之间具有关系R，并且x2、x3之间不具有关系R，那么x2、x1之间不具有关系S。(5) 所有具有性质F的对象都具有性质G。(6) 有的具有性质H的对象具有性质F。一阶逻辑所研究的推理形式，也可以表述为上述类型的命题形式，例如，上一节所谈到的那个推理，其形式可以表述为：(7) 如果对于所有的对象x1、x2、x3来说，若x2、x1之间具有关系S并且x1、x3之间有关系R，那么x2、x3之间具有关系R，那么，对于所有的对象x1、x2、x3来说，若x1、x3之间具有关系R，并且x2、x3之间不具有关系R，那么x2、x1之间

22、不具有关系S。既然推理形式也可以表述为命题形式，故一阶逻辑与别的逻辑分支也就是以特定类型的命题形式为其研究对象的。出现在一阶逻辑所研究的命题形式中的概念有“对象”、“性质”、“关系”、“并且”、“如果那么”、“不”、“所有的”、“有的”等。其中,“对象”、“性质”、“关系”与命题的具体内容相关，称作非逻辑概念；其余的与命题的形式的相关，称作逻辑概念。命题形式主要地是由逻辑概念决定的，故包括一阶逻辑在内的逻辑理论主要关心逻辑概念的研究。至于上述命题形式中出现的“具有”、“不具有”，我们将它们看作是两种不同的陈述，即前者是一种肯定性陈述，后者是一种否定性陈述。“对象x1具有性质F”是对对象x1陈述

23、了性质F，“对象x1、对象x2之间不具有关系S”是对对象x1、x2否定了关系S。在逻辑学研究中，采用了一套专门的符号来表示逻辑概念。其必要性和作用将在下一节专门予以介绍。通常所用表示一阶逻辑的逻辑概念的符号如下所示：并非(不)；(也可用“”来表示)：并且；(也可用“”、“”来表示)：或者；：如果那么；(也可用“”来表示) 这些符号，在前述各章我们已经熟悉，除此以外还有：对于所有的(所有的)；：存在有(有的)；等符号。此外，对于“对象x1具有性质F”、“对象x1、对象x2之间具有关系R”也可用符号表示为F(x1)、R(x1，x3)。这样，前述那些命题形式可分别表述为： （1”）F(x1)（2”）

24、R(x1，x3)（3”）S(x2，x1)（4”）x1x2 x3( R(x1，x3)R(x2，x3)S(x2，x3)（5”）x1( F(x1)G(x1)（6”）x2( H(x2)F(x2)（7”）x1x2x3 (S(x2，x1)R(x1，x3) R(x2，x3)x1x2x3(R(x1,x3)R(x2，x3) S(x2，x1)如前所述，一阶逻辑所研究的命题形式，有的实际上是推理形式，可用以表示推理前提与结论之间的联系方式。在这些推理形式中，有的表示了前提与结论之间的必然性联系，有的则表示了二者之间的非必然性联系。前一类推理形式能够保证从真前提必然地得出真结论，当着以具体的概念代入其中的符号使前提、

25、结论位置上的命题形式成为具体的命题时，这样的推理形式能保证：只要前提是真命题，那么结论也一定是真命题。这样的推理形式称作普遍有效式，简称有效式。例如上面的（7”）便是一个有效式。我们不妨另以一些具体的概念代入（7”）中的符号，如以“整除”、“互质(没有大于1的公约数)”代入S、R,令x1、x2、x3表示自然数，那么，（7”）就成了这样一个推理：如果自然数x2整除x1并且x1与x3互质，那么x2与x3互质。所以，如果x1与x3互质并且x2不与x3互质，那么x2不整除x1。显然，这个推理的前提、结论都是真命题。推理形式为有效式是正确推理的必要条件。如果一个推理形式不能保证从真前提必然地得出真结论那

26、么这样的推理形式就是非有效式。例如，下述命题形式（8”） x1(F(x1)G(x1)x1(H(x1)F(x1)x1(H(x1)G(x1)就表示了一个非有效的推理形式。试以“是能被4整除的”、“是合数”、“是奇数”代入F、G、H，则（8”）成为如下的推理：凡是具有能被4整除性质的都是合数，所有奇数都不具有能被4整除的性质。所以，所有奇数都不是合数。这个推理的前提是真命题，而结论却是假命题。二、 一阶逻辑的公理系统从理论上说来，任一类型的推理形式，其有效式都是无穷多的，而以某一类型的推理形式(或者更确切地说，以某一类型的命题形式)为研究对象的逻辑理论都要包容该类型无穷多的有效式。为了系统地进行研究

27、，这些逻辑理论采取了公理系统的形式。现在，我们就来看一看一阶逻辑的公理系统。一阶逻辑的公理系统首先要对出现在其所研究的命题形式中的概念进行适当的选择，即选择一些不加定义的初始概念，例如，对于逻辑概念，下述的任一组概念都可作为系统的初始概念：1、 ，； 2、 ，；3、 ，；4、 ，；从理论上来说，一阶逻辑所研究的所有命题形式都可由任一组初始的逻辑概念与非逻辑概念按照适当的规则组成，非初始的概念是没有必要考虑的。不过，为了表述方便起见，我们也可以通过定义采用非初始概念。这样的定义，通常都是通过对含有有关概念的命题形式的定义来实现的。例如，以、表示任意的一阶逻辑的命题形式，我们可以将含有上述l、2、

28、4组逻辑概念的命题形式定义为： df()df()xidfxi初始概念是逻辑系统作为出发点的概念，对于这些概念，逻辑系统中要利用一定数量的命题形式来揭示其特性，这样的命题形式就是逻辑系统的公理。公理是逻辑系统中不加证明的命题形式，是系统中证明作为定理的其它命题形式的依据。例如,采用上述的第三组概念作为初始的逻辑概念，我们可以将以下命题形式作为一阶逻辑公理系统的公理：公理l ()公理2 () () ()公理3 () ()公理4 xi(xi)(xk)公理5 xi(xi) (xi(xi)其中，、是任意的一阶逻辑的命题形式，( xi)表示命题形式对于对象xi成立。(对公理4、5还有进一步的要求不过此处从

29、略。)这些公理揭示了初始的逻辑溉念、的特性，可以看作这些初始概念的“隐定义”。例如,公理2揭示了具有某种“分配性”。由这些公理出发。再根据适当的规则，我们就可以进行定理的证明了。定理有许多是表述正确推理形式的命题形式。可以证明，凡是一阶逻辑的有效式，都无一遗漏地包括在这些定理之列了。现在，我们再来看看一阶理论的大致情况。三、 一阶理论所谓一阶理论，指的是那些以一阶逻辑为基础的理论，例如，欧氏几何、数论、集合论等都是一阶理论。从公理系统的角度来分析，一阶理论就是通过对一阶逻辑公理系统的出发点添加特定的初始概念和公理得到的公理系统。这些添加的公理称作特有公理。正如一阶逻辑的公理可视为初始逻辑概念的

30、隐定义一样，特有公理也可看作以隐定义的方式刻划了所添加的初始概念的基本特征。以下我们来看几个一阶理论的例子。群论 为从一阶逻辑公理系统得到群论公理系统，初始概念中需添加一特定的对象0，一特定的关系“相等”，以及特定的运算“加法”。我们以符号a来表示O；以E表示相等关系，E(x，y)表示对象x等于y，即通常所表示的xy。加法运算亦即加法函数。以下从更一般的角度称之为加法映射，以(x，y)表示通常的xy。群论的特有公理有如下7条：公理6 x E(x，x)公理7 xy (E(x，y)E(y，x)公理8 xyz (E(x，y)(E(y，z)E(xz)公理9 xyz (E(y，z)(E(x，y)，(x，

31、z)E(y，x)，(z，x)公理10 xyz E(x，(y，z)，(x，y)，z)公理11 x E(a，x)，x)公理12 xy E(十(y，x)，a)其中，公理6、7、8分别揭示相等关系的自返性、对称性及传递性，公理10揭示了加法映射满足结合律。数论 初始概念需添加对象O、相等关系、加法映射以及乘法映射和“后继”映射，分别以a、E、及表示。其中x的涵义就是其先后顺序在对象x之后的那个对象。(例如，a就是自然数1 ， 1即a”就是自然数2。)其特有公理有如下9条：公理6 xyz(E(x，y)(E(y，z)E(y，z)公理7 xy(E(x，y)E(x，y)公理8 xE(a，x)公理9 xy(E(

32、x，y) E(x，y)公理10 x E(x，a)，x)公理11 xy E(x，y)，(x，y)公理12 x E(x，a)，a)公理13 xy E(x，y)，(x，y)，x)公理14 (a)( x(x) (x)x(x)，其中，是任意的数论公理系统的公式。公理14通常称作“数学归纳法”。公理7、9合起来刻划了“后继”映射是一种一 一映射，即把一个对象(自然数)唯一地映射到其先后顺序在该对象之后的对象(自然数)。公理8说明对象0不是任何对象的后继。这5条公理即通常说的皮亚诺的自然数公设。集合论 添加“属于关系”为初始概念。由此可定义“包含关系”、“相等关系”。特有公理计有外延性公理、空集公理、对集公

33、理、并集公理等10条。欧氏几何 为构造自足的欧氏几何公理系统，需添加“点”、“线”、“面”、“重合”、“在之上”等初始概念和20条特有公理：以上扼要说明了几个常见的一阶理论的出发点的概貌。立足于此，通过初始概念定义各种概念，由逻辑公理和特有公理利用推演规则证明各种定理，便可以得出这些理论所包含的全部内容。如前文所说，理论公理化的结果将为数众多的概念归结到少数几个初始概念，将众多的 参阅邓生庆“无穷与集合论”，载四川大学学报(哲学社会科学版)1991年第2期。 参阅王宪均数理逻辑引论北京大学出版社，1982年版，第288页。张家龙公理学、元数学与哲学，上海人民出版社，1983年版第22页。(从理

34、论上说来无穷多的)定理归结为少数的一些公理，从而清理出一理论所赖以建立的基础，这样的思想方法对于科学研究是具有极为重要的意义的。对此，我们至少可以从这样的几个方面扼要地加以理解。首先，理论的公理化为理论的基础研究提供了可能。而有关一理论系统的一系列重要而又极其基本的问题，诸如该理论系统是否存在一致性(会不会推导出相互矛盾的结果)。该理论的所有定理是否可靠，该理论系缉是否具有完全性，能否推导出该理论所意欲接受的全部结果，等等，都必须通过基础研究，才能获得确切的答案。其次，理论的公理化不仅仅起到了整理一特定领域研究成果、形成科学理论系统的作用，而且为旧的科学理论的修改、扩展以及由此迅速地建立起新的

35、科学理论系统开辟了广阔的道路。通过对理论基础的研究，因初始概念、公理的修改、更换、添加所造成的理论的变革，以及通过对理论公理化系统所反映的逻辑结构的考察，因新的解释、新的模型的建立而产生的新理论，在理论发展方面所起的作用都远非单纯立足于实际考察，概括总结出理论这种传统的程序所能比拟的。再次，公理化的思想方法为我们通过认识有限来把握无限，达到对一理论系统的整体认识提供了途径，这样的思想方法是探索建立一特定领域的知识库、专家系统以实现人工智能在该领域的应用所必不可少的工具。第四节 语言的形式化与一阶语言一、 语言的形式化及其必要性所谓语言的形式化，指的是以形式化的符号语言取代自然语言以表示逻辑研究

36、的概念及其所组成的命题形式。上一节，我们已经看到了一阶逻辑所使用的符号以及用这些符号所表示的命题形式。现在我们就来说明这种语言的形式化的必要性。再以一阶语言为例，简要地介绍形式化语言在逻辑研究中的作用。语言的形式化之所以必要，总的说来，是为了更好地分析和研究命题形式。最初，在两干多年以前亚里士多德创立的逻辑理论中，语言的形式化仅限于以一定的符号表示命题、推理各部分内容，并由此抽象出各种命题形式、推理形式。这样的形式化显示出非逻辑概念对于命题形式、推理形式不具有决定性的作用，是从内容千差万别的具体命题、推理中抽象、概括出命题形式、推理形式所必不可少的步骤。但是，在亚里士多德那里以及在亚里士多德以

37、后的传统逻辑中，命题形式、推理形式中的逻辑概念却是用自然语言来表示的。由于自然语言表示逻辑概念有许多不足，故而极大地影响了对命题形式、推理形式的分析、研究。首先，自然语言是在人类社会长期的、丰富的传播活动中产生、形成的语言，富含岐义性。同一语词大都可用于表达不同的概念，这就使得用自然语言表示逻辑概念容易导致对逻辑概念并从而对命题形式、推理形式的误解。例如，自然语言中的“或者”既可表达相容的选择，又可表达不相容的选择，这就是说，命题形式“或者”既可以理解为“、至少有一个成立，并且可以都成立”，又可以理解为“、至少并且至多(即恰好)有一成立”。这种情形，在英语中尤为突出。又如，“有的”在自然语言中

38、既可用以表达“至少有一个，并且可能是全部”，又可用以表达“仅仅是部分,并且不能是全部”的意思。日常的汉语表述常采取后一种涵义，而作为逻辑概念，所需要的涵义则是后者。 再如，传统逻辑中以“所有的”表示逻辑概念，将“所有具有性质S的对象都具有性质P”这种命题形式表示为“所有的S是P”，将“有的具有性质S的对象具有性质P”表示为“有的S是P”，并进而认为“所有的S是P”能得出“有的S是P”。可是，由于“有的S是P”不论作那一种理解，都有“至少有一个”的涵义，故在下例中 （1）所有的偶数是能被2整除的数。(2) 所有的不受外力作用的物体是理想物体。虽然由（1）能得出“有的偶数是能被2整除的数”，而由（

39、2）却得不出“有的偶数是能被2整除的数”。出现这种情形的原因在于，“所有的是”在自然语言中既可用于表达“不仅有的，而且全部是”，也可用于表达“只要是（或凡是）就是”。 其次，外延性逻辑对命题形式的研究不考虑非逻辑概念所代表的各部分内容之间的意义联系，而只研究其联系的方式，由于自然语言的语词本身就具有特定的意义，故采用自然语言语词表示逻辑概念及命题形式难以排除命题各部分内容之间的意义联系，有时会使人产生误解。 例如，“如果，那么”这种命题形式表达的是、之间的这样一种联系方式，即不能成立而不成立，它等值于“并非并且并非”也等值于“并非，或者”。事实上，“并非，或者”表达的联系方式是，并非与至少有一

40、个成立，不能并非与都不成立，亦即不能成立而不成立。这样，只要不成立，或者成立，就排除了“成立而不成立”。从而“如果，那么”就是成立的，于是（3）如果225，那么雪是白的。（4）如果225，那么雪是黑的。（5）如果224，那么雪是白的。这些命题在形式上都是成立的。可是，它们的两部分内容之间都没有意义上的联系。这一点往往使人感到费解，以至于难以按受逻辑学对“如果，那么”这种命题形式的分析，难以接受“如果，那么”与“并非，或者”等值。出现这种情形的原因就在于“如果那么”已被习惯用于表达充分条件联系，而充分条件联系本身就不仅仅是形式上的联系，而且也是内容方面的意义联系，故用“如果那么”来表示逻辑概念以

41、表现这类命题两部分之间的联系方式是不合适的。再次，用自然语言的语词来表示逻辑概念，还会使命题形式的分析难以突破命题表面的语言形式，只反映出命题的表层结构，不足以或不能正确地揭示命题各部分内容之间的联系方式。例如，在传统逻辑中，以下命题（6）如果武大郎身高一米，那么他是标准身高的人。（7）如果所有的人身高一米，那么所有的人都是标准身高的人。（8）如果一个人身高一米，那么他是标准身高的人。都被分析为具有“如果，那么”的形式，与前述命题（3）（5）的形式相同。但是实际上，这种分析是经不起推敲的。且不论命题（7）为真而命题（8）为假在这种分析下难以说明，试考虑与它们的负命题等值的命题。按照传统逻辑，并

42、非“如果，那么”等值于“，并且并非”，我们容易得出，与（6）、（7）的负命题等值的命题分别为（6”）武大郎身高一米，并且并非他是标准身高的人。（7”）所有的人身高一米，并且并非所有的人是标准身高的人。可是，与（8）的负命题等值的命题却不是“一个人身高一米，并且并非他是标准身高的人”而是（8”有的人身高一米，并且并非他是标准身高的人。可见，停留于命题的语言表述形式，仅仅根椐一命题含有语词“如果那么”便将其分析为具有“如果，那么”的形式，是行不通的。再如，对于以下命题（9） 鲸是哺乳动物。（10）吕布是智勇双全的将军。（11）哪吒是天将。（12）聊斋志异的作者是蒲松龄。（13）长庚星是启明星。（1

43、4）武艺最高强的将军是赵云。（15）孙悟空是不存在的。在传统逻辑中，都由于其语言表述形式中含有“是”而被分析为具有“S是P”这样的形式（即直言命题形式），其中，（9）的形式为“所有的S是P”，（10）（15）的形式为“这个S是P”。这样的分析，掩盖了这些命题中“是”的不同涵义，混浠了这些命题在逻辑上的重要区别，并且还导致了一系列的哲学问题。仅以前者而论，“是”在命题（9）中表述的是两个事物类之间的“包含于”关系，在（10）（12）中表述的是个体对于类的“属于”关系，（12）（14中表述个体与个体的“同一”关系，（15）断言某个体不存在。这些命题并非都能作为传统逻辑中的“S是P”类型的命题而被理

44、解为断言S这类（或这个）对象具有P所代表的性质。此外，命题（10）（15）中的S虽然都代表个件，但其中有的是现实世界中的个体，有的却是现实世界中所不存在的个体。就后者而言，（11）必须相对于一定的论域方能成立，而（15）却并非如此。再比较（10）与（14），这两个命题都不成立，但不成立的原因却有区别。前者不成立的原因在于吕布这个个体并不属于智勇双全的将军这个类，后者不成立的原因则是在于并不存在武艺最高强的将军。以上，我们仅以部分例子并非全面地说明了自然语言不能胜任准确、深入地分析、表达命题形式、推理形式。为了实现这一目标，需要专门建立一套人工语言，这样的人工语言应该是在从最一般的角度概括、抽象

45、命题、推理的逻辑结构的基础上建立起来，从而既足以突破命题、推理表面的语言表述形式，表达出各种命题、推埋的逻辑形式，又能清楚地显示不同命题、推理形式上的区别；而且它还应该不具有岐义性，不附有与命题内容、推理内容相关的隐含意义，以使我们能准确地把握命题、推理的深层逻辑结构。现代逻辑所广泛采用的，用以分析、表述、研究命题形式、推理形式的人工语言，正是这样的人工语言。下面，我们就以一阶逻辑的形式语言为例，对此作一说明。二、 一阶语言及其应用一阶逻辑的形式语言可简称一阶语言。在前面的第三节，我们已经看到了用这种形式语言来分析、表述命题形式、推埋形式的情形。总起来说，阶语言所采用的符号有如下一些类型：个体

46、符号 即上一节所说的表示对象的符号。其中包括表示任意个体的个体变元符号如x、y、z、表示特定个体的个体常元符号a、b、c、（或由这些符号加下标。下同）。谓词符号 其中用以表示性质的称作一元谓词，表示关系的称作n元（n2）谓词。一元谓词用以陈述某一（或任一）个体有某种性质，n元谓词用以陈述某n个（或任意n个个体具有某种n元关系。谓词符号也可包括表示任意谓词的谓词变元符号如F、G、I、表示特定谓词的谓词常元符号如A、B、C、。量词符号 包括全称量词符号，存在量词符号。其作用见一节。逻辑联结词符号 如否定符号、析取(相容析取)符号、合取符号、蕴涵符号、等。其作用在上一节也已说明。技术性符号 如括号(

47、、)、逗号，。它们是表述命题、推理形式所采用的辅助性符号。有的一阶逻辑理论采用一套特殊的命题、推理形式表述方式，可省略括号、逗号的使用。函项符号 用以表示个体之间的映射(或者说是“对应”，但以“映射”更为准确)，表示将一个个体映射到某一个体的这种映射的函项符号称作一元函项符号，表示将n个个体的有序组映射到某一个体的这种映射的函项符号称作n元函项符号。函项符号也包括函项变元与函项常元，前者如f、g、h、，后者如(表示加法)、(表示乘法)、(表示后继)、。函项符号也是可省略的。为了进一步说明一阶语言的作用。我们不妨来对前述那些命题作一分析、表述。首先，那些在传统逻辑中都被处理为“S是P”类型的命题

48、(9)一(15)。其形式依次为：(9) x(F(x)G(x)，其中，F(x)、G(x)分别表示“x是鲸”、“x是哺乳动物”。(10) F(a)，表示“a是智勇双全的将军”。a代表吕布这个个体。以(9)与(10)分别分析、表述命题(9)、(10)，明显地显示了事物类之间的包含于关系与个体对于事物类的属于关系的区别。(11) 同(10)。不过只有相对于中国神话传统的论域，才可能谈论哪吒这一个体。(11) xF(x) y(F(y)E(y，x)E(xa)，其中F(x)表示“x是聊斋志异的作者”，E(y，x)表示“y与x同一”( 即y与x是同一个体)。(12) E(a，b)，其中a表示长庚星，b表示启明

49、星，E(a，b)表示“a与b同一”。(13) 同(12)，由于相对于任一现实世界的论域，都不存在武艺最高强的将军，即在命题形式(14) 中， xF(x)不成立，故命题(14)不成立。(15) xE(x，a)，a代表孙悟空这个个体，E(x，a)表示“x与a同一”。 (15)表示与a同一的个体是不存在的。一阶语言的分析，澄清了前述这些命题形式上的重要区别。前文谈到，在传统逻辑中，(10)一(15)的形式都被表示为“这个S是P”，其中的“吕布”、“哪吒”、“聊斋志异的作者”、“长庚星”、“武艺最高强的将军”、“孙悟空”等全部被视为单独概念。利用一阶语言，我们不仅将表述个体对于事物类的属于关系（(10

50、)、(11)），个体与个体的同一关系（(12)(14)）以及个体在存在（(15)）的命题的形式区别开来，而且明确区分了“吕布”、“哪吒”等个体的名称与“聊斋志异的作者”、“武艺最高强的将军”这样的概念，这样的概念是由普遍概念通过适当的限制来指称某一个体的，通常被称作摹状词。此外，一阶语言的分析，还明确地显示，“存在”、“不存在”并非性质，从而不能以一元谓词来加以表示。关于“存在”是否性质的问题曾经是哲学上一个长期关注的重要问题。利用一阶语言，前文所述的命题(6)一(8)也能从形式上清楚地予以区分了，它们的形式分别为：(6) F(a)G(a) (7) x(H(x)F(x)x(H(x)G(x) (

51、8) x（H(x)F(x)G(x)）其中，a表示武大郎，F(x)、H(x)、G(x)分别表示“x身高一米”、“x是人”、“x是标准身高的人”。在此分析下，很容易说明为何(7)是真命题(8)是假命题，而且，根据一阶逻辑 x（H(x)F(x)G(x)）逻辑等值于x(H(x)F(x)G(x)后者表示“有的人身高一米并且并非他是标准身高的人”。这就解决了有关与(8)的负命题等值的命题的问题。一阶语言的分析还揭示了命题(8)与命题(9)在形式上相同之处。为了进一步显示这一点，不妨再考察以下两个命题的形式(16) 所有不作习题的人都学不好数学。(17) 如果一个人不作习题，那么他就学不好数学。且以F(x)

52、、G(x)分别表示“x是不作习题的人”，“x学不好数学”，那么，按照上述分析，这两个命题的形式都是x(F(x)G(x)这就是说，要么传统逻辑中形如“所有的S是P”的命题应当具有“如果，那么”的形式。要么形如后者的命题应具有前面的这种形式。不论怎样选择，总之，传统逻辑将(16)、(17)的形式作这样的分析和区分是不正确的。事实上，在实际的思维和言语活动中，象(16)、(17)这样的命题完全就是相同的。利用一阶语言，我们还可以进一步地分析许多借助自然语言所难以分析的命题形式、推理形式。例如，(18) 如果有溶液可溶解所有的金属，那么，所有的金属可被有的溶液所溶解。 其形式为： (18) xyR(x

53、，y)yxR(x，y)式中R(x，y)表示“x可溶解y”，也可理解为“y可被x溶解”。在一阶逻辑中，容易证明(18) 是一普遍有效式。一阶语言是现代逻辑各种形式语言中最为基本的，在一阶语言的基础上，添加别的人工符号，可以获得更复杂的形式语言。第五节 语言分层，逻辑演算与元逻辑 一、 语义悖论与语言分层语言形式化还有一个极其重要的后果，这就是，使得逻辑研究中语言分层有了实现的可能性。所谓语言分层，就是对象语言与元语言的区分。对任一理论来说，它的对象语言，指表述它的研究对象的语言，而元语言则是研究对象语言及其表述内容的语言。例如，研究古诗或外国文学的理论，对象语言是古代汉语或外国语(也可能是用以翻

54、译这些外国语的现代汉语)，元语言可能是现代汉语。对于逻辑理论来说，它的对象语言是表述命题形式(其中包括推理形式)及其推演所构成的公理系统的形式语言，元语言是解释、研究这些命题形式及其公理系统的语言，通常是由形式语言和自然语言混合而成的语言。语言分层的一个最基本的必要性在于：非如此不能避免语义悖论。让我们考虑下面的这句话： 写在方框里的这句话是假的。且以“”代表写在方框里的这句话。假设为真，则“写在方框里的这句话是假的”为真，即写在方框里的这句话是假的，于是为假；假设为假，则“写在方框里的这句话是假的”为假，即写在方框里的这句话是真的，于是为真。这就是说，真当且仅当假(或者说，由假设真会得出为假

55、，由假设假会得出为真)。于是便出现了悖论。上述这种悖论称作语义悖论，它是自古希腊以来便为人们所注视的“说谎者悖论”的一个变种。语义悖论出现的原因就是由于混淆了对象语言与元语言的层次。上述方框里的话说写在方框里的这句话是假的。这句话陈述了一句话的真假，是用元语言表述的解释、说明对象语言语句特征(真假特征)的语句。由于对象语言的这个语句“写在方框里的这句话”恰好就是“写在方框里的这句话是假的”，即与这个元语言的语句陈述的意思相同，于是，元语言与元语言所解释、说明的对象语言便混淆不分了，这个语句成了说明自己本身为假的语句。通过对语义悖论的分析、研究，人们认识到，一个语句、一个命题不应该解释、说明、评

56、价该语句、该命题自身，一个理论不应该包括对该理论本身的解释、说明或评价。而语言分层正好可以实现这样的要求。按照语言分层理论，研究(包括解释、说明、评价等等)一个语句、命题或理论的语句、命题，与被研究的语句、命题或理论在语言上分属不同的层次：被研究的语句、命题或理论属于对象语言的层次，而研究它们的语句、命题或理论则属于元语言层次。与此相应，也可称前者属于或者就是对象理论，称后者属于或者就是元理论。语言分层理论的意思是，对象理论中不能包括对理论本身或其语句、命题的研究，关于该理论的各种性质、特征，关于该理论语句、命题的解释、真假等，是元理论的研究对象。二、 逻辑演算与元逻辑语言分层理论产生于对语义悖论的逻辑研究；而按照语言分层理论，逻辑理论与研究该逻辑理论的理论一一元逻辑理论应该明确地区分开来。逻辑理沦是表示命题形式、推理形式的公式的公理化的系统理论，至于有关这些公式的真假、有效、非有效等解释、