一元二次方程的根的判别式

1、 一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点： 1. 根的判别式： 2+bx+c=0(a0)可以用配方法将其ax对于任何一个一元二次方程24acbb2变形为: (x+)= 2 4a2a22+bx+c=0的根的情这样一元二次方程ax所以4a0，因为a0，24ac来判定。 况可由b22+bx+c=0ax的根的判别b4ac叫做一元二次方程我们把24ac。式，用希腊字母来表示，即=b 2+bx+c=0 (a0)， ax一元二次方程24ac0时，有两个不相等的实数根；当=b 24ac=0时，有两个相等的实数根； 当=b24ac0时，没有实数根。 当=b上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1

2、) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； 运用于解综合题。(4) 二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练 灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 1 不解方程，判断下列方程根的情况例25x+10=0 (1) 2x23x+3=0 (2) 16x8210=0 (3) (2)x5x+32) 1)=0 (k(4) x为常数2kx+4(k2) 1)=0 (m(5) 2x为常数(4m1)x+(m22 (6) 4x) +2nx+

3、(n2n+5)=0 (n为常数20 5)4210=55=(解：(1) 方程没有实数根 23=0 483)16 (2)=( 方程有两个相等的实数根 230+850 2)= (3) 10=5（5)34(4 方程有两个不相等实根 221)=4k16k+16 14(k (4) =(2k)4 220 2)4k+4)=4(k =4(k 方程有实数根 242(m(5) =(4m1)1) 28m+18m+8 =16m22+51)0 =16m16m+9=4(2m 方程有两个不相等实根 222n+5) 4(6) =(2n)4(n22+32n16n=4n80 2+32n12n80 =41762=12(n)0 33

4、方程没有实数根 说明： 22=b4ac4ac，然后对 解这类题目时，一般要先求出=b22=b4ac=b的符号明朗化，进而说明进行化简或变形，使4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。 24ac=b。 应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求24ac0时，方程有实数根，反之也成立。 当=b122=0 2)x+m(mx的方程x已知关于例2 4(1) 有两个不相等实根，求m的范围. (2) 有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根. (3) 有实根，求m的最大整数值. 12224m+4 4m=解：=b4ac=(m2) 4(1) =4m+40时方程有两个不相等的实根

5、，解得m1 当m1时方程有两个不相等实根 程有两个相等实根，方 (2)24ac =0 =b 4m+4=0 解得m=1 当m=1时方程有两个相等实根为 (m2)bx=x=2 2112a2? 4(3) 方程有实根， 24ac0=b 4m+40 解得m1，其最大整数值为1， 方程有实根m的最大整数值为1。 说明：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由的不同情况求得。 22+3x+2=2x1)m为非负整数，且关于x的方程m(x例3 已知有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。 分析，首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不24ac0等于零。因为已知方程有

6、两个实数根，所以=b，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。 2(2m3)x+(m+2)=0 : (m解：整理原方程，得2)x24ac=b0 方程有两个实数根，m2=0? ?24(m2)(m+2)03)(2m?25 。解得 m且m2 12 是非负整数。 m 。 m=0或m=12 2=0 3x当m=0时，原方程为2x1 x=。解这个方程得: x=2， 2122 3=0。m=1时，原方程为x x当131 解这个方程，得:x=2131131+=。 xx=，2122例4 证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次2+bx+c=0总有实数根。 方程ax分析

7、：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。 24ac，又b=a+c，=b证明a0。 22。c) =(a+c)4ac=(a 20 c) (a24ac0。=b 2 总有实数根。+bx+c=0ax的一元二次方程x关于 22+nx+2nx没有实数根，求证:x方程+2xn+1=0例5 已知方程1=0必有两个不相等的实数根。 2+2xn+1=0没有实数根，分析：由已知方程x可得到一个关于n2+nx+2n1=0的根的判别式的关系式，再以此为基础证明方程x24ac0=b，问题即可得解。 2+2xn+1=0证明：方程x没有实数根， 24(n+1)0， 2 即n0。 2228n+41)=n，的

8、判别式=n且4(2n 方程x1=0+nx+2nn0， 20，8n n0， 28n+40 n。 24(2n1)0 =n。 2+nx+2n1=0必有两个不相等的实数根。 方程x 22(m的方程(m+2)x1)x+m+1=0有两个不相等已知关于例6 x的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。 分析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足: 24ac0，=b二次项系数不等于零，一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。 : 解：根据已知条件，可得m+20?24(m+2)(m+1)0?1)2(m ?2(m1)0解这个不等式组，得: m2?1?m 5?m11 m且m2。 52mx4x

9、+4=0m是什么整数时，关于x的一元二次方程例7 当224m5=0的根都是整数。与x 4mx+4m分析：因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。 24x+4=0有实数根， 一元二次方程解： mx24ac =1616m0 m0且=b m1且m0 224m5=0有实数根， 方程x 4mx+4m2224m5)04(4m。 =b4ac =16m 5 m 45m1，且m0。 由、得 4 。1或1的整数解为 m24x+4=0时，方程mx的根不是整数，不符合题意，当m=1舍去。 24x+4=0的根为x=

10、x时，方程mx=2， 当m=121224m5=0的根为x=5，方程xx4mx+4m=1。 432224mxmx 当m=1时，方程4mx+4m4x+4=0与方程5=0的根都是整数。 说明：求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。 四、自我测试 1. 填空： 2mx+m=0有相等的实数根，则m的值是(1) 方程(m+1)x_； 2+6=0没有实数根，则k的最小整2x(kx4)xx(2) 关于的方程数值是_； 2(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_；(3) 方程2x 2(2k1)x+k=0有实根，则x(4) 若关于的一元二次方程kxk的取值

11、范围是_，若方程无实根，则k的取值范围是_。 2. 选择题(四选一)： (1) 下到方程中，有两个不相等的实数根的是( ) 22(B) x2x+1=0 (A) x+x+2=0 22 +x=0 (D) x +1=0 (C) x2一定( 1)(x2)=k) 方程(2) (x(A) 有两个相等的实数根 (B) 没有实数根 (C) 有两个不相等的实数根 (D) 以上三种情况均有可能 2+(8k+1)x=8k有两个实根，2kx则k的取值范(3) 关于x的方程围是( ) 11(A) k (B) k且k0 161611(C) k= (D) k且k0 16162+16x+10=0有两个不相等实根，求m1)x的取值范围。 3. 方程(m210kx+15k+2=0有两个相等的实数根，kx求k的值及方4. 方程程的根。 22mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，(m5. 若方程4)x求m的值。 2+6=0没有实数根，求k4)x的最小整2x(kx6. 一元二次方程数值。 2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方7. 已知一元二次方程x程的整数根。 参考答案 五、答案4 ； (2) 2，m=；1. (1)m=0 21311 。 k0且，k； (4) k(3) 21 ,442. (1) D (2) C (3) B 37 且m13. m 51=5 x=x4. k=， 21522+12m