八级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题第1课时课件新版新人教版1011490

1、 问题问题1： 要在公路上修建一个泵站要在公路上修建一个泵站C，分别向公，分别向公 路两侧路两侧A、B两镇供气，泵站修在什么两镇供气，泵站修在什么 地方，可使泵站地方，可使泵站C到到A、B两镇所用的输两镇所用的输 气管线最短气管线最短? 问题问题2：“饮马问题饮马问题” 如图，牧马人从如图，牧马人从A地地 出发，到一条笔直出发，到一条笔直 的的河流河流l边饮马边饮马，然，然 后到后到B地，牧马人到地，牧马人到 河边的什么地方饮河边的什么地方饮 马，可使所走的路马，可使所走的路 径最短？径最短？ 追问追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两

2、地抽象为两个点，将两地抽象为两个点，将河流河流l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知 B A l （1）从）从A 地出发，到地出发，到河流河流l边 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知 追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？

3、 （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） 思考思考1 1：如何将点：如何将点B转“移移” 到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与 CB的长度相等？的长度相等？ 探索新知探索新知 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的

4、一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小呢？的和最小呢？ B l A 思考思考2 2：你能利用轴对称的：你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条 件的点件的点B吗？吗？ 作法：作法： （1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B； （2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的

5、什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B l A B C 探索新知探索新知 问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B l A B C 证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不 重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 在在ABC中中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即即AC +BC 最短最短 探索新知探索新知 问题问题

6、3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B l A B C C 若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点 C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离 和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知 B l A B C C 思考：证明思考：证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上 任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC + +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 变式变式1：已知直线已知直线m、l和

7、点和点B，在直线，在直线m、l上分别取上分别取 点点A、点、点C，使点，使点B到点到点C再到点再到点A的距离之和最小。的距离之和最小。 变式练习变式练习 变式变式2：如图，有两条直线如图，有两条直线m、l和一点和一点B，在直线，在直线m、 l上分别取点上分别取点A、点、点C，使，使BAC的周长最小。的周长最小。 变式练习变式练习 变式变式3：如图，有两条直线如图，有两条直线m、l和点和点B、点、点D，在直，在直 线线m、l上分别取点上分别取点A、点、点C，使四边形，使四边形DACB的周的周 长最小。长最小。 变式练习变式练习 v变式变式4：如图，一个旅游船从大桥：如图，一个旅游船从大桥AB 的

8、的P 处前往处前往 山脚下的山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上上 ，再返回，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径 AB C P Q 山山 河岸河岸 大桥大桥 变式练习变式练习 由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线 段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到一点上找到一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最

9、小小” 同问题同问题2 2是一种类型，自己在练习本上独立完成是一种类型，自己在练习本上独立完成 AB C P Q 山山 河岸河岸 大桥大桥 课堂小结课堂小结 1通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识 和方法？和方法？ 2.轴对称在所研究问题中起什么作用？轴对称在所研究问题中起什么作用？ 3.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知 识的方法和经验。识的方法和经验。 推荐作业推荐作业 1XOY内有一点内有一点P，在射线，在射线OX上找出一点上找出一点M，在射线，在射线 OY上找出一点上找出一点N，使，使PM+MN+NP最短最短 P X O Y 推荐作